Lista de temas de análisis numérico

Esta es una lista de temas de análisis numérico .

General

Números validados
Método iterativo
Tasa de convergencia : la velocidad a la que una secuencia convergente se acerca a su límite.
- Orden de precisión : velocidad a la que la solución numérica de la ecuación diferencial converge a la solución exacta
Aceleración de series : métodos para acelerar la velocidad de convergencia de una serie
- Proceso delta cuadrado de Aitken : muy útil para secuencias que convergen linealmente
- Extrapolación polinomial mínima : para secuencias vectoriales
- Extrapolación de Richardson
- Transformación de Shanks : similar al proceso delta-cuadrado de Aitken, pero aplicada a las sumas parciales
- Transformación de Van Wijngaarden : para acelerar la convergencia de una serie alternada
Abramowitz y Stegun : libro que contiene fórmulas y tablas de muchas funciones especiales
- Biblioteca digital de funciones matemáticas : sucesora del libro de Abramowitz y Stegun
La maldición de la dimensionalidad
Convergencia local y convergencia global: si necesita una buena estimación inicial para obtener la convergencia
Superconvergencia
Discretización
Cociente de diferencia
Complejidad:
- Complejidad computacional de operaciones matemáticas
- Análisis suavizado : medición del rendimiento esperado de los algoritmos bajo ligeras perturbaciones aleatorias de las entradas del peor caso
Cálculo simbólico-numérico : combinación de métodos simbólicos y numéricos
Aspectos culturales e históricos:
- Historia de la solución numérica de ecuaciones diferenciales mediante computadoras
- Problemas de cien dólares y cien dígitos : lista de diez problemas propuestos por Nick Trefethen en 2002
- Talleres internacionales sobre QCD en red y análisis numérico
- Cronología del análisis numérico a partir de 1945
Clases generales de métodos:
- Método de colocación : discretiza una ecuación continua al requerir que solo se cumpla en ciertos puntos.
- Método de nivelación
  - Conjunto de niveles (estructuras de datos) : estructuras de datos para representar conjuntos de niveles
- Métodos numéricos sinc : métodos basados en la función sinc, sinc( x ) = sin( x ) / x
- Métodos ABS

Error

Análisis de errores (matemáticas)

Aproximación
Error de aproximación
Cancelación catastrófica
Número de condición
Error de discretización
Número de punto flotante
- Dígito de protección : precisión adicional introducida durante un cálculo para reducir el error de redondeo
- Truncamiento : redondeo de un número de punto flotante descartando todos los dígitos después de un dígito determinado
- Error de redondeo
  - Precisión numérica en Microsoft Excel
- Aritmética de precisión arbitraria
Aritmética de intervalos : representar cada número mediante dos números de punto flotante que tienen garantizado el número desconocido entre ellos
- Contratista de intervalos : asigna el intervalo al subintervalo que aún contiene la respuesta exacta desconocida
- Propagación de intervalos : contraer dominios de intervalos sin eliminar ningún valor consistente con las restricciones
  - Véase también: Método de elementos de contorno de intervalo , Método de elementos finitos de intervalo
Pérdida de importancia
Error numérico
Estabilidad numérica
Propagación de errores:
- Propagación de la incertidumbre
- Residual (análisis numérico)
Cambio y diferencia relativos : la diferencia relativa entre x e y es | x − y | / máx(| x |, | y |)
Cifras significativas
- Precisión artificial : cuando un valor numérico o semántico se expresa con más precisión que la proporcionada inicialmente a partir de la medición o la entrada del usuario ^[1]
- Precisión falsa : dar cifras más significativas de las apropiadas
Lema de Sterbenz
Error de truncamiento : error que se comete al realizar solo un número finito de pasos
Problema bien planteado
Aritmética afín

Funciones elementales y especiales

Algoritmo sin restricciones
Suma:
- Algoritmo de suma de Kahan
- Suma por pares : un poco peor que la suma de Kahan, pero más barata
- División binaria
- 2Suma
Multiplicación:
- Algoritmo de multiplicación : discusión general, métodos simples
- Algoritmo Karatsuba : el primer algoritmo que es más rápido que la multiplicación simple
- Multiplicación de Toom-Cook : generalización de la multiplicación de Karatsuba
- Algoritmo de Schönhage-Strassen : basado en la transformada de Fourier, asintóticamente muy rápido
- Algoritmo de Fürer : asintóticamente ligeramente más rápido que Schönhage-Strassen
Algoritmo de división : para calcular el cociente y/o el resto de dos números
- División larga
- Restaurando la división
- División no restaurativa
- División SRT
- División de Newton-Raphson : utiliza el método de Newton para encontrar el recíproco de D y multiplicar ese recíproco por N para encontrar el cociente final Q.
- División Goldschmidt
Exponenciación:
- Exponenciación por cuadrado
- Exponenciación de cadena de adición
Algoritmos inversos multiplicativos : para calcular el inverso multiplicativo de un número (recíproco).
- El método de Newton
Polinomios:
- El método de Horner
- Esquema de Estrin : modificación del esquema de Horner con más posibilidades de paralelización
- Algoritmo de Clenshaw
- Algoritmo de De Casteljau
Raíces cuadradas y otras raíces:
- Raíz cuadrada entera
- Métodos para calcular raíces cuadradas
- algoritmo de raíz n- ésima
- hipot — la función ( x ² + y ² ) ^1/2
- Algoritmo alfa máximo más beta mínimo : aproxima hipot(x,y)
- Raíz cuadrada inversa rápida : calcula 1 / √ x utilizando detalles del sistema de punto flotante IEEE
Funciones elementales (exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas):
- Tablas trigonométricas : diferentes métodos para generarlas
- CORDIC : algoritmo de desplazamiento y suma que utiliza una tabla de arcotangentes
- Algoritmo BKM : algoritmo de desplazamiento y suma que utiliza una tabla de logaritmos y números complejos
Función gamma:
- Aproximación de Lanczos
- Aproximación de Spouge : modificación de la aproximación de Stirling; más fácil de aplicar que la de Lanczos
Método AGM : calcula la media aritmético-geométrica; los métodos relacionados calculan funciones especiales
Método FEE (Evaluación rápida de la función E): suma rápida de series como la serie de potencias para e ^x
Tablas precisas de Gal : tabla de valores de funciones con espaciado desigual para reducir el error de redondeo
Algoritmo Spigot : algoritmos que pueden calcular dígitos individuales de un número real
Aproximaciones de $π$ :
- Algoritmo π de Liu Hui : el primer algoritmo que puede calcular π con precisión arbitraria
- Fórmula de Leibniz para π : serie alternada con convergencia muy lenta
- Producto de Wallis : producto infinito que converge lentamente a π/2
- Fórmula de Viète : producto infinito más complicado que converge más rápido
- Algoritmo de Gauss-Legendre : iteración que converge cuadráticamente a π, basada en la media aritmético-geométrica
- Algoritmo de Borwein : iteración que converge cuárticamente a 1/π y otros algoritmos
- Algoritmo de Chudnovsky : algoritmo rápido que calcula una serie hipergeométrica
- Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe : se puede utilizar para calcular dígitos hexadecimales individuales de π
- Fórmula de Bellard : versión más rápida de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe
- Lista de fórmulas que involucran π

Álgebra lineal numérica

Álgebra lineal numérica : estudio de algoritmos numéricos para problemas de álgebra lineal.

Conceptos básicos

Tipos de matrices que aparecen en el análisis numérico:
- Matriz dispersa
- Matriz circulante
- Matriz triangular
- Matriz diagonalmente dominante
- Matriz de bloques : matriz compuesta de matrices más pequeñas
- Matriz de Stieltjes : definida positiva simétrica con entradas no positivas fuera de la diagonal
- Matriz de Hilbert : ejemplo de una matriz que está extremadamente mal condicionada (y por lo tanto es difícil de manejar)
- Matriz de Wilkinson : ejemplo de una matriz tridiagonal simétrica con pares de valores propios casi iguales, pero no exactamente iguales
- Matriz convergente : matriz cuadrada cuyas potencias sucesivas se aproximan a la matriz cero
Algoritmos para la multiplicación de matrices:
- Algoritmo de Strassen
- Algoritmo de Coppersmith-Winograd
- Algoritmo de Cannon : un algoritmo distribuido, especialmente adecuado para procesadores dispuestos en una cuadrícula 2D
- Algoritmo de Freivalds : un algoritmo aleatorio para comprobar el resultado de una multiplicación.
Descomposiciones matriciales :
- Descomposición LU : triangular inferior por triangular superior
- Descomposición QR : matriz ortogonal multiplicada por matriz triangular
  - Factorización RRQR : factorización QR que revela el rango, se puede utilizar para calcular el rango de una matriz
- Descomposición polar : matriz unitaria multiplicada por matriz hermítica semidefinida positiva
- Descomposiciones por semejanza:
  - Descomposición propia : descomposición en términos de vectores propios y valores propios
  - Forma normal de Jordan : matriz bidiagonal de una forma determinada; generaliza la descomposición propia
    - Forma canónica de Weyr : permutación de la forma normal de Jordan
  - Descomposición de Jordan-Chevalley : suma de la matriz nilpotente conmutativa y la matriz diagonalizable
  - Descomposición de Schur : transformación de similitud que convierte la matriz en una matriz triangular
- Descomposición en valores singulares : matriz unitaria por matriz diagonal por matriz unitaria
División de matrices : expresar una matriz dada como una suma o diferencia de matrices

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Eliminación gaussiana
- Forma escalonada por filas : matriz en la que todas las entradas por debajo de una entrada distinta de cero son cero
- Algoritmo de Bareiss : variante que garantiza que todas las entradas sigan siendo números enteros si la matriz inicial tiene entradas enteras
- Algoritmo de matriz tridiagonal : forma simplificada de eliminación gaussiana para matrices tridiagonales
Descomposición LU : escribe una matriz como producto de una matriz triangular superior y una inferior
- Descomposición de la matriz de Crout
- Reducción LU : una versión paralelizada especial de un algoritmo de descomposición LU
Descomposición del bloque LU
Descomposición de Cholesky : para resolver un sistema con una matriz definida positiva
- Algoritmo de grado mínimo
- Descomposición simbólica de Cholesky
Refinamiento iterativo : procedimiento para convertir una solución inexacta en una más precisa
Métodos directos para matrices dispersas:
- Solucionador frontal : utilizado en métodos de elementos finitos
- Disección anidada : para matrices simétricas, basada en la partición de gráficos
Recursión de Levinson : para matrices de Toeplitz
Algoritmo SPIKE : solucionador híbrido paralelo para matrices de banda estrecha
Reducción cíclica : eliminar filas o columnas pares o impares, repetir
Métodos iterativos:
- Método Jacobi
- Método de Gauss-Seidel
  - Sobre-relajación sucesiva (SOR): una técnica para acelerar el método de Gauss-Seidel
    - Sobre-relajación sucesiva simétrica (SSOR): variante de SOR para matrices simétricas
  - Algoritmo de retroajuste : procedimiento iterativo utilizado para ajustar un modelo aditivo generalizado, a menudo equivalente a Gauss-Seidel
- Iteración de Richardson modificada
- Método de gradiente conjugado (CG): supone que la matriz es definida positiva
  - Derivación del método del gradiente conjugado
  - Método de gradiente conjugado no lineal : generalización para problemas de optimización no lineal
- Método del gradiente biconjugado (BiCG)
  - Método de gradiente estabilizado biconjugado (BiCGSTAB): variante de BiCG con mejor convergencia
- Método de residuos conjugados : similar al CG, pero solo se supone que la matriz es simétrica
- Método de residuos mínimos generalizados (GMRES), basado en la iteración de Arnoldi
- Iteración de Chebyshev : evita los productos internos pero necesita límites en el espectro
- El método de Stone (SIP — Strongly Implicit Procedure) utiliza una descomposición LU incompleta
- Método Kaczmarz
- Preacondicionador
  - Factorización de Cholesky incompleta : aproximación dispersa a la factorización de Cholesky
  - Factorización LU incompleta : aproximación dispersa a la factorización LU
- Iteración de Uzawa : para problemas de nodos de silla de montar
Sistemas subdeterminados y sobredeterminados (sistemas que no tienen ninguna solución o tienen más de una):
- Cálculo numérico del espacio nulo : encontrar todas las soluciones de un sistema indeterminado
- Pseudoinversa de Moore-Penrose : para encontrar la solución con la norma 2 más pequeña (para sistemas subdeterminados) o el residuo más pequeño
- Aproximación dispersa : para encontrar la solución más dispersa (es decir, la solución con tantos ceros como sea posible)

Algoritmos de valores propios

Algoritmo de valores propios : un algoritmo numérico para localizar los valores propios de una matriz.

Iteración de potencia
Iteración inversa
Iteración del cociente de Rayleigh
Iteración de Arnoldi : basada en subespacios de Krylov
Algoritmo de Lanczos — Arnoldi, especializado en matrices definidas positivas
- Algoritmo de Lanczos en bloque : para cuando la matriz se encuentra sobre un campo finito
Algoritmo QR
Algoritmo de valor propio de Jacobi : seleccione una submatriz pequeña que pueda diagonalizarse exactamente y repita
- Rotación de Jacobi : el bloque de construcción, casi una rotación de Givens
- Método de Jacobi para matrices hermíticas complejas
Algoritmo de valores propios de divide y vencerás
Método del espectro plegado
LOBPCG — Método de gradiente conjugado preacondicionado en bloques localmente óptimos
Perturbación de valores propios : estabilidad de los valores propios bajo perturbaciones de la matriz

Otros conceptos y algoritmos

Algoritmos de ortogonalización :
- Proceso de Gram-Schmidt
- Transformación del jefe de familia
  - Operador Householder : análogo de la transformación Householder para espacios de productos internos generales
- Rotación de Givens
Subespacio de Krylov
Matriz de bloques pseudoinversa
Bidiagonalización
Algoritmo Cuthill-McKee : permuta filas/columnas en una matriz dispersa para generar una matriz de banda estrecha
Transposición de matriz en el lugar : cálculo de la transposición de una matriz sin utilizar mucho almacenamiento adicional
Elemento pivote : entrada en una matriz en la que se concentra el algoritmo
Métodos sin matriz : métodos que solo acceden a la matriz mediante la evaluación de productos matriz-vector

Interpolación y aproximación

Interpolación : construir una función que pase por algunos puntos de datos dados

Interpolación del vecino más cercano : toma el valor del vecino más cercano

Interpolación polinómica

Interpolación polinómica : interpolación por polinomios

Interpolación lineal
El fenómeno de Runge
Matriz de Vandermonde
Polinomios de Chebyshev
Nodos de Chebyshev
Constantes de Lebesgue
Diferentes formas para el interpolante:
- Polinomio de Newton
  - Diferencias divididas
  - Algoritmo de Neville : para evaluar el interpolante; basado en la forma de Newton
- Polinomio de Lagrange
- Polinomio de Bernstein : especialmente útil para la aproximación
- Fórmula de interpolación de Brahmagupta : fórmula del siglo VII para la interpolación cuadrática
Extensiones a múltiples dimensiones:
- Interpolación bilineal
- Interpolación trilineal
- Interpolación bicúbica
- Interpolación tricúbica
- Puntos de Padua : conjunto de puntos en R ² con interpolador polinomial único y crecimiento mínimo de la constante de Lebesgue
Interpolación de Hermite
Interpolación de Birkhoff
Interpolación de Abel-Goncharov

Interpolación de splines

Interpolación spline : interpolación mediante polinomios por partes

Spline (matemáticas) : polinomios por partes utilizados como interpoladores
Spline perfecto : spline polinomial de grado m cuya derivada m es ±1
Spline cúbico de Hermite
- Spline centrípeto de Catmull-Rom : caso especial de splines cúbicos de Hermite sin autointersecciones ni cúspides
Interpolación cúbica monótona
Spline de Hermite
Curva de Bézier
- Algoritmo de De Casteljau
- curva de Bézier compuesta
- Generalizaciones a más dimensiones:
  - Triángulo de Bézier : asigna un triángulo a R ³
  - Superficie de Bézier : asigna un cuadrado a R ³
B-spline
- Box spline : generalización multivariante de B-splines
- Función de potencia truncada
- Algoritmo de De Boor : generaliza el algoritmo de De Casteljau
B-spline racional no uniforme (NURBS)
- T-spline : se puede considerar como una superficie NURBS para la cual se permite que una fila de puntos de control termine
Ranura de Kochanek-Bartels
Parche de Coons : tipo de parametrización de colectores que se utiliza para unir suavemente otras superficies.
M-spline : un spline no negativo
I-spline : un spline monótono, definido en términos de M-splines
Spline de suavizado : un spline ajustado suavemente a datos ruidosos
Blossom (funcional) : un mapa único, afín y simétrico asociado a un polinomio o spline
Véase también: Lista de temas de geometría computacional numérica

Interpolación trigonométrica

Interpolación trigonométrica : interpolación mediante polinomios trigonométricos

Transformada de Fourier discreta : puede verse como una interpolación trigonométrica en puntos equidistantes
- Relaciones entre las transformadas de Fourier y las series de Fourier
Transformada rápida de Fourier (FFT): un método rápido para calcular la transformada de Fourier discreta
- Algoritmo FFT de Bluestein
- Algoritmo FFT de Bruun
- Algoritmo de FFT de Cooley-Tukey
- Algoritmo FFT de base dividida : variante de Cooley–Tukey que utiliza una combinación de bases 2 y 4
- Algoritmo de Goertzel
- Algoritmo FFT de factor primo
- Algoritmo FFT de Rader
- Permutación de inversión de bits : permutación particular de vectores con 2 ^m entradas utilizada en muchas FFT.
- Diagrama de mariposa
- Factor de torsión : los coeficientes constantes trigonométricos que se multiplican por los datos
- Transformada rápida de Fourier ciclotómica : para FFT sobre campos finitos
- Métodos para calcular convoluciones discretas con filtros de respuesta de impulso finito utilizando la FFT:
  - Método de superposición y adición
  - Método de superposición y ahorro
Aproximación sigma
Núcleo de Dirichlet : al convolucionar cualquier función con el núcleo de Dirichlet se obtiene su interpolador trigonométrico.
Fenómeno de Gibbs

Otros interpoladores

Aproximación racional simple
- Modelado de funciones polinómicas y racionales : comparación de la interpolación polinómica y racional
Ondícula
Ponderación de distancia inversa
Función de base radial (RBF): una función de la forma ƒ( x ) = φ (| x − x ₀ |)
- Spline poliarmónico : una función de base radial de uso común
- Spline de placa delgada : un spline poliarmónico específico: r ² log r
- RBF jerárquico
Superficie de subdivisión : construida subdividiendo recursivamente un interpolador lineal por partes
Slerp (interpolación lineal esférica): interpolación entre dos puntos en una esfera
- Interpolación de cuaterniones generalizada: generaliza slerp para la interpolación entre más de dos cuaterniones
Transformada ponderada discreta de base irracional
Interpolación de Nevanlinna–Pick : interpolación mediante funciones analíticas en el disco unitario sujeto a un límite
- Matriz de selección : la interpolación de Nevanlinna-Pick tiene una solución si esta matriz es semidefinida positiva
Interpolación multivariable : la función que se interpola depende de más de una variable
- Interpolación de Barnes : método para funciones bidimensionales que utiliza gaussianas comunes en meteorología
- Superficie de Coons : combinación de interpolación lineal e interpolación bilineal
- Remuestreo de Lanczos : basado en convolución con una función sinc
- Interpolación de vecinos naturales
- Interpolación del valor del vecino más próximo
- Superficie de PDE
- Interpolación transfinita : construye una función en un dominio planar dados sus valores en el límite
- Análisis de superficie de tendencia : basado en polinomios de orden bajo de coordenadas espaciales; utiliza observaciones dispersas
- Los métodos basados en polinomios se enumeran en Interpolación polinómica.

Teoría de aproximación

Órdenes de aproximación
Lema de Lebesgue
Ajuste de curvas
- Reconstrucción del campo vectorial
Módulo de continuidad : mide la suavidad de una función.
Mínimos cuadrados (aproximación de funciones) : minimiza el error en la norma L ²
Algoritmo de aproximación minimax : minimiza el error máximo en un intervalo (la norma L ^{∞ )}
- Teorema de equioscilación : caracteriza la mejor aproximación en la norma L ^∞
Conjunto de puntos unisolventes : la función de un espacio de funciones dado está determinada únicamente por los valores de dicho conjunto de puntos.
Teorema de Stone-Weierstrass : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante polinomios o ciertos otros espacios de funciones.
Aproximación por polinomios:
- Aproximación lineal
- Polinomio de Bernstein : base de polinomios útiles para aproximar una función
- Constante de Bernstein : error al aproximar | x | mediante un polinomio
- Algoritmo de Remez : para construir la mejor aproximación polinomial en la norma L ^∞
- Desigualdad de Bernstein (análisis matemático) : límite máximo de la derivada de un polinomio en un disco unitario
- Teorema de Mergelyan : generalización del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios
- Teorema de Müntz-Szász : variante del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios si algunos coeficientes deben ser cero
- Lema de Bramble-Hilbert : límite superior del error L ^p de la aproximación polinómica en múltiples dimensiones
- Polinomios de Chebyshev discretos : polinomios ortogonales con respecto a una medida discreta
- Teorema de Favard : los polinomios que satisfacen relaciones de recurrencia de 3 términos adecuadas son polinomios ortogonales
Aproximación por series de Fourier / polinomios trigonométricos:
- Desigualdad de Jackson : límite superior para la mejor aproximación mediante un polinomio trigonométrico
  - Teorema de Bernstein (teoría de aproximación) : una contraparte de la desigualdad de Jackson
- Teorema de Fejér : las medias de Cesàro de las sumas parciales de las series de Fourier convergen uniformemente para funciones periódicas continuas
- Desigualdad de Erdős-Turán : límites de distancia entre la probabilidad y la medida de Lebesgue en términos de coeficientes de Fourier
Diferentes aproximaciones:
- Movimiento de mínimos cuadrados
- Padé aproximado
  - Tabla de Padé — tabla de aproximaciones de Padé
- Teorema de Hartogs-Rosenthal : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante funciones racionales en un conjunto de medida de Lebesgue cero
- Operador Szász-Mirakyan : aproximación por e ^{− n} x ^k en un intervalo semiinfinito
- Operador Szász-Mirakjan-Kantorovich
- Operador de Baskakov : generaliza polinomios de Bernstein, operadores de Szász-Mirakyan y operadores de Lupas
- Operador de Favard : aproximación por sumas de gaussianas
Modelo sustituto : aplicación: sustitución de una función difícil de evaluar por una función más sencilla
Teoría de la función constructiva : campo que estudia la conexión entre el grado de aproximación y la suavidad.
Ecuación diferencial universal : ecuación diferencial-algebraica cuyas soluciones pueden aproximarse a cualquier función continua.
Problema de Fekete : encontrar N puntos en una esfera que minimicen algún tipo de energía
Condición de Carleman : condición que garantiza que una medida está determinada únicamente por sus momentos.
Condición de Kerin : condición de que las sumas exponenciales sean densas en el espacio L ^{2 ponderado}
Teorema del letargo : sobre la distancia de los puntos en un espacio métrico respecto de los miembros de una secuencia de subespacios
Teorema de representación y proyección de Wirtinger
Revistas:
- Aproximación constructiva
- Revista de teoría de aproximación

Misceláneas

Extrapolación
- Análisis predictivo lineal : extrapolación lineal
Funciones unisolventes : funciones para las cuales el problema de interpolación tiene una solución única
Análisis de regresión
- Regresión isotónica
Compactación por ajuste de curvas
Interpolación (gráficos por computadora)

Encontrar raíces de ecuaciones no lineales

Ver #Álgebra lineal numérica para ecuaciones lineales

Algoritmo de búsqueda de raíces : algoritmos para resolver la ecuación f ( x ) = 0

Métodos generales:
- Método de bisección : simple y robusto; convergencia lineal
  - Algoritmo de Lehmer-Schur : variante para funciones complejas
- Iteración de punto fijo
- Método de Newton : basado en aproximación lineal alrededor de la iteración actual; convergencia cuadrática
  - Teorema de Kantorovich : proporciona una región alrededor de la solución tal que el método de Newton converge
  - Fractal de Newton : indica qué condición inicial converge a qué raíz bajo la iteración de Newton
  - Método cuasi-Newton : utiliza una aproximación del jacobiano:
    - El método de Broyden utiliza una actualización de rango uno para el jacobiano
    - Rango uno simétrico : una actualización simétrica (pero no necesariamente definida positiva) de rango uno del jacobiano
    - Fórmula de Davidon-Fletcher-Powell : actualización del jacobiano en la que la matriz permanece definida positiva
    - Algoritmo de Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno : actualización de rango dos del jacobiano en el que la matriz permanece definida positiva
    - Método BFGS de memoria limitada : variante truncada y sin matriz del método BFGS adecuada para problemas grandes
  - El método de Steffensen utiliza diferencias divididas en lugar de la derivada.
- Método secante : basado en interpolación lineal en las dos últimas iteraciones
- Método de la posición falsa : método de la secante con ideas del método de la bisección
- Método de Muller , basado en interpolación cuadrática en las últimas tres iteraciones
- Método secante generalizado de Sidi : variantes de orden superior del método secante
- Interpolación cuadrática inversa : similar al método de Muller, pero interpola la inversa
- Método de Brent : combina el método de bisección, el método secante y la interpolación cuadrática inversa
- El método de Ridders : ajusta una función lineal multiplicada por una exponencial hasta las dos últimas iteraciones y su punto medio.
- El método de Halley utiliza f , f ' y f ''; logra la convergencia cúbica
- Método de Householder : utiliza las primeras d derivadas para lograr el orden d + 1; generaliza el método de Newton y Halley
Métodos para polinomios:
- Método Aberth
- El método de Bairstow
- Método de Durand-Kerner
- El método de Graeffe
- Algoritmo Jenkins-Traub : rápido, confiable y ampliamente utilizado
- El método de Laguerre
- Método de división del círculo
Análisis:
- Polinomio de Wilkinson
Continuación numérica : seguimiento de una raíz a medida que cambia un parámetro en la ecuación
- Continuación lineal por partes

Mejoramiento

Optimización matemática : algoritmo para encontrar máximos o mínimos de una función dada

Conceptos básicos

Conjunto activo
Solución candidata
Restricción (matemáticas)
- Optimización restringida : estudia problemas de optimización con restricciones.
- Restricción binaria : una restricción que involucra exactamente dos variables
Solución de esquina
Región factible : contiene todas las soluciones que satisfacen las restricciones pero pueden no ser óptimas
Óptimo global y óptimo local
Máximos y mínimos
Variable de holgura
Optimización continua
Optimización discreta

Programación lineal

Programación lineal (también trata la programación entera ): la función objetivo y las restricciones son lineales.

Algoritmos para programación lineal:
- Algoritmo simplex
  - Regla de Bland : regla para evitar el ciclo en el método símplex
  - Cubo de Klee-Minty : (hiper)cubo perturbado; el método símplex tiene una complejidad exponencial en dicho dominio
  - Algoritmo entrecruzado : similar al algoritmo simplex
  - Método Big M : variación del algoritmo símplex para problemas con restricciones tanto de "menor que" como de "mayor que"
- Método del punto interior
- Generación de columnas
- Aproximación k de un conjunto de impactos k : algoritmo para problemas de PL específicos (para encontrar un conjunto de impactos ponderado)
Problema de complementariedad lineal
Descomposiciones:
Solución básica (programación lineal) : solución en el vértice de la región factible
Eliminación de Fourier-Motzkin
Base de Hilbert (programación lineal) : conjunto de vectores enteros en un cono convexo que generan todos los vectores enteros en el cono
Problema de tipo LP
Desigualdad lineal
Problema de enumeración de vértices : enumerar todos los vértices del conjunto factible

Optimización convexa

Programación cuadrática
- Mínimos cuadrados lineales (matemáticas)
- Mínimos cuadrados totales
- Algoritmo de Frank-Wolfe
- Optimización mínima secuencial : divide los grandes problemas de QP en una serie de problemas de QP más pequeños posibles
- Programa bilineal
Búsqueda de la base : minimizar la norma L ₁ del vector sujeto a restricciones lineales
- Eliminación de ruido mediante búsqueda de base (BPDN): versión regularizada de la búsqueda de base
  - Algoritmo de in-crowd : algoritmo para resolver la eliminación de ruido de búsqueda de base
Desigualdad matricial lineal
Optimización cónica
- Programación semidefinida
- Programación de conos de segundo orden
- Optimización por suma de cuadrados
- Programación cuadrática (ver arriba)
Método de Bregman : método de acción por filas para problemas de optimización estrictamente convexos
Método de gradiente proximal : utiliza la división de la función objetivo en la suma de posibles partes no diferenciables
Método de subgradiente : extensión del descenso más pronunciado para problemas con una función objetivo no diferenciable
Optimización biconvexa : generalización en la que la función objetivo y el conjunto de restricciones pueden ser biconvexos

Programación no lineal

Programación no lineal : el problema de optimización más general en el marco habitual

Casos especiales de programación no lineal:
- Ver programación lineal y optimización convexa arriba
- Programación geométrica : problemas que involucran signomios o posinomios
  - Signomio : similar a los polinomios, pero los exponentes no necesitan ser números enteros
  - Posinomio : un signomio con coeficientes positivos
- Programa cuadrático restringido cuadráticamente
- Programación lineal-fraccional : el objetivo es la relación de funciones lineales, las restricciones son lineales
  - Programación fraccionaria : el objetivo es la relación de funciones no lineales, las restricciones son lineales
- Problema de complementariedad no lineal (NCP): encuentre x tal que x ≥ 0, f ( x ) ≥ 0 y x ^T f ( x ) = 0
- Mínimos cuadrados : la función objetivo es una suma de cuadrados
  - Mínimos cuadrados no lineales
  - Algoritmo de Gauss-Newton
    - Algoritmo BHHH : variante del algoritmo Gauss-Newton en econometría
    - Método de Gauss-Newton generalizado : para problemas de mínimos cuadrados no lineales restringidos
  - Algoritmo de Levenberg-Marquardt
  - Mínimos cuadrados reponderados iterativamente (IRLS): resuelve un problema de mínimos cuadrados ponderados en cada iteración
  - Mínimos cuadrados parciales : técnicas estadísticas similares al análisis de componentes principales
    - Mínimos cuadrados parciales iterativos no lineales (NIPLS)
- Programación matemática con restricciones de equilibrio : las restricciones incluyen desigualdades variacionales o complementariedades
- Optimización univariante:
  - Búsqueda de la sección áurea
  - Interpolación parabólica sucesiva : basada en la interpolación cuadrática a través de las últimas tres iteraciones
Algoritmos generales:
- Conceptos:
  - Dirección de descenso
  - Valor de estimación : la estimación inicial de una solución con la que comienza un algoritmo.
  - Búsqueda de línea
    - Búsqueda de línea de retroceso
    - Condiciones de Wolfe
- Método de gradiente : método que utiliza el gradiente como dirección de búsqueda
  - Descenso de gradiente
    - Descenso de gradiente estocástico
  - Iteración de Landweber : se utiliza principalmente para problemas mal planteados
- Programación lineal sucesiva (SLP): reemplace el problema por un problema de programación lineal, resuélvalo y repita
- Programación cuadrática secuencial (SQP): reemplace el problema por un problema de programación cuadrática, resuélvalo y repita
- El método de Newton en optimización
  - Véase también Algoritmo de Newton en la sección Encontrar raíces de ecuaciones no lineales.
- Método de gradiente conjugado no lineal
- Métodos sin derivadas
  - Descenso de coordenadas : moverse en una de las direcciones de coordenadas
    - Descenso de coordenadas adaptativo : adaptar las direcciones de las coordenadas a la función objetivo
    - Descenso aleatorio de coordenadas : versión aleatoria
  - Método Nelder-Mead
  - Búsqueda de patrones (optimización)
  - El método de Powell , basado en el descenso del gradiente conjugado
  - Métodos de Rosenbrock : método sin derivadas, similar al de Nelder-Mead pero con convergencia garantizada
- Método lagrangiano aumentado : reemplaza problemas restringidos por problemas sin restricciones con un término agregado a la función objetivo
- Búsqueda ternaria
- Búsqueda tabú
- Búsqueda local guiada : modificación de los algoritmos de búsqueda que genera penalizaciones durante una búsqueda
- Optimización de búsqueda reactiva (RSO): el algoritmo adapta sus parámetros automáticamente
- Algoritmo MM : minimización de mayor a menor, un amplio marco de métodos
- Desviaciones absolutas mínimas
  - Algoritmo de expectativa-maximización
    - Maximización de expectativas de subconjunto ordenado
- Búsqueda de vecino más cercano
- Mapeo espacial : utiliza modelos "gruesos" (ideales o de baja fidelidad) y "finos" (prácticos o de alta fidelidad)

Control óptimo y optimización de dimensión infinita

Control óptimo

Principio mínimo de Pontryagin : versión de dimensión infinita de los multiplicadores de Lagrange
- Ecuaciones de costata : ecuación para los "multiplicadores de Lagrange" en el principio mínimo de Pontryagin
- Hamiltoniano (teoría de control) : el principio mínimo dice que esta función debe minimizarse
Tipos de problemas:
- Regulador lineal-cuadrático : la dinámica del sistema es una ecuación diferencial lineal, el objetivo es cuadrático
- Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG): la dinámica del sistema es una SDE lineal con ruido aditivo, el objetivo es cuadrático
  - Ecuaciones de proyección óptimas : método para reducir la dimensión del problema de control LQG
Ecuación algebraica de Riccati : ecuación matricial que aparece en muchos problemas de control óptimo
Control bang-bang : control que cambia abruptamente entre dos estados
Principio de mapeo de covectores
Programación dinámica diferencial : utiliza modelos cuadráticos locales de las funciones dinámicas y de costo.
Punto DNSS : estado inicial para ciertos problemas de control óptimo con múltiples soluciones óptimas
Condición de Legendre-Clebsch : condición de segundo orden para la solución de un problema de control óptimo
Control óptimo pseudoespectral
- Método pseudoespectral de Bellman : basado en el principio de optimalidad de Bellman
- Método pseudoespectral de Chebyshev : utiliza polinomios de Chebyshev (del primer tipo)
- Método pseudoespectral plano : combina el método pseudoespectral de Ross-Fahroo con planitud diferencial
- Método pseudoespectral de Gauss : utiliza la colocación en los puntos de Legendre-Gauss
- Método pseudoespectral de Legendre : utiliza polinomios de Legendre
- Método de anudado pseudoespectral : generalización de los métodos pseudoespectrales en el control óptimo
- Método pseudoespectral de Ross-Fahroo : clase de método pseudoespectral que incluye Chebyshev, Legendre y anudado
Lema de Ross-Fahroo : condición para que las operaciones de discretización y dualidad conmuten
Lema π de Ross : existe una constante de tiempo fundamental dentro de la cual se debe calcular una solución de control para lograr controlabilidad y estabilidad
Modelo Sethi : modelado de problemas de control óptimo de la publicidad

Optimización de dimensión infinita

Programación semi-infinita : número infinito de variables y número finito de restricciones, o viceversa
Optimización de forma , optimización de topología : optimización sobre un conjunto de regiones
- Derivada topológica : derivada con respecto al cambio de forma.
Programación semi-infinita generalizada : número finito de variables, número infinito de restricciones

Incertidumbre y aleatoriedad

Enfoques para abordar la incertidumbre:
Algoritmos de optimización aleatoria :
- Búsqueda aleatoria : elija un punto al azar en la bola alrededor de la iteración actual
- Recocido simulado
  - Recocido simulado adaptativo : variante en la que los parámetros del algoritmo se ajustan durante el cálculo.
  - Algoritmo del Gran Diluvio
  - Recocido de campo medio : variante determinista del recocido simulado
- Optimización bayesiana : trata la función objetivo como una función aleatoria y le asigna un valor anterior.
- Algoritmo evolutivo
  - Evolución diferencial
  - Programación evolutiva
  - Algoritmo genético , Programación genética
    - Algoritmos genéticos en economía
  - MCACEA (Algoritmo evolutivo de coevolución de agentes coordinados múltiples): utiliza un algoritmo evolutivo para cada agente
  - Aproximación estocástica de perturbación simultánea (SPSA)
- Luus–Jaakola
- Optimización de enjambre de partículas
- Túnel estocástico
- Búsqueda de armonía : imita el proceso de improvisación de los músicos
- Véase también la sección Método de Monte Carlo.

Aspectos teóricos

Análisis convexo : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≥ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) para t ∈ [0,1]
- Función pseudoconvexa : función f tal que ∇ f · ( y − x ) ≥ 0 implica f ( y ) ≥ f ( x )
- Función cuasiconvexa : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ máx( f ( x ), f ( y )) para t ∈ [0,1]
- Subderivada
- Convexidad geodésica : convexidad para funciones definidas en una variedad de Riemann
Dualidad (optimización)
- Dualidad débil : la solución dual proporciona un límite para la solución primaria
- Dualidad fuerte : las soluciones primarias y duales son equivalentes
- Precio sombra
- Cono dual y cono polar
- Brecha de dualidad : diferencia entre solución primaria y dual
- Teorema de dualidad de Fenchel : relaciona problemas de minimización con problemas de maximización de conjugados convexos.
- Función de perturbación : cualquier función relacionada con problemas primarios y duales.
- Condición de Slater : condición suficiente para que se cumpla la dualidad fuerte en un problema de optimización convexa
- Integralidad dual total : concepto de dualidad para programación lineal entera
- Dualidad de Wolfe : para cuando la función objetivo y las restricciones son diferenciables
El lema de Farkas
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): condiciones suficientes para que una solución sea óptima
- Condiciones de Fritz John : variante de las condiciones KKT
Multiplicador de Lagrange
- Multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach
Semi-continuidad
Teoría de complementariedad : estudio de problemas con restricciones de la forma ⟨ u , v ⟩ = 0
- Problema de complementariedad mixta
  - Problema de complementariedad lineal mixta
  - Algoritmo de Lemke : método para resolver problemas de complementariedad lineal (mixta)
Teorema de Danskin : utilizado en el análisis de problemas minimax
Teorema del máximo : el máximo y el maximizador son continuos en función de los parámetros, bajo ciertas condiciones
No hay nada gratis en búsqueda y optimización
Relajación (aproximación) : aproximar un problema dado mediante un problema más fácil relajando algunas restricciones
- Relajación lagrangiana
- Relajación de programación lineal : ignorar las restricciones de integralidad en un problema de programación lineal
Función autoconcordante
Costo reducido : costo de aumentar una variable en una pequeña cantidad
Dificultad de aproximación : complejidad computacional para obtener una solución aproximada

Aplicaciones

En geometría:
- Mediana geométrica : el punto que minimiza la suma de distancias a un conjunto dado de puntos
- Centro de Chebyshev : el centro de la bola más pequeña que contiene un conjunto dado de puntos
En estadística:
- Modos condicionales iterados : maximización de la probabilidad conjunta del campo aleatorio de Markov
- Metodología de superficie de respuesta : utilizada en el diseño de experimentos
Colocación automática de etiquetas
Detección comprimida : reconstruir una señal a partir del conocimiento de que es escasa o comprimible
Problema de corte de stock
Optimización de la demanda
Despacho de destino : una técnica de optimización para el despacho de ascensores
Minimización de energía
Maximización de la entropía
Tolerancia altamente optimizada
Optimización de hiperparámetros
Problema de control de inventario
- Modelo de vendedor de periódicos
- Modelo ampliado de vendedor de noticias
- Sistema de ensamblaje bajo pedido
Descodificación de programación lineal
Problema de búsqueda lineal : encuentre un punto en una línea moviéndose a lo largo de ella
Aproximación de rango bajo : encuentre la mejor aproximación, la restricción es que el rango de alguna matriz es menor que un número dado
Metaoptimización : optimización de los parámetros en un método de optimización
Optimización del diseño multidisciplinario
Asignación óptima del presupuesto computacional : maximice la eficiencia general de la simulación para encontrar una decisión óptima
Problema de la bolsa de papel
Optimización de procesos
Economía recursiva : los individuos toman una serie de decisiones de optimización de dos períodos a lo largo del tiempo.
Dieta de Stigler
Problema de asignación de espacio
Mayoría del estrés
Optimización de trayectoria
Teoría del transporte
Optimización de la forma del ala

Misceláneas

Optimización combinatoria
Programación dinámica
- Ecuación de Bellman
- Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman : análogo en tiempo continuo de la ecuación de Bellman
- Inducción hacia atrás : solución de problemas de programación dinámica razonando hacia atrás en el tiempo
- Parada óptima : elegir el momento óptimo para realizar una acción determinada
  - Algoritmo de probabilidades
  - El problema de Robbins
Optimización global :
- Algoritmo BRST
- Algoritmo MCS
Optimización multiobjetivo : existen múltiples objetivos en conflicto
- Algoritmo de Benson : para problemas de optimización de vectores lineales
Optimización de dos niveles : estudia problemas en los que un problema está integrado en otro.
Subestructura óptima
Algoritmo de proyección de Dykstra : encuentra un punto en la intersección de dos conjuntos convexos
Conceptos algorítmicos:
Funciones de prueba para optimización :
- Función de Rosenbrock : función bidimensional con un valle en forma de plátano
- Función de Himmelblau : bidimensional con cuatro mínimos locales, definida por $f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}$
- Función de Rastrigin : función bidimensional con muchos mínimos locales
- Función shekel : multimodal y multidimensional
Sociedad de Optimización Matemática

Cuadratura numérica (integración)

Integración numérica : la evaluación numérica de una integral

Método del rectángulo : método de primer orden, basado en una aproximación constante (por partes)
Regla trapezoidal : método de segundo orden, basado en una aproximación lineal (por partes)
Regla de Simpson : método de cuarto orden, basado en la aproximación cuadrática (por partes)
- Método de Simpson adaptativo
Regla de Boole : método de sexto orden, basado en los valores en cinco puntos equidistantes
Fórmulas de Newton-Cotes : generalizan los métodos anteriores
El método de Romberg : extrapolación de Richardson aplicada a la regla del trapecio
Cuadratura gaussiana : el grado más alto posible con un número determinado de puntos
- Cuadratura de Chebyshev-Gauss : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso (1 − x ² ) ^±1/2 en [−1, 1]
- Cuadratura de Gauss-Hermite : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso exp(− x ² ) en [−∞, ∞]
- Cuadratura de Gauss-Jacobi : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso (1 − x ) ^α (1 + x ) ^β en [−1, 1]
- Cuadratura de Gauss-Laguerre : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso exp(− x ) en [0, ∞]
- Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod : regla anidada basada en la cuadratura gaussiana
- Reglas de Gauss-Kronrod
Cuadratura de Tanh-sinh : variante de la cuadratura gaussiana que funciona bien con singularidades en los puntos finales
Cuadratura de Clenshaw-Curtis : basada en la expansión del integrando en términos de polinomios de Chebyshev
Cuadratura adaptativa : adaptación de los subintervalos en los que se divide el intervalo de integración en función del integrando.
Integración de Monte Carlo : toma muestras aleatorias del integrando
- Véase también el método #Monte Carlo
Método de sistemas de estados cuantificados (QSS), basado en la idea de cuantificación de estados
Cuadratura de Lebedev : utiliza una cuadrícula sobre una esfera con simetría octaédrica
Cuadrícula dispersa
Aproximación de Coopman
Diferenciación numérica : para integrales de orden fraccionario
- Suavizado numérico y diferenciación
- Método de estados adjuntos : aproxima el gradiente de una función en un problema de optimización
Fórmula de Euler-Maclaurin

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias : la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Método de Euler : el método más básico para resolver una EDO
Métodos explícitos e implícitos : los métodos implícitos necesitan resolver una ecuación en cada paso.
Método de Euler inverso : variante implícita del método de Euler
Regla del trapezoide : método implícito de segundo orden
Métodos de Runge-Kutta : una de las dos clases principales de métodos para problemas de valores iniciales
- Método del punto medio : un método de segundo orden con dos etapas
- El método de Heun : un método de segundo orden con dos etapas o un método de tercer orden con tres etapas
- Método de Bogacki-Shampine : un método de tercer orden con cuatro etapas (FSAL) y un método de cuarto orden integrado
- Método Cash-Karp : un método de quinto orden con seis etapas y un método de cuarto orden incorporado
- Método Dormand-Prince : un método de quinto orden con siete etapas (FSAL) y un método de cuarto orden incorporado
- Método de Runge-Kutta-Fehlberg : un método de quinto orden con seis etapas y un método de cuarto orden incorporado
- Método de Gauss-Legendre : familia de métodos A-estables con orden óptimo basados en la cuadratura gaussiana
- Grupo Butcher : formalismo algebraico que involucra árboles enraizados para analizar métodos de Runge-Kutta
- Lista de métodos de Runge-Kutta
Método lineal de varios pasos : la otra clase principal de métodos para problemas de valor inicial
- Fórmula de diferenciación hacia atrás : métodos implícitos de orden 2 a 6; especialmente adecuados para ecuaciones rígidas
- Método de Numerov : método de cuarto orden para ecuaciones de la forma $y''=f(t,y)$
- Método predictor-corrector : utiliza un método para aproximar la solución y otro para aumentar la precisión
Métodos lineales generales : una clase de métodos que encapsulan métodos lineales de múltiples pasos y de Runge-Kutta.
Algoritmo de Bulirsch-Stoer : combina el método del punto medio con la extrapolación de Richardson para lograr un orden arbitrario
Integrador exponencial : basado en la división de la EDO en una parte lineal, que se resuelve de manera exacta, y una parte no lineal.
Métodos diseñados para la solución de EDO de la física clásica:
- Método beta de Newmark : basado en el teorema del valor medio extendido
- Integración de Verlet : un método popular de segundo orden
- Integración Leapfrog : otro nombre para la integración Verlet
- Algoritmo de Beeman : un método de dos pasos que extiende el método de Verlet
- Relajación dinámica
Integrador geométrico : un método que conserva cierta estructura geométrica de la ecuación.
- Integrador simpléctico : un método para la solución de las ecuaciones de Hamilton que preserva la estructura simpléctica.
  - Integrador variacional : integradores simplécticos derivados utilizando el principio variacional subyacente
  - Método de Euler semiimplícito : variante del método de Euler que es simpléctica cuando se aplica a hamiltonianos separables
- Deriva de energía : fenómeno en el que la energía, que debería conservarse, se pierde debido a errores numéricos.
Otros métodos para problemas de valor inicial (PIB):
- Línea de retardo bidireccional
- Circuito equivalente de elementos parciales
Métodos para resolver problemas de valores en la frontera de dos puntos (BVP):
- Método de disparo
- Método de disparo múltiple directo : divide el intervalo en varios subintervalos y aplica el método de disparo en cada subintervalo
Métodos para resolver ecuaciones algebraicas diferenciales (EDD), es decir, EDO con restricciones:
- Algoritmo de restricción : para resolver ecuaciones de Newton con restricciones
- Algoritmo de Pantelides : para reducir el índice de DEA
Métodos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS):
- Método de Euler-Maruyama : generalización del método de Euler para ecuaciones diferenciales simples
- Método de Milstein : un método con un fuerte orden uno
- Método de Runge-Kutta (SDE) : generalización de la familia de métodos de Runge-Kutta para SDE
Métodos para resolver ecuaciones integrales:
- Método de Nyström : reemplaza la integral con una regla de cuadratura
Análisis:
- Error de truncamiento (integración numérica) : errores de truncamiento locales y globales y sus relaciones
  - El abanico de Lady Windermere (matemáticas) : identidad telescópica que relaciona errores de truncamiento locales y globales
Ecuación rígida : aproximadamente, una EDO para la cual los métodos inestables necesitan un tamaño de paso muy corto, pero los métodos estables no.
- L-estabilidad : el método es A-estable y la función de estabilidad se desvanece en el infinito
Tamaño de paso adaptable : cambia automáticamente el tamaño del paso cuando parece ventajoso
Parareal : un algoritmo de integración en paralelo en el tiempo

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

Ecuaciones diferenciales parciales numéricas : la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Métodos de diferencias finitas

Método de diferencias finitas : basado en la aproximación de operadores diferenciales con operadores de diferencia

Diferencia finita : el análogo discreto de un operador diferencial
- Coeficiente de diferencia finita : tabla de coeficientes de aproximaciones de diferencias finitas a derivadas
- Operador de Laplace discreto : aproximación de diferencias finitas del operador de Laplace
  - Valores propios y vectores propios de la segunda derivada : incluye valores propios del operador de Laplace discreto
  - Suma de Kronecker de laplacianos discretos : se utiliza para el operador de Laplace en múltiples dimensiones
- Ecuación de Poisson discreta : análogo discreto de la ecuación de Poisson que utiliza el operador discreto de Laplace
Plantilla (análisis numérico) : las disposiciones geométricas de los puntos de la cuadrícula afectadas por un paso básico del algoritmo
- Plantilla compacta : plantilla que solo utiliza unos pocos puntos de cuadrícula, generalmente solo los vecinos inmediatos y diagonales
  - Esquema de diferencias finitas compactas de orden superior
- Plantilla no compacta : cualquier plantilla que no sea compacta.
- Plantilla de cinco puntos : plantilla bidimensional que consta de un punto y sus cuatro vecinos inmediatos en una cuadrícula rectangular
Métodos de diferencias finitas para la ecuación de calor y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas:
- Esquema FTCS (espacio central de tiempo adelantado): explícito de primer orden
- Método de Crank-Nicolson : implícito de segundo orden
Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales hiperbólicas como la ecuación de onda:
- Método de Lax-Friedrichs : explícito de primer orden
- Método de Lax-Wendroff : explícito de segundo orden
- Método MacCormack : explícito de segundo orden
- Esquema de ceñida
  - Esquema de diferenciación en contra del viento para convección : esquema de primer orden para problemas de convección-difusión
- Teorema de Lax-Wendroff : esquema conservador para un sistema hiperbólico de leyes de conservación que converge a la solución débil
Método implícito de dirección alternada (ADI): actualización utilizando el flujo en la dirección x y luego utilizando el flujo en la dirección y
Esquema de diferencias finitas no estándar
Aplicaciones específicas:
- Métodos de diferencias finitas para la determinación del precio de opciones
- Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo : un método de diferencias finitas para la electrodinámica

Métodos de elementos finitos, métodos de discretización de gradientes

Método de elementos finitos — basado en una discretización del espacio de soluciones Método de discretización de gradiente — basado tanto en la discretización de la solución como de su gradiente

Método de elementos finitos en mecánica estructural : un enfoque físico a los métodos de elementos finitos
Método de Galerkin : un método de elementos finitos en el que el residuo es ortogonal al espacio de elementos finitos.
- Método de Galerkin discontinuo : un método de Galerkin en el que la solución aproximada no es continua.
Método Rayleigh-Ritz : un método de elementos finitos basado en principios variacionales
Método de elementos espectrales : métodos de elementos finitos de orden superior
hp-FEM : variante en la que tanto el tamaño como el orden de los elementos se adaptan automáticamente
Ejemplos de elementos finitos:
- Elemento cuadrilátero bilineal , también conocido como elemento Q4
- Elemento triangular de deformación constante (CST), también conocido como elemento T3
- Elemento cuadrilátero cuadrático , también conocido como elemento Q8
- Elementos de Barsoum
Método de rigidez directa : una implementación particular del método de elementos finitos, que se utiliza a menudo en el análisis estructural.
Método de Trefftz
Actualización de elementos finitos
Método de elementos finitos extendido : coloca funciones adaptadas al problema en el espacio de aproximación
Elementos clasificados funcionalmente : elementos para describir materiales clasificados funcionalmente
Superelemento : agrupación particular de elementos finitos, empleados como un solo elemento.
Método de elementos finitos de intervalo : combinación de elementos finitos con aritmética de intervalo
Cálculo exterior discreto : forma discreta del cálculo exterior de la geometría diferencial
Análisis modal mediante FEM : solución de problemas de valores propios para encontrar vibraciones naturales
Lema de Céa : la solución en el espacio de elementos finitos es una aproximación casi óptima en ese espacio de la solución verdadera
Prueba de parche (elementos finitos) : prueba simple para la calidad de un elemento finito
MAFELAP (Matemáticas de elementos finitos y aplicaciones): conferencia internacional celebrada en la Universidad Brunel
NAFEMS: organización sin fines de lucro que establece y mantiene estándares en análisis de ingeniería asistido por computadora.
Optimización de topología multifásica : técnica basada en elementos finitos para determinar la composición óptima de una mezcla
Elemento finito de intervalo
Método de elementos aplicados : para simulación de grietas y colapso estructural
Método de Wood-Armer : método de análisis estructural basado en elementos finitos utilizado para diseñar armaduras para losas de hormigón
Análisis isogeométrico : integra elementos finitos en herramientas de diseño CAD convencionales basadas en NURBS
Iteración de Loubignac
Matriz de rigidez : análogo de dimensión finita del operador diferencial
Combinación con métodos sin malla:
- Forma débil debilitada : forma de una EDP que es más débil que la forma débil estándar
- Espacio G: espacio funcional utilizado para formular la forma débil debilitada
- Método de elementos finitos suavizados
Método multiescala variacional
Lista de paquetes de software de elementos finitos

Otros métodos

Método espectral —basado en la transformación de Fourier
- Método pseudoespectral
Método de líneas : reduce la EDP a un gran sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
Método de elementos de contorno (BEM): basado en la transformación de la EDP en una ecuación integral en el límite del dominio
- Método de elementos de contorno de intervalo : una versión que utiliza aritmética de intervalo
Método de elementos analíticos : similar al método de elementos límite, pero la ecuación integral se evalúa analíticamente
Método de volumen finito : basado en dividir el dominio en muchos dominios pequeños; popular en dinámica de fluidos computacional
- Esquema de Godunov : esquema conservativo de primer orden para el flujo de fluidos, basado en una aproximación constante por partes
- Esquema MUSCL : variante de segundo orden del esquema de Godunov
- AUSM — método de división ascendente por convección
- Limitador de flujo : limita las derivadas espaciales (flujos) para evitar oscilaciones espurias
- Solucionador de Riemann : un solucionador de problemas de Riemann (una ley de conservación con datos constantes por partes)
- Propiedades de los esquemas de discretización: los métodos de volumen finito pueden ser conservadores, acotados, etc.
Método de elementos discretos : un método en el que los elementos pueden moverse libremente entre sí.
- Método de elementos discretos extendido : agrega propiedades como la tensión a cada partícula
- Autómata celular móvil : combinación de autómatas celulares con elementos discretos
Métodos sin malla : no utilizan una malla, sino una vista de partículas del campo
- Método de mínimos cuadrados discretos sin malla , basado en la minimización de la suma ponderada de los residuos al cuadrado
- Método de elementos difusos
- Método de puntos finitos : representar el continuo mediante una nube de puntos
- Método semi-implícito de partículas en movimiento
- Método de soluciones fundamentales (MFS): representa la solución como una combinación lineal de soluciones fundamentales
- Variantes de MFS con puntos de origen en el límite físico:
  - Método del nudo delimitador (BKM)
  - Método de partículas límite (BPM)
  - Método regularizado sin malla (RMM)
  - Método de límites singulares (SBM)
Métodos diseñados para problemas del electromagnetismo:
- Método de dominio del tiempo de diferencias finitas : un método de diferencias finitas
- Análisis riguroso de ondas acopladas : método semianalítico del espacio de Fourier basado en el teorema de Floquet
- Método de matriz de líneas de transmisión (TLM): basado en la analogía entre el campo electromagnético y la malla de líneas de transmisión
- Teoría uniforme de difracción : diseñada específicamente para problemas de dispersión
Partícula en celda : se utiliza especialmente en dinámica de fluidos
- Método de partículas en celdas multifásicas : considera las partículas sólidas como partículas numéricas y partículas fluidas.
Esquema de alta resolución
Método de captura de impactos
Confinamiento de vorticidad : para flujos dominados por vórtices en dinámica de fluidos, similar a la captura de choques
Método de pasos divididos
Método de marcha rápida
Colocación ortogonal
Métodos de Boltzmann en red : para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes
Solucionador de Roe : para la solución de la ecuación de Euler
Relajación (método iterativo) : un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas convirtiéndolas en ecuaciones de evolución.
Amplias clases de métodos:
- Métodos miméticos : métodos que respetan en algún sentido la estructura del problema original.
- Multifísica : modelos que constan de varios submodelos con diferentes físicas
- Método de límite inmerso : para simular estructuras elásticas sumergidas en fluidos
Integrador multisimpléctico : extensión de los integradores simplécticos, que son para ecuaciones diferenciales ordinarias.
Método de cuadrícula estirada : para solucionar problemas que puedan relacionarse con el comportamiento de una cuadrícula elástica.

Técnicas para mejorar estos métodos

Método de múltiples mallas : utiliza una jerarquía de mallas anidadas para acelerar los métodos
Métodos de descomposición de dominios : divide el dominio en algunos subdominios y resuelve la PDE en estos subdominios
- Método aditivo de Schwarz
- Método aditivo de Schwarz abstracto : versión abstracta del método aditivo de Schwarz sin referencia a información geométrica
- Método de descomposición del dominio de equilibrio (BDD): preacondicionador para matrices definidas positivas simétricas
- Descomposición del dominio de equilibrio por restricciones (BDDC): mayor desarrollo de BDD
- Desgarro e interconexión de elementos finitos (FETI)
- FETI-DP : desarrollo posterior de FETI
- Método de dominio ficticio : preacondicionador construido con una malla estructurada en un dominio ficticio de forma simple
- Métodos de mortero : las mallas en el subdominio no se engranan
- Método de Neumann-Dirichlet : combina el problema de Neumann en un subdominio con el problema de Dirichlet en otro subdominio
- Métodos de Neumann-Neumann : métodos de descomposición de dominios que utilizan problemas de Neumann en los subdominios
- Operador de Poincaré-Steklov : asigna el campo eléctrico tangencial a la corriente eléctrica equivalente
- Método del complemento de Schur : método básico y temprano sobre subdominios que no se superponen
- Método alterno de Schwarz : método básico y temprano sobre subdominios que se superponen
Espacio grueso : variante del problema que utiliza una discretización con menos grados de libertad.
Refinamiento de malla adaptativo : utiliza la solución calculada para refinar la malla solo cuando es necesario
Método multipolar rápido : método jerárquico para evaluar interacciones entre partículas
Capa perfectamente adaptada : capa absorbente artificial para ecuaciones de onda, utilizada para implementar condiciones de contorno absorbentes

Rejillas y mallas

Clasificación de mallas / Tipos de mallas :
- Malla poligonal : consta de polígonos en 2D o 3D
- Malla triangular : consta de triángulos en 2D o 3D
  - Triangulación (geometría) : subdivisión de una región determinada en triángulos o un análogo de dimensión superior.
  - Malla no obtusa : malla en la que todos los ángulos son menores o iguales a 90°
  - Triangulación de puntos : malla de triángulos en la que un conjunto dado de puntos son todos vértices de un triángulo
  - Triangulación de polígonos : malla de triángulos dentro de un polígono
  - Triangulación de Delaunay : triangulación en la que ningún vértice está dentro del circuncentro de un triángulo.
  - Triangulación de Delaunay restringida : generalización de la triangulación de Delaunay que fuerza ciertos segmentos requeridos en la triangulación.
  - Triangulación de Pitteway : para cualquier punto, el triángulo que lo contiene tiene como vértice el vecino más cercano del punto.
  - Triangulación de peso mínimo : triangulación de la longitud mínima total del borde
  - Triangulación cinética : una triangulación que se mueve a lo largo del tiempo.
  - Red irregular triangulada
  - Cuasi-triangulación : subdivisión en símplices, donde los vértices no son puntos sino segmentos de línea con pendiente arbitraria.
- Malla de volumen : consta de formas tridimensionales
- Cuadrícula regular : consta de paralelogramos congruentes o análogos de dimensiones superiores.
- Cuadrícula no estructurada
- Cuadrícula geodésica : cuadrícula isótropa sobre una esfera
Generación de malla
- Mallado basado en imágenes : procedimiento automático de generación de mallas a partir de datos de imágenes 3D
- Cubos de marcha : extrae una malla poligonal de un campo escalar
- Generación de malla paralela
- Algoritmo de Ruppert : crea una triangularización de Delauney de calidad a partir de datos lineales por partes
Subdivisiones:
Red apolínea : gráfico no dirigido formado al subdividir recursivamente un triángulo
Subdivisión baricéntrica : forma estándar de dividir polígonos convexos arbitrarios en triángulos, o su análogo de mayor dimensión.
Mejorar una malla existente:
- Segundo algoritmo de Chew : mejora la triangularización de Delauney al refinar triángulos de baja calidad
- Suavizado laplaciano : mejora las mallas polinómicas al mover los vértices
Algoritmo de salto y caminata : para encontrar un triángulo en una malla que contiene un punto determinado
Continuum de torsión espacial : representación dual de una malla formada por hexaedros
Pseudotriángulo : región simplemente conectada entre tres conjuntos convexos tangentes entre sí
Complejo simple : todos los vértices, segmentos de línea, triángulos, tetraedros, ..., que forman una malla

Análisis

Teorema de equivalencia laxa : un método consistente es convergente si y solo si es estable
Condición de Courant-Friedrichs-Lewy : condición de estabilidad para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Análisis de estabilidad de von Neumann : todos los componentes de Fourier del error deben ser estables
Difusión numérica : difusión introducida por el método numérico, por encima de la que está presente de forma natural.
- Falsa difusión
Dispersión numérica
Resistividad numérica : lo mismo, con resistividad en lugar de difusión
Formulación débil : una reformulación analítico-funcional de la EDP necesaria para algunos métodos
Variación total decreciente : propiedad de los esquemas que no introducen oscilaciones espurias
Teorema de Godunov : los esquemas lineales monótonos solo pueden ser de primer orden
Problema de Motz : problema de referencia para problemas de singularidad

Método de Monte Carlo

Variantes del método Monte Carlo:
- Simulación directa Monte Carlo
- Método cuasi-Monte Carlo
- Cadena de Markov Monte Carlo
  - Algoritmo Metropolis-Hastings
    - Metropolis de múltiples intentos : modificación que permite tamaños de paso más grandes
    - Algoritmo de Wang y Landau : extensión de Metropolis Monte Carlo
    - Cálculos de ecuaciones de estado mediante máquinas de computación rápidas : artículo de 1953 que propone el algoritmo Metropolis Monte Carlo
    - Conjunto multicanónico : técnica de muestreo que utiliza Metropolis-Hastings para calcular integrales
  - Muestreo de Gibbs
  - Acoplamiento del pasado
  - Cadena de Markov con salto reversible, método Monte Carlo
- Método dinámico de Monte Carlo
  - Monte Carlo cinético
  - Algoritmo de Gillespie
- Filtro de partículas
  - Filtro auxiliar de partículas
- Monte Carlo inverso
- Algoritmo del demonio
Muestreo de números pseudoaleatorios
- Muestreo por transformada inversa : método general y sencillo, pero computacionalmente costoso
- Muestreo de rechazo : toma una muestra de una distribución más simple pero rechaza algunas de las muestras
  - Algoritmo Ziggurat : utiliza una tabla precalculada que cubre la distribución de probabilidad con segmentos rectangulares.
- Para el muestreo de una distribución normal:
  - Transformada de Box-Muller
  - Método polar de Marsaglia
- Generador de números aleatorios por convolución : genera una variable aleatoria como una suma de otras variables aleatorias
- Búsqueda indexada
Técnicas de reducción de varianza :
Secuencia de baja discrepancia
- Construcciones de secuencias de baja discrepancia
Generador de eventos
Templado paralelo
Muestreo con paraguas : mejora el muestreo en sistemas físicos con barreras energéticas significativas
Montecarlo híbrido
Filtro Kalman de conjunto : filtro recursivo adecuado para problemas con una gran cantidad de variables
Muestreo de trayectoria de transición
Método de caminar sobre esferas : para generar puntos de salida del movimiento browniano a partir de dominios acotados
Aplicaciones:
- Pronóstico de conjunto : produce múltiples predicciones numéricas a partir de condiciones o parámetros ligeramente iniciales
- Modelo de fluctuación de enlaces : para simular la conformación y la dinámica de los sistemas poliméricos
- Filtrado iterado
- Transporte ligero Metropolis
- Localización de Monte Carlo : estima la posición y orientación de un robot
- Métodos de Monte Carlo para el transporte de electrones
- Método de Monte Carlo para el transporte de fotones
- Métodos de Monte Carlo en finanzas
  - Métodos de Monte Carlo para la determinación del precio de las opciones
  - Métodos cuasi-Monte Carlo en finanzas
- Modelado molecular de Monte Carlo
  - Dinámica molecular de integrales de trayectorias : incorpora integrales de trayectorias de Feynman
- Montecarlo cuántico
  - Difusión Monte Carlo : utiliza una función de Green para resolver la ecuación de Schrödinger
  - Monte Carlo cuántico gaussiano
  - Ruta integral de Monte Carlo
  - Reptación Monte Carlo
  - Monte Carlo variacional
- Métodos para simular el modelo de Ising:
  - Algoritmo de Swendsen-Wang : toda la muestra se divide en grupos de espín igual
  - Algoritmo de Wolff : mejora del algoritmo de Swendsen-Wang
  - Algoritmo Metropolis-Hastings
- Campo auxiliar Monte Carlo : calcula promedios de operadores en problemas mecánicos cuánticos de muchos cuerpos
- Método de entropía cruzada : para optimización multiextrema y muestreo de importancia
Vea también la lista de temas de estadísticas

Aplicaciones

Física computacional
- Electromagnetismo computacional
- Dinámica de fluidos computacional (CFD)
  - Métodos numéricos en mecánica de fluidos
  - Simulación de grandes remolinos
  - Hidrodinámica de partículas suavizadas
  - Analogía aeroacústica : se utiliza en aeroacústica numérica para reducir las fuentes de sonido a tipos de emisores simples.
  - Método lagrangiano euleriano estocástico : utiliza la descripción euleriana para fluidos y lagrangiana para estructuras
  - Modelo de estrés algebraico explícito
- Magnetohidrodinámica computacional (CMHD): estudia fluidos conductores de electricidad
- Modelo climático
- Predicción numérica del tiempo
  - Cuadrícula geodésica
- Mecánica celeste
  - Modelo numérico del Sistema Solar
- Método de salto cuántico : se utiliza para simular sistemas cuánticos abiertos y funciona con una función de onda.
- Método de análisis de diseño dinámico (DDAM): para evaluar el efecto de las explosiones submarinas en los equipos
Química computacional
- Listas de celdas
- Clúster acoplado
- Teoría del funcional de la densidad
- DIIS — inversión directa en (o del) subespacio iterativo
Sociología computacional
Estadísticas computacionales

Software

Para obtener una lista grande de software, consulte la lista de software de análisis numérico .

Revistas

Investigadores

Referencias

^ Smith, NJJ (2008). "Vaguedad mundana e indeterminación semántica". Vaguedad y grados de verdad . págs. 277–316. doi :10.1093/acprof:oso/9780199233007.003.0007. ISBN 9780199233007.