En matemáticas , un espacio homogéneo principal , [1] o torsor , para un grupo G es un espacio homogéneo X para G en el que el subgrupo estabilizador de cada punto es trivial. De manera equivalente, un espacio homogéneo principal para un grupo G es un conjunto no vacío X sobre el que G actúa libre y transitivamente (lo que significa que, para cualquier x , y en X , existe un único g en G tal que x · g = y , donde · denota la acción (correcta) de G sobre X ). Una definición análoga se aplica a otras categorías , donde, por ejemplo,
Si G no es abeliano , entonces hay que distinguir entre torsores izquierdos y derechos según si la acción es izquierda o derecha. En este artículo, utilizaremos acciones derechas.
Para expresar la definición de forma más explícita, X es un espacio homogéneo G -torsor o G -principal si X no está vacío y está equipado con una función (en la categoría apropiada) X × G → X tal que
para todo x ∈ X y todo g , h ∈ G , y tal que la función X × G → X × X dada por
es un isomorfismo (de conjuntos, o de espacios topológicos o..., según corresponda, es decir, de la categoría en cuestión).
Obsérvese que esto significa que X y G son isomorfos (en la categoría en cuestión; no como grupos: véase lo siguiente). Sin embargo, y este es el punto esencial, no hay un punto "identidad" preferido en X. Es decir, X se parece exactamente a G, excepto que se ha olvidado qué punto es la identidad. (Este concepto se utiliza a menudo en matemáticas como una forma de pasar a un punto de vista más intrínseco, bajo el título "descartar el origen").
Como X no es un grupo, no podemos multiplicar elementos; sin embargo, podemos tomar su "cociente". Es decir, existe una función X × X → G que envía ( x , y ) al único elemento g = x \ y ∈ G tal que y = x · g .
Sin embargo, la composición de la última operación con la acción de grupo correcta produce una operación ternaria X × ( X × X ) → X , que sirve como una generalización afín de la multiplicación de grupos y que es suficiente tanto para caracterizar algebraicamente un espacio homogéneo principal como para caracterizar intrínsecamente el grupo al que está asociado. Si denotamos el resultado de esta operación ternaria, entonces las siguientes identidades
bastará para definir un espacio homogéneo principal, mientras que la propiedad adicional
identifica aquellos espacios que están asociados a grupos abelianos. El grupo puede definirse como cocientes formales sujetos a la relación de equivalencia
con el producto de grupo, identidad e inversa definidos, respectivamente, por
y la acción grupal de
Cada grupo G puede considerarse a su vez como un G -torsor izquierdo o derecho bajo la acción natural de la multiplicación por izquierda o derecha.
Otro ejemplo es el concepto de espacio afín : la idea del espacio afín A subyacente a un espacio vectorial V puede resumirse sucintamente diciendo que A es un espacio homogéneo principal para V que actúa como grupo aditivo de traslaciones.
Las banderas de cualquier politopo regular forman un torsor para su grupo de simetría.
Dado un espacio vectorial V podemos tomar G como el grupo lineal general GL( V ), y X como el conjunto de todas las bases (ordenadas) de V . Entonces G actúa sobre X de la misma manera que actúa sobre los vectores de V ; y actúa transitivamente ya que cualquier base puede transformarse a través de G en cualquier otra. Es más, una transformación lineal que fije cada vector de una base fijará todos los v en V , y por lo tanto será el elemento neutro del grupo lineal general GL( V ) : de modo que X es de hecho un espacio homogéneo principal . Una forma de seguir la dependencia de la base en un argumento de álgebra lineal es rastrear las variables x en X . De manera similar, el espacio de bases ortonormales (la variedad de Stiefel de n -marcos ) es un espacio homogéneo principal para el grupo ortogonal .
En la teoría de categorías , si dos objetos X e Y son isomorfos, entonces los isomorfismos entre ellos, Iso( X , Y ), forman un torsor para el grupo de automorfismos de X , Aut( X ), y lo mismo para Aut( Y ); una elección de isomorfismo entre los objetos da lugar a un isomorfismo entre estos grupos e identifica al torsor con estos dos grupos, dándole al torsor una estructura de grupo (ya que ahora tiene un punto base ).
El concepto de espacio homogéneo principal es un caso especial del de fibrado principal : significa un fibrado principal cuya base es un único punto. En otras palabras, la teoría local de fibrados principales es la de una familia de espacios homogéneos principales que dependen de algunos parámetros en la base. El 'origen' puede ser proporcionado por una sección del fibrado (se suele suponer que dichas secciones existen localmente en la base ), siendo el fibrado localmente trivial , de modo que la estructura local es la de un producto cartesiano . Pero las secciones a menudo no existirán globalmente. Por ejemplo, una variedad diferencial M tiene un fibrado principal de marcos asociado a su fibrado tangente . Una sección global existirá (por definición) solo cuando M sea paralelizable , lo que implica fuertes restricciones topológicas.
En teoría de números hay una razón (superficialmente diferente) para considerar espacios homogéneos principales, para curvas elípticas E definidas sobre un cuerpo K (y variedades abelianas más generales ). Una vez entendido esto, se recopilaron varios otros ejemplos bajo el encabezado, para otros grupos algebraicos : formas cuadráticas para grupos ortogonales y variedades de Severi–Brauer para grupos lineales proyectivos siendo dos.
La razón del interés por las ecuaciones diofánticas , en el caso de la curva elíptica, es que K puede no ser algebraicamente cerrada . Pueden existir curvas C que no tengan un punto definido sobre K , y que se vuelvan isomorfas sobre un cuerpo mayor a E , que por definición tiene un punto sobre K que sirve como elemento identidad para su ley de adición. Es decir, para este caso deberíamos distinguir C que tienen género 1, de curvas elípticas E que tienen un punto K (o, en otras palabras, proporcionar una ecuación diofántica que tenga una solución en K ). Las curvas C resultan ser torsores sobre E , y forman un conjunto que lleva una estructura rica en el caso de que K sea un cuerpo de números (la teoría del grupo de Selmer ). De hecho, una curva cúbica plana típica C sobre Q no tiene ninguna razón particular para tener un punto racional ; el modelo estándar de Weierstrass siempre lo tiene, es decir, el punto en el infinito, pero se necesita un punto sobre K para poner C en esa forma sobre K.
Esta teoría se ha desarrollado con gran atención al análisis local , lo que ha llevado a la definición del grupo de Tate-Shafarevich . En general, el enfoque de tomar la teoría de torsores, fácil sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , y tratar de volver "abajo" a un cuerpo más pequeño es un aspecto de la descendencia . Conduce de inmediato a cuestiones de cohomología de Galois , ya que los torsores representan clases en la cohomología de grupos H 1 .
El concepto de espacio homogéneo principal también se puede globalizar de la siguiente manera. Sea X un "espacio" (un esquema / variedad / espacio topológico , etc.) y sea G un grupo sobre X , es decir, un objeto de grupo en la categoría de espacios sobre X . En este caso, un G -torsor (derecho, digamos) E sobre X es un espacio E (del mismo tipo) sobre X con una acción G (derecha) tal que el morfismo
dado por
es un isomorfismo en la categoría apropiada , y tal que E es localmente trivial en X , en que E → X adquiere una sección localmente en X. Las clases de isomorfismo de torsores en este sentido corresponden a clases en el grupo de cohomología H 1 ( X , G ).
Cuando estamos en la categoría de variedad suave , entonces un G -torsor (para G un grupo de Lie ) es precisamente un G - fibrado principal como se definió anteriormente.
Ejemplo: si G es un grupo de Lie compacto (por ejemplo), entonces es un G -torsor sobre el espacio de clasificación .
