Paquete de marcos

El fibrado ortonormal de la banda de Möbius es un fibrado principal no trivial sobre el círculo. ${\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

En matemáticas , un fibrado de marcos es un fibrado principal asociado a cualquier fibrado vectorial . La fibra de sobre un punto es el conjunto de todas las bases ordenadas , o fibrados , para . El grupo lineal general actúa naturalmente sobre mediante un cambio de base , dando al fibrado de marcos la estructura de un fibrado principal (donde k es el rango de ). ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$

El fibrado de una variedad lisa es el asociado a su fibrado tangente . Por esta razón, a veces se lo denomina fibrado tangente .

Definición y construcción

Sea un fibrado vectorial real de rango sobre un espacio topológico . Un marco en un punto es una base ordenada para el espacio vectorial . De manera equivalente, un marco puede considerarse como un isomorfismo lineal ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

El conjunto de todos los marcos en , denotado , tiene una acción derecha natural por el grupo lineal general de matrices invertibles: un elemento del grupo actúa sobre el marco a través de la composición para dar un nuevo marco ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

Esta acción de on es a la vez libre y transitiva (esto se desprende del resultado del álgebra lineal estándar de que existe una única transformación lineal invertible que envía una base a otra). Como espacio topológico, es homeomorfo a aunque carece de una estructura de grupo, ya que no hay un "marco preferido". Se dice que el espacio es a - torsor . ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

El fibrado de , denotado por o , es la unión disjunta de todos los : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

Cada punto en es un par ( x , p ) donde es un punto en y es un marco en . Hay una proyección natural que envía a . El grupo actúa sobre a la derecha como se indica arriba. Esta acción es claramente libre y las órbitas son solo las fibras de . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi :F(E)\to X}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi }$

Estructura del haz principal

Al fibrado de marco se le puede dar una topología natural y una estructura de fibrado determinada por la de . Sea una trivialización local de . Entonces para cada x ∈ U _i uno tiene un isomorfismo lineal . Estos datos determinan una biyección ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

dado por

${\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).}$

Con estas biyecciones, a cada uno se le puede dar la topología de . La topología de es la topología final coinducida por los mapas de inclusión . ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})}$ ${\displaystyle U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)}$

Con todos los datos anteriores el fibrado de trama se convierte en un fibrado principal sobre con grupo de estructura y trivializaciones locales . Se puede comprobar que las funciones de transición de son las mismas que las de . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$

Todo lo anterior funciona también en la categoría suave: si es un fibrado vectorial suave sobre una variedad suave , entonces al fibrado marco de puede darse la estructura de un fibrado principal suave sobre . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Paquetes de vectores asociados

Un fibrado vectorial y su fibrado marco son fibrados asociados . Cada uno determina al otro. El fibrado marco se puede construir a partir de lo anterior, o de manera más abstracta utilizando el teorema de construcción de fibrados de fibras . Con el último método, es el fibrado de fibras con la misma base, grupo de estructura, vecindarios trivializantes y funciones de transición que pero con fibra abstracta , donde la acción del grupo de estructura sobre la fibra es la de la multiplicación por la izquierda. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

Dada cualquier representación lineal existe un fibrado vectorial ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}$

asociado con el cual se da por producto módulo la relación de equivalencia para todo en . Denote las clases de equivalencia por . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)\times V}$ ${\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [p,v]}$

El fibrado vectorial es naturalmente isomorfo al fibrado donde es la representación fundamental de en . El isomorfismo está dado por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

donde es un vector en y es un marco en . Se puede comprobar fácilmente que este mapa está bien definido . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Cualquier fibrado vectorial asociado con se puede obtener mediante la construcción anterior. Por ejemplo, el fibrado dual de se obtiene mediante donde es el dual de la representación fundamental. Los fibrados tensoriales de se pueden construir de manera similar. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle E}$

Paquete de trama tangente

El fibrado tangente (o simplemente fibrado ) de una variedad lisa es el fibrado asociado con el fibrado tangente de . El fibrado de a menudo se denota o en lugar de . En física, a veces se denota . Si es -dimensional, entonces el fibrado tangente tiene rango , por lo que el fibrado de es un fibrado principal sobre . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (M)}$ ${\displaystyle F(TM)}$ ${\displaystyle LM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$

Marcos lisos

Las secciones locales del fibrado de se llaman fibrados lisos en . El teorema de la sección transversal para fibrados principales establece que el fibrado de es trivial sobre cualquier conjunto abierto en en el que admita un fibrado liso. Dado un fibrado liso , la trivialización está dada por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s:U\to FU}$ ${\displaystyle \psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}$

donde es un marco en . Se deduce que una variedad es paralelizable si y solo si el fibrado de marcos de admite una sección global. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Dado que el fibrado tangente de es trivializable sobre los entornos de coordenadas de, también lo es el fibrado de marco. De hecho, dado cualquier entorno de coordenadas con coordenadas, los campos de vectores de coordenadas ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}$

definir un marco suave en . Una de las ventajas de trabajar con haces de marcos es que permiten trabajar con marcos distintos de los marcos de coordenadas; se puede elegir un marco adaptado al problema en cuestión. Esto a veces se denomina método de mover marcos . ${\displaystyle U}$

Forma de soldadura

El fibrado de una variedad es un tipo especial de fibrado principal en el sentido de que su geometría está fundamentalmente ligada a la geometría de . Esta relación se puede expresar por medio de una 1-forma vectorial en llamada forma de soldadura (también conocida como 1-forma fundamental o tautológica ). Sea un punto de la variedad y un fibrado en , de modo que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}$

es un isomorfismo lineal de con el espacio tangente de en . La forma de soldadura de es la forma 1-valuada definida por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}$

donde ξ es un vector tangente a en el punto , y es la inversa del mapa de marco, y es la diferencial del mapa de proyección . La forma de soldadura es horizontal en el sentido de que se desvanece en vectores tangentes a las fibras de y equivariante derecha en el sentido de que ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi }$ ${\displaystyle \pi :FM\to M}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }$

donde es la traducción correcta por . Una forma con estas propiedades se llama forma básica o tensorial en . Tales formas están en correspondencia 1-1 con 1-formas con valores en , que están, a su vez, en correspondencia 1-1 con funciones de fibrado suaves sobre . Visto desde esta perspectiva, es solo la función identidad en . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle TM}$

Como convención de nomenclatura, el término "forma unitaria tautológica" suele reservarse para el caso en que la forma tiene una definición canónica, como es el caso aquí, mientras que "forma de soldadura" es más apropiado para aquellos casos en que la forma no está definida canónicamente. Esta convención no se observa aquí.

Paquete de marcos ortonormales

Si un fibrado vectorial está equipado con una métrica de fibrado de Riemann , entonces cada fibra no es sólo un espacio vectorial sino un espacio de producto interno . Entonces es posible hablar del conjunto de todos los marcos ortonormales para . Un marco ortonormal para es una base ortonormal ordenada para , o, equivalentemente, una isometría lineal ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$

donde está equipado con la métrica euclidiana estándar . El grupo ortogonal actúa libre y transitivamente sobre el conjunto de todos los marcos ortonormales mediante composición derecha. En otras palabras, el conjunto de todos los marcos ortonormales es un torsor derecho . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

El fibrado ortonormal de , denotado , es el conjunto de todos los fibrados ortonormales en cada punto del espacio base . Puede construirse mediante un método completamente análogo al del fibrado de fibrado ordinario. El fibrado ortonormal de un fibrado vectorial de Riemann es un fibrado principal sobre . Nuevamente, la construcción funciona igual de bien en la categoría suave. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle X}$

Si el fibrado vectorial es orientable , entonces se puede definir el fibrado ortonormal orientado de , denotado , como el fibrado principal de todos los fibrados ortonormales orientados positivamente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (k)}$

Si es una variedad riemanniana -dimensional , entonces el fibrado ortonormal de , denotado o , es el fibrado ortonormal asociado con el fibrado tangente de (que está equipado con una métrica riemanniana por definición). Si es orientable, entonces también se tiene el fibrado ortonormal orientado . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }M}$

Dado un fibrado vectorial de Riemann , el fibrado ortonormal es un subfibrado principal del fibrado lineal general. En otras palabras, el mapa de inclusión ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

${\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}$

es el mapa del fibrado principal . Se dice que es una reducción del grupo de estructura de a . ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

GRAMO-estructuras

Si una variedad lisa viene con una estructura adicional, a menudo es natural considerar un subfibrado del fibrado de marco completo de que se adapta a la estructura dada. Por ejemplo, si es una variedad de Riemann, vimos anteriormente que es natural considerar el fibrado de marco ortonormal de . El fibrado de marco ortonormal es simplemente una reducción del grupo de estructura de al grupo ortogonal . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$

En general, si es una variedad lisa y es un subgrupo de Lie de definimos una G -estructura en como una reducción del grupo de estructura de a . Explícitamente, se trata de un fibrado principal sobre junto con una función de fibrado equivariante ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{G}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}$

encima . ${\displaystyle M}$

En este lenguaje, una métrica riemanniana en da lugar a una estructura en . A continuación se ofrecen otros ejemplos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle M}$

• Cada variedad orientada tiene un fibrado de marco orientado que es simplemente una -estructura en . ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Una forma de volumen determina una -estructura en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Una variedad simpléctica -dimensional tiene una estructura natural . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad compleja o casi compleja de dimensión α tiene una estructura α natural. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

En muchos de estos casos, una -estructura en determina de forma única la estructura correspondiente en . Por ejemplo, una -estructura en determina una forma de volumen en . Sin embargo, en algunos casos, como en el caso de variedades simplécticas y complejas, se necesita una condición de integrabilidad adicional . Una -estructura en determina de forma única una 2-forma no degenerada en , pero para que sea simpléctica, esta 2-forma también debe ser cerrada . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (nueva edición), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 , consultado el 2008-08-02
• Sternberg, S. (1983), Lecciones sobre geometría diferencial ((2.ª ed.) ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4