Campo vectorial
Los campos vectoriales se utilizan en física, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano
es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con continuidad en X.
Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).
Recíprocamente: Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.
El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior.
Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.
Un campo vectorial Ck F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe una función Ck+1 a valores reales f: X → R (un campo escalar) de modo que La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g.
se llama campo central si puede encontrarse un punto
Se dice que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de un punto S cuyo vector posición es
El punto S se llama el centro del campo.
es una función potencial que depende sólo de la distancia entre el punto donde se mide el campo y el "centro del campo".
Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador diferencial vectorial rotacional que da lugar a la definición siguiente.
La integral de superficie o flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre cero.
Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva.
Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.
La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.
Dado un C0 campo vectorial F definido sobre X podemos intentar definir curvas γ(t) sobre X de modo que para cada t en un intervalo I y Puesto en nuestra ecuación de campo vectorial conseguimos lo que es la definición de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden explícita con las curvas γ(t) como soluciones.
Si F es Lipschitz continua se puede encontrar una curva C¹ única γx para cada punto x en X de modo que Las curvas γx se llaman las curvas integrales del campo vectorial F y particionan X en clases de equivalencia.
No es siempre posible ampliar el intervalo (-µ, +µ) a la recta real total.
El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde de X en un tiempo finito.
Integrar el campo vectorial a lo largo de cualquier curva integral γ da En dimensión 2 o tres se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en X.
Si dejamos caer una partícula en este flujo en el punto x se moverá a lo largo de una curva γx en el flujo dependiendo del punto inicial x.
Los usos típicos son aerodinámica en líquidos, flujo geodésico, los subgrupos uniparamétricos y la función exponencial en grupos de Lie.
Este teorema es aplicable en diversos contextos, incluyendo por ejemplo la resolución de ecuaciones diferenciales simplificando la expresión de éstas.
Por la expresión de los campos, es claro que, como queríamos,
que pasa a tiempo 0 por el punto F(x).
Extendiendo este argumento y combinándolo con lo anterior, llegamos a que
Aplicando el teorema de la función inversa, obtenemos que
