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Glosario de aritmética y geometría diofántica

Este es un glosario de aritmética y geometría diofántica en matemáticas , áreas que surgen del estudio tradicional de ecuaciones diofánticas para abarcar grandes partes de la teoría de números y la geometría algebraica . Gran parte de la teoría se presenta en forma de conjeturas propuestas , que pueden relacionarse en varios niveles de generalidad.

La geometría diofántica en general es el estudio de las variedades algebraicas V sobre cuerpos K que son finitamente generados sobre sus cuerpos primos —incluyendo como cuerpos de números de interés especial y cuerpos finitos— y sobre cuerpos locales . De ellos, sólo los números complejos son algebraicamente cerrados ; sobre cualquier otro K la existencia de puntos de V con coordenadas en K es algo que debe probarse y estudiarse como un tema adicional, incluso conociendo la geometría de V .

La geometría aritmética puede definirse de manera más general como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . [1] La geometría aritmética también se ha definido como la aplicación de las técnicas de la geometría algebraica a problemas de teoría de números . [2]

Véase también el glosario de términos de teoría de números en Glosario de teoría de números .


A

conjetura abc
La conjetura abc de Masser y Oesterlé intenta explicar todo lo posible los factores primos repetidos en una ecuación a + b = c . Por ejemplo, 3 + 125 = 128, pero las potencias primos en este caso son excepcionales.
Grupo de clase de Arakelov
El grupo de clases de Arakelov es el análogo del grupo de clases ideal o grupo de clases divisoras para los divisores de Arakelov . [3]
Divisor de Arakelov
Un divisor de Arakelov (o divisor repleto [4] ) en un cuerpo global es una extensión del concepto de divisor o ideal fraccionario . Es una combinación lineal formal de lugares del cuerpo con lugares finitos que tienen coeficientes enteros y los lugares infinitos que tienen coeficientes reales. [3] [5] [6]
Altura de Arakelov
La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el cuerpo de números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los cuerpos arquimedianos y la métrica usual en los cuerpos no arquimedianos . [7] [8]
Teoría de Arakelov
La teoría de Arakelov es un enfoque de la geometría aritmética que incluye explícitamente los "números primos infinitos".
Aritmética de variedades abelianas
Ver artículo principal aritmética de variedades abelianas
Funciones L de Artin
Las funciones L de Artin se definen para representaciones de Galois bastante generales . La introducción de la cohomología étale en la década de 1960 significó que las funciones L de Hasse-Weil podían considerarse como funciones L de Artin para las representaciones de Galois en grupos de cohomología l-ádicos .

B

Mala reducción
Ver buena reducción .
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sobre curvas elípticas postula una conexión entre el rango de una curva elíptica y el orden del polo de su función L de Hasse-Weil. Ha sido un hito importante en la geometría diofántica desde mediados de la década de 1960, con resultados como el teorema de Coates-Wiles , el teorema de Gross-Zagier y el teorema de Kolyvagin . [9]

do

Altura canónica
La altura canónica de una variedad abeliana es una función de altura que es una forma cuadrática distinguida . Véase altura de Néron–Tate .
El método de Chabauty
El método de Chabauty , basado en funciones analíticas p -ádicas, es una aplicación especial pero capaz de demostrar casos de la conjetura de Mordell para curvas cuyo rango de jacobiano es menor que su dimensión. Desarrolló ideas del método de Thoralf Skolem para un toro algebraico . (Otros métodos más antiguos para problemas diofánticos incluyen el método de Runge .)
Teorema de Coates-Wiles
El teorema de Coates-Wiles establece que una curva elíptica con multiplicación compleja por un cuerpo cuadrático imaginario de clase número 1 y rango positivo tiene una función L con un cero en s  = 1. Este es un caso especial de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . [10]
Cohomología cristalina
La cohomología cristalina es una teoría de cohomología p-ádica en la característica p , introducida por Alexander Grothendieck para llenar el vacío dejado por la cohomología étale que es deficiente en el uso de coeficientes mod p en este caso. Es una de varias teorías que se derivan de alguna manera del método de Dwork y tiene aplicaciones fuera de las cuestiones puramente aritméticas.

D

Formas diagonales
Las formas diagonales son algunas de las variedades proyectivas más sencillas de estudiar desde un punto de vista aritmético (incluidas las variedades de Fermat ). Sus funciones zeta locales se calculan en términos de sumas de Jacobi . El problema de Waring es el caso más clásico.
Dimensión diofántica
La dimensión diofántica de un cuerpo es el número natural más pequeño k , si existe, tal que el cuerpo de es de clase C k : es decir, tal que cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial siempre que N > d k . Los cuerpos algebraicamente cerrados son de dimensión diofántica 0; los cuerpos cuasi-algebraicamente cerrados son de dimensión 1. [11]
Discriminante de un punto
El discriminante de un punto se refiere a dos conceptos relacionados relativos a un punto P en una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo de números K : el discriminante geométrico (logarítmico) [12] d ( P ) y el discriminante aritmético , definido por Vojta. [13] La diferencia entre los dos puede compararse con la diferencia entre el género aritmético de una curva singular y el género geométrico de la desingularización . [13] El género aritmético es mayor que el género geométrico, y la altura de un punto puede estar acotada en términos del género aritmético. Obtener límites similares que involucren al género geométrico tendría consecuencias significativas. [13]
El método de Dwork
Bernard Dwork utilizó métodos distintivos de análisis p-ádico , ecuaciones diferenciales algebraicas p-ádicas , complejos de Koszul y otras técnicas que no han sido todas absorbidas por teorías generales como la cohomología cristalina . Fue el primero en demostrar la racionalidad de las funciones zeta locales, el avance inicial en la dirección de las conjeturas de Weil .

mi

Cohomología de Étale
La búsqueda de una cohomología de Weil (qv) se cumplió al menos parcialmente en la teoría de la cohomología étale de Alexander Grothendieck y Michael Artin . Proporcionó una prueba de la ecuación funcional para las funciones zeta locales y fue básica en la formulación de la conjetura de Tate (qv) y de muchas otras teorías.

F

Altura de los flautines
La altura de Faltings de una curva elíptica o variedad abeliana definida sobre un cuerpo numérico es una medida de su complejidad introducida por Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell . [14] [15]
El último teorema de Fermat
El último teorema de Fermat , la conjetura más célebre de la geometría diofántica, fue demostrado por Andrew Wiles y Richard Taylor .
Cohomología plana
La cohomología plana es, para la escuela de Grothendieck, un punto terminal del desarrollo. Tiene la desventaja de ser bastante difícil de calcular. La razón por la que la topología plana ha sido considerada el topos fundacional "correcto" para la teoría de esquemas se remonta al hecho de la descendencia fielmente plana , el descubrimiento de Grothendieck de que los funtores representables son haces para ella (es decir, se cumple un axioma de pegado muy general ).
Analogía del campo de función
En el siglo XIX se descubrió que el anillo de números enteros de un cuerpo numérico tiene analogías con el anillo de coordenadas afines de una curva algebraica o superficie compacta de Riemann, con un punto o más de distancia correspondiente a los "lugares infinitos" de un cuerpo numérico. Esta idea está codificada con mayor precisión en la teoría de que todos los cuerpos globales deben ser tratados sobre la misma base. La idea va más allá. Así, las superficies elípticas sobre los números complejos también tienen algunas analogías bastante estrictas con las curvas elípticas sobre cuerpos numéricos.

GRAMO

Teoría de campos de clases geométricas
La extensión de los resultados del estilo de teoría de campos de clases sobre recubrimientos abelianos a variedades de dimensión al menos dos se denomina a menudo teoría de campos de clases geométrica .
Buena reducción
Fundamental para el análisis local en problemas aritméticos es reducir módulo todos los números primos p o, más generalmente, los ideales primos . En la situación típica esto presenta poca dificultad para casi todos los p ; por ejemplo, los denominadores de fracciones son complicados, en el sentido de que la reducción módulo un primo en el denominador parece una división por cero , pero eso descarta solo un número finito de p por fracción. Con un poco de sofisticación adicional, las coordenadas homogéneas permiten despejar los denominadores multiplicando por un escalar común. Para un punto único dado, uno puede hacer esto y no dejar un factor común p . Sin embargo, entra la teoría de la singularidad : un punto no singular puede convertirse en un punto singular en la reducción módulo p , porque el espacio tangente de Zariski puede volverse más grande cuando los términos lineales se reducen a 0 (la formulación geométrica muestra que no es culpa de un solo conjunto de coordenadas). Una buena reducción se refiere a la variedad reducida que tiene las mismas propiedades que el original, por ejemplo, una curva algebraica que tiene el mismo género , o una variedad suave que permanece suave. En general, habrá un conjunto finito S de primos para una variedad dada V , supuesta suave, de modo que de lo contrario hay una V p reducida suave sobre Z / p Z . Para las variedades abelianas , la buena reducción está conectada con la ramificación en el campo de puntos de división por el criterio de Néron–Ogg–Shafarevich . La teoría es sutil, en el sentido de que la libertad de cambiar las variables para tratar de mejorar las cosas es bastante poco obvia: véase el modelo de Néron , la buena reducción potencial , la curva de Tate , la variedad abeliana semiestable , la curva elíptica semiestable , el teorema de Serre–Tate . [16]
Conjetura de Grothendieck-Katz
La conjetura de p-curvatura de Grothendieck-Katz aplica la reducción módulo primos a las ecuaciones diferenciales algebraicas para obtener información sobre las soluciones de funciones algebraicas . El resultado inicial de este tipo fue el teorema de Eisenstein .

yo

Principio de Hasse
El principio de Hasse establece que la solubilidad para un campo global es la misma que la solubilidad en todos los campos locales relevantes . Uno de los principales objetivos de la geometría diofántica es clasificar los casos en los que se cumple el principio de Hasse. Generalmente, esto es para un gran número de variables, cuando el grado de una ecuación se mantiene fijo. El principio de Hasse se asocia a menudo con el éxito del método del círculo de Hardy-Littlewood . Cuando el método del círculo funciona, puede proporcionar información cuantitativa adicional, como el número asintótico de soluciones. Reducir el número de variables hace que el método del círculo sea más difícil; por lo tanto, las fallas del principio de Hasse, por ejemplo para formas cúbicas en pequeñas cantidades de variables (y en particular para curvas elípticas como curvas cúbicas ) están relacionadas a un nivel general con las limitaciones del enfoque analítico.
Función L de Hasse-Weil
Una función L de Hasse-Weil , a veces llamada función L global , es un producto de Euler formado a partir de funciones zeta locales. Las propiedades de estas funciones L permanecen en gran medida en el ámbito de la conjetura, y la prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura es un gran avance. La filosofía de Langlands es en gran medida complementaria a la teoría de las funciones L globales.
Función de altura
Una función de altura en geometría diofántica cuantifica el tamaño de las soluciones de las ecuaciones diofánticas. [17]
Campos hilbertianos
Un cuerpo hilbertiano K es aquel para el cual los espacios proyectivos sobre K no son conjuntos delgados en el sentido de Jean-Pierre Serre . Esta es una interpretación geométrica del teorema de irreducibilidad de Hilbert que muestra que los números racionales son hilbertianos. Los resultados se aplican al problema de Galois inverso . Los conjuntos delgados (la palabra francesa es mince ) son en cierto sentido análogos a los conjuntos magros (en francés maigre ) del teorema de categorías de Baire .

I

Función zeta de Igusa
Una función zeta de Igusa , llamada así por Jun-ichi Igusa , es una función generadora que cuenta el número de puntos de una variedad algebraica módulo altas potencias p n de un número primo fijo p . Ahora se conocen teoremas de racionalidad general que se basan en métodos de lógica matemática . [18]
Descenso infinito
El descenso infinito fue el método clásico de Pierre de Fermat para las ecuaciones diofánticas. Se convirtió en la mitad de la prueba estándar del teorema de Mordell-Weil, siendo la otra un argumento con funciones de altura (qv). El descenso es algo así como una división por dos en un grupo de espacios homogéneos principales (a menudo llamados 'descensos', cuando se escriben mediante ecuaciones); en términos más modernos en un grupo de cohomología de Galois que se debe demostrar que es finito. Véase grupo de Selmer .
Teoría de Iwasawa
La teoría de Iwasawa se basa en la teoría analítica de números y el teorema de Stickelberger como una teoría de grupos de clases ideales como módulos de Galois y funciones L p-ádicas (con raíces en la congruencia de Kummer en números de Bernoulli ). En sus inicios a fines de la década de 1960 se la llamó el análogo de Iwasawa del jacobiano . La analogía era con la variedad jacobiana J de una curva C sobre un cuerpo finito F ( qua variedad de Picard), donde el cuerpo finito tiene raíces de unidad agregadas para hacer extensiones de cuerpo finito F ′ La función zeta local (qv) de C se puede recuperar de los puntos J ( F ′ ) como módulo de Galois. De la misma manera, Iwasawa agregó raíces p n -potenciales de la unidad para p fijo y con n → ∞, para su análogo, a un cuerpo numérico K , y consideró el límite inverso de los grupos de clases, encontrando una función L p -ádica introducida anteriormente por Kubota y Leopoldt.

K

Teoría K
La teoría K algebraica es, por un lado, una teoría bastante general con un matiz de álgebra abstracta y, por otro lado, está implicada en algunas formulaciones de conjeturas aritméticas. Véase, por ejemplo, la conjetura de Birch-Tate y la conjetura de Lichtenbaum .

yo

Conjetura de Lang
Enrico Bombieri (dimensión 2), Serge Lang y Paul Vojta (caso de puntos integrales) y Piotr Blass han conjeturado que las variedades algebraicas de tipo general no tienen subconjuntos densos de Zariski de puntos K -racionales, siendo K un cuerpo finitamente generado. Este círculo de ideas incluye la comprensión de la hiperbolicidad analítica y las conjeturas de Lang sobre ella, y las conjeturas de Vojta. Una variedad algebraica analíticamente hiperbólica V sobre los números complejos es aquella que no existe una aplicación holomorfa desde todo el plano complejo a ella, que no sea constante. Los ejemplos incluyen superficies compactas de Riemann de género g > 1. Lang conjeturó que V es analíticamente hiperbólica si y solo si todas las subvariedades son de tipo general. [19]
Toro lineal
Un toro lineal es un subgrupo de Zariski geométricamente irreducible de un toro afín (producto de grupos multiplicativos). [20]
Función zeta local
Una función zeta local es una función generadora para el número de puntos en una variedad algebraica V sobre un cuerpo finito F , sobre las extensiones de cuerpo finito de F . Según las conjeturas de Weil (qv) estas funciones, para variedades no singulares , exhiben propiedades estrechamente análogas a la función zeta de Riemann , incluida la hipótesis de Riemann .

METRO

Conjetura de Manin-Mumford
La conjetura de Manin-Mumford , ahora demostrada por Michel Raynaud , establece que una curva C en su variedad jacobiana J sólo puede contener un número finito de puntos que sean de orden finito en J , a menos que C = J. [21] [22 ]
Conjetura de Mordell
La conjetura de Mordell es ahora el teorema de Faltings y establece que una curva de género al menos dos tiene solo un número finito de puntos racionales. La conjetura de uniformidad establece que debería haber un límite uniforme en el número de tales puntos, que depende solo del género y del campo de definición.
Conjetura de Mordell-Lang
La conjetura de Mordell-Lang, ahora demostrada por McQuillan siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings , es una conjetura de Lang que unifica la conjetura de Mordell y la conjetura de Manin-Mumford en una variedad abeliana o variedad semiabeliana . [23] [24]
Teorema de Mordell-Weil
El teorema de Mordell-Weil es un resultado fundamental que establece que para una variedad abeliana A sobre un cuerpo numérico K, el grupo A ( K ) es un grupo abeliano finitamente generado . Esto se demostró inicialmente para cuerpos numéricos K , pero se extiende a todos los cuerpos finitamente generados.
Variedad mordellica
Una variedad mordélica es una variedad algebraica que tiene sólo un número finito de puntos en cualquier campo generado finitamente. [25]

norte

Altura ingenua
La altura ingenua o altura clásica de un vector de números racionales es el valor absoluto máximo del vector de números enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura en un punto del espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, a partir de la altura de su polinomio mínimo. [26]
Símbolo de Nerón
El símbolo de Néron es un emparejamiento bimultiplicativo entre divisores y ciclos algebraicos en una variedad abeliana utilizada en la formulación de Néron de la altura de Néron-Tate como una suma de contribuciones locales. [27] [28] [29] El símbolo global de Néron, que es la suma de los símbolos locales, es simplemente el negativo del emparejamiento de altura. [30]
Altura de Néron-Tate
La altura de Néron-Tate (también denominada a menudo altura canónica ) en una variedad abeliana A es una función de altura (qv) que es esencialmente intrínseca y una forma cuadrática exacta , en lugar de aproximadamente cuadrática con respecto a la adición en A como lo proporciona la teoría general de alturas. Puede definirse a partir de una altura general mediante un proceso límite; también hay fórmulas, en el sentido de que es una suma de contribuciones locales. [30]
Invariante de Nevanlinna
El invariante de Nevanlinna de un divisor amplio D en una variedad proyectiva normal X es un número real que describe la tasa de crecimiento del número de puntos racionales en la variedad con respecto a la incrustación definida por el divisor. [31] Tiene propiedades formales similares a la abscisa de convergencia de la función zeta de altura y se conjetura que son esencialmente iguales. [32]

Oh

Reducción ordinaria
Una variedad abeliana A de dimensión d tiene reducción ordinaria en un primo p si tiene buena reducción en p y además la p -torsión tiene rango d . [33]

Q

Cierre cuasi-algebraico
El tema del cierre cuasi-algebraico , es decir, la solubilidad garantizada por un número de variables polinomiales en el grado de una ecuación, surgió de los estudios del grupo de Brauer y del teorema de Chevalley-Warning . Se estancó ante los contraejemplos ; pero véase el teorema de Ax-Kochen de la lógica matemática .

R

Reducción módulo un número primo o ideal
Ver buena reducción .
Ideal repleto
Un ideal repleto en un cuerpo numérico K es un producto formal de un ideal fraccionario de K y un vector de números reales positivos con componentes indexados por los lugares infinitos de K. [34] Un divisor repleto es un divisor de Arakelov . [4]

S

Conjetura de Sato-Tate
La conjetura de Sato-Tate describe la distribución de los elementos de Frobenius en los módulos de Tate de las curvas elípticas sobre cuerpos finitos obtenidos a partir de la reducción de una curva elíptica dada sobre los racionales. Mikio Sato y, de forma independiente, John Tate [35] la propusieron alrededor de 1960. Es un prototipo para las representaciones de Galois en general.
El método de Skolem
Véase el método de Chabauty .
Conjunto especial
El conjunto especial en una variedad algebraica es el subconjunto en el que se podría esperar encontrar muchos puntos racionales. La definición precisa varía según el contexto. Una definición es la clausura de Zariski de la unión de imágenes de grupos algebraicos bajo aplicaciones racionales no triviales; alternativamente, se pueden tomar imágenes de variedades abelianas; [36] otra definición es la unión de todas las subvariedades que no son de tipo general. [19] Para las variedades abelianas, la definición sería la unión de todas las traducidas de subvariedades abelianas propias. [37] Para una variedad compleja, el conjunto especial holomorfo es la clausura de Zariski de las imágenes de todas las aplicaciones holomorfos no constantes de C. Lang conjeturó que los conjuntos especiales analíticos y algebraicos son iguales. [38]
Teorema del subespacio
El teorema del subespacio de Schmidt muestra que los puntos de pequeña altura en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos. Schmidt también obtuvo una forma cuantitativa del teorema, en la que se indica el número de subespacios que contienen todas las soluciones, y Schlickewei (1977) lo generalizó para permitir valores absolutos más generales en cuerpos numéricos . El teorema puede utilizarse para obtener resultados sobre ecuaciones diofánticas como el teorema de Siegel sobre puntos integrales y la solución de la ecuación de la unidad S. [39]

yo

Números de Tamagawa
La definición directa del número de Tamagawa funciona bien sólo para grupos algebraicos lineales . Allí, la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa finalmente se demostró. Para las variedades abelianas, y en particular la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), el enfoque del número de Tamagawa para un principio local-global falla en un intento directo, aunque ha tenido valor heurístico durante muchos años. Ahora, una conjetura sofisticada del número de Tamagawa equivariante es un importante problema de investigación.
Conjetura de Tate
La conjetura de Tate ( John Tate , 1963) proporcionó un análogo a la conjetura de Hodge , también sobre ciclos algebraicos , pero dentro de la geometría aritmética. También proporcionó, para superficies elípticas , un análogo de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), lo que condujo rápidamente a una clarificación de esta última y a un reconocimiento de su importancia.
Curva de Tate
La curva de Tate es una curva elíptica particular sobre los números p-ádicos introducidos por John Tate para estudiar la mala reducción (ver buena reducción ).
Rango Tsen
El rango Tsen de un cuerpo, llamado así por CC Tsen , quien introdujo su estudio en 1936, [40] es el número natural más pequeño i , si existe, tal que el cuerpo es de clase T i : es decir, tal que cualquier sistema de polinomios sin término constante de grado d j en n variables tiene un cero no trivial siempre que n > Σ d j i . Los cuerpos algebraicamente cerrados son de rango Tsen cero. El rango Tsen es mayor o igual a la dimensión diofántica , pero no se sabe si son iguales excepto en el caso del rango cero. [41]

tú

Conjetura de uniformidad
La conjetura de uniformidad establece que para cualquier cuerpo numérico K y g > 2, existe un límite uniforme B ( g , K ) sobre el número de puntos K -racionales en cualquier curva de género g . La conjetura se seguiría de la conjetura de Bombieri–Lang . [42]
Intersección improbable
Una intersección improbable es un subgrupo algebraico que interseca una subvariedad de un toro o una variedad abeliana en un conjunto de dimensión inusualmente grande, como el implicado en la conjetura de Mordell-Lang . [43]

V

Conjetura de Vojta
La conjetura de Vojta es un complejo de conjeturas de Paul Vojta , que establece analogías entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna .

Yo

Pesos
El yoga de los pesos es una formulación de Alexander Grothendieck de analogías entre la teoría de Hodge y la cohomología l-ádica . [44]
Cohomología de Weil
La idea inicial, modificada posteriormente en cierta medida, para demostrar las conjeturas de Weil (qv), era construir una teoría de cohomología que se aplicara a variedades algebraicas sobre cuerpos finitos que fuera tan buena como la homología singular para detectar la estructura topológica y que tuviera aplicaciones de Frobenius que actuaran de tal manera que el teorema de punto fijo de Lefschetz pudiera aplicarse al conteo en funciones zeta locales . Para la historia posterior, véase motivo (geometría algebraica) , cohomología motívica .
Conjeturas de Weil
Las conjeturas de Weil fueron tres conjeturas muy influyentes de André Weil , hechas públicas alrededor de 1949, sobre funciones zeta locales. La prueba se completó en 1973. Una vez probadas, quedan extensiones de la congruencia del teorema de Chevalley-Warning , que proviene de un método elemental, y mejoras de los límites de Weil, por ejemplo, mejores estimaciones para curvas del número de puntos que las que provienen del teorema básico de Weil de 1940. Estas últimas resultan ser de interés para los códigos de geometría algebraica .
Distribuciones de Weil en variedades algebraicas
En los años 1920 y 1930, André Weil propuso una teoría sobre la descomposición en ideales primos de números algebraicos en coordenadas de puntos de variedades algebraicas. Esta teoría ha permanecido poco desarrollada.
Función de Weil
Una función de Weil en una variedad algebraica es una función de valor real definida a partir de algún divisor de Cartier que generaliza el concepto de función de Green en la teoría de Arakelov . [45] Se utilizan en la construcción de los componentes locales de la altura de Néron–Tate . [46]
Máquina de altura Weil
La máquina de altura de Weil es un procedimiento eficaz para asignar una función de altura a cualquier divisor en una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo numérico (o a divisores de Cartier en variedades no suaves). [47]

Véase también

Referencias

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Lectura adicional