La dinámica holomorfa estudia los sistemas dinámicos definidos por la iteración de funciones en espacios de números complejos.
La dinámica analítica compleja es el estudio de las dinámicas para funciones específicamente analíticas.
Con el fin de establecer las propiedades relativas a la familia de funciones
iteradas de la función holomorfa
definida sobre una superficie de Riemann (es decir, una variedad compleja de dimensión uno), se apoya sobre los resultados del análisis complejo (principio del máximo, teorema de los residuos, teorema de Montel, teoría de funciones equivalentes...), de la topología general, de la geometría compleja (teorema de la aplicación conforme y teorema de uniformización de Riemann, hyperbolicidad, teoría de aplicaciones y la dinámica general.
La dualidad familia normal/comportamiento inestable que separa el plan dinámico en dos sub-conjuntos localmente discreminados es uno de los hechos importantes.
Esta dualidad aparece gracias a la clasificación de los puntos periódicos de la función
, es decir, los puntos
del dominio de definición para los que existe un
tal que
{\displaystyle f^{\circ p}(z)=z}
un polinomio con una variable compleja
, es una función holomorfa de
(el conjunto de números complejos).
Para cada punto de partida
en el conjunto de números complejos se construye la serie
de iteraciones definidas por la fórmula de recurrencia : Una pregunta natural que surge, es sobre la convergencia de la sucesión
, y más generalmente de su comportamiento (periódico, tendiendo al infinito, etc.).
Se puede esprear, justamente que el comportamineto de la sucesión dependa de su valor inicial
Por ejemplo, es fácil ver que para el polinomio
, si se toma un valor inicial
, definida por la recurrencia
tiende al infinito (es decir,
De manera más general, se puede mostrar que para todo polinomio
tiende al infinito.
Otro ejemplo de conjunto de Julia es el del polinomio
La mayoría de las veces los conjuntos de Julia no son variedades diferenciuales como lo muestran estos ejemplos: