Curva de Tate

En matemáticas, la curva de Tate es una curva definida sobre el anillo de series de potencias formales con coeficientes enteros. Sobre el subesquema abierto donde q es invertible, la curva de Tate es una curva elíptica . La curva de Tate también se puede definir para q como un elemento de un cuerpo completo de norma menor que 1, en cuyo caso las series de potencias formales convergen. ${\displaystyle \mathbb {Z} [[q]]}$

La curva de Tate fue introducida por John Tate  (1995) en un manuscrito de 1959 originalmente titulado "Puntos racionales en curvas elípticas sobre campos completos"; no publicó sus resultados hasta muchos años después y su trabajo apareció por primera vez en Roquette (1970).

Definición

La curva de Tate es la curva del plano proyectivo sobre el anillo Z [[ q ]] de series de potencias formales con coeficientes enteros dados (en un subconjunto abierto afín del plano proyectivo) por la ecuación

${\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

dónde

${\displaystyle -a_{4}=5\sum _{n}{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots }$

${\displaystyle -a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}}\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots }$

son series de potencias con coeficientes enteros. ^[1]

La curva de Tate sobre un campo completo

Supóngase que el cuerpo k es completo respecto de algún valor absoluto | |, y q es un elemento distinto de cero del cuerpo k con | q |<1. Entonces las series anteriores convergen y definen una curva elíptica sobre k . Si además q es distinto de cero entonces hay un isomorfismo de grupos desde k ^* / q ^Z a esta curva elíptica, tomando w por ( x ( w ), y ( w )) para w no una potencia de q , donde

${\displaystyle x(w)=-y(w)-y(w^{-1})}$

${\displaystyle y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z} }{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}}$

y tomando potencias de q hasta el punto en el infinito de la curva elíptica. Las series x ( w ) e y ( w ) no son series de potencias formales en w .

Ejemplo intuitivo

En el caso de la curva sobre el cuerpo completo, , el caso más fácil de visualizar es , donde es el subgrupo discreto generado por un período multiplicativo , donde el período . Nótese que es isomorfo a , donde son los números complejos bajo adición. ${\displaystyle k^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {(\mathbb {C} ,+)}/(\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$

Para ver por qué la curva de Tate corresponde moralmente a un toro cuando el campo es C con la norma habitual, ya es simplemente periódica; al modificar por las potencias integrales de q, se modifica por , que es un toro. En otras palabras, tenemos un anillo y pegamos los bordes interno y externo. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Pero el anillo no corresponde al círculo menos un punto: el anillo es el conjunto de números complejos entre dos potencias consecutivas de q; digamos todos los números complejos con magnitud entre 1 y q. Eso nos da dos círculos, es decir, los bordes interior y exterior de un anillo.

La imagen del toro que se muestra aquí es un conjunto de círculos incrustados que se van estrechando cada vez más a medida que se acercan al origen.

Esto es ligeramente diferente del método habitual, que comienza con una hoja de papel plana, y pega los lados para formar un cilindro , y luego pega los bordes del cilindro para formar un toro, . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} ^{2}}$

Esto es una simplificación excesiva. La curva de Tate es en realidad una curva sobre un anillo de series de potencias formales, no una curva sobre C. Intuitivamente, es una familia de curvas que dependen de un parámetro formal. Cuando ese parámetro formal es cero, degenera en un toro pinzado, y cuando no es cero, es un toro.

Propiedades

El invariante j de la curva de Tate está dado por una serie de potencias en q con término principal q ⁻¹ . ^[2] Sobre un cuerpo local p -ádico , por lo tanto, j no es integral y la curva de Tate tiene reducción semiestable de tipo multiplicativo. Por el contrario, toda curva elíptica semiestable sobre un cuerpo local es isomorfa a una curva de Tate (hasta el giro cuadrático ). ^[3]

Referencias

1. Manin y Panchishkin (2007) pág. 220
2. Silverman (1994) pág. 423
3. Manin y Panchiskin (2007) p.300

• Lang, Serge (1987), Funciones elípticas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 112 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4752-4, ISBN 978-0-387-96508-6, MR  0890960, Zbl  0615.14018
• Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
• Robert, Alain (1973), Curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 326, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-46916-2, ISBN 978-3-540-06309-4, MR  0352107, Zbl  0256.14013
• Roquette, Peter (1970), Teoría analítica de funciones elípticas sobre campos locales, Hamburger Mathematische Einzelschriften (NF), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013, MR  0260753, Zbl  0194.52002
• Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94328-5.Zbl 0911.14015  .
• Tate, John (1995) [1959], "Una revisión de funciones elípticas no arquimedianas", en Coates, John; Yau, Shing-Tung (eds.), Curvas elípticas, formas modulares y el último teorema de Fermat (Hong Kong, 1993) , Series in Number Theory, vol. I, Int. Press, Cambridge, MA, págs. 162–184, CiteSeerX  10.1.1.367.7205 , ISBN 978-1-57146-026-4, Sr.  1363501