Fórmula de diferenciación hacia atrás

Método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

La fórmula de diferenciación hacia atrás ( BDF ) es una familia de métodos implícitos para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias . Son métodos lineales de varios pasos que, para una función y un tiempo determinados, aproximan la derivada de esa función utilizando información de puntos de tiempo ya calculados, aumentando así la precisión de la aproximación. Estos métodos se utilizan especialmente para la solución de ecuaciones diferenciales rígidas . Los métodos fueron introducidos por primera vez por Charles F. Curtiss y Joseph O. Hirschfelder en 1952. ^{[1] En 1967} , C. William Gear formalizó el campo en un artículo fundamental basado en su trabajo anterior inédito. ^[2]

Formula general

Se utiliza un BDF para resolver el problema del valor inicial.

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

La fórmula general para un BDF se puede escribir como ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

donde denota el tamaño del paso y . Dado que se evalúa la incógnita , los métodos BDF son implícitos y posiblemente requieran la solución de ecuaciones no lineales en cada paso. Los coeficientes y se eligen de forma que el método consiga el orden , que es el máximo posible. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle s}$

Derivación de los coeficientes

A partir de la fórmula se aproxima y , donde es el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos . Usando eso y multiplicando por uno se llega al método de orden BDF . ${\textstyle y'(t_{n+s})=f(t_{n+s},y(t_{n+s}))}$ ${\displaystyle y(t_{n+s})\approx y_{n+s}}$ ${\displaystyle y'(t_{n+s})\approx p_{n,s}'(t_{n+s})}$ ${\displaystyle p_{n,s}(t)}$ ${\displaystyle (t_{n},y_{n}),\ldots ,(t_{n+s},y_{n+s})}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Fórmulas específicas

Los BDF de s pasos con s < 7 son: ^[4]

• BDF1:
  $${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}=hf(t_{n+1},y_{n+1})}$$
  (este es el método de Euler hacia atrás )
• BDF2:
  $${\displaystyle y_{n+2}-{\tfrac {4}{3}}y_{n+1}+{\tfrac {1}{3}}y_{n}={\tfrac {2}{3}}hf(t_{n+2},y_{n+2})}$$
• BDF3:
  $${\displaystyle y_{n+3}-{\tfrac {18}{11}}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}}y_{n+1}-{\tfrac {2}{11}}y_{n}={\tfrac {6}{11}}hf(t_{n+3},y_{n+3})}$$
• BDF4:
  $${\displaystyle y_{n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}}y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$
• BDF5:
  $${\displaystyle y_{n+5}-{\tfrac {300}{137}}y_{n+4}+{\tfrac {300}{137}}y_{n+3}-{\tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac {60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$
• BDF6:
  $${\displaystyle y_{n+6}-{\tfrac {360}{147}}y_{n+5}+{\tfrac {450}{147}}y_{n+4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

Los métodos con s > 6 no son estables en cero, por lo que no se pueden utilizar. ^[5]

Estabilidad

La estabilidad de los métodos numéricos para resolver ecuaciones rígidas está indicada por su región de estabilidad absoluta. Para los métodos BDF, estas regiones se muestran en los gráficos siguientes.

Idealmente, la región contiene la mitad izquierda del plano complejo, en cuyo caso se dice que el método es A-estable. Sin embargo, los métodos lineales de varios pasos con un orden mayor que 2 no pueden ser A-estables . La región de estabilidad de los métodos BDF de orden superior contiene una gran parte del semiplano izquierdo y, en particular, todo el eje real negativo. Los métodos BDF son los métodos lineales de varios pasos más eficientes de este tipo. ^[5]

La región rosa muestra la región de estabilidad de los métodos BDF.

• 
  BDF1
• 
  BDF2
• 
  BDF3
• 
  BDF4
• 
  BDF5
• 
  BDF6

Referencias

Citas

1. Curtiss, CF y Hirschfelder, JO (1952). Integración de ecuaciones rígidas. Actas de la Academia Nacional de Ciencias, 38(3), 235-243.
2. Engranaje, CW (1967). "La integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias". Matemáticas de la Computación . 21 (98): 146-156. doi : 10.2307/2004155 . JSTOR  2004155.
3. Ascher y Petzold 1998, §5.1.2, pág. 129
4. Iserles 1996, pág. 27 (para s = 1, 2, 3); Süli y Mayers 2003, pág. 349 (para todos los s )
5. Süli y Mayers 2003, pág. 349

Obras referidas

• Ascher, UM; Petzold, LR (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , SIAM, Filadelfia, ISBN 0-89871-412-5.
• Iserles, Arieh (1996), Primer curso sobre análisis numérico de ecuaciones diferenciales, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.

Otras lecturas

• Métodos BDF en la wiki de SUNDIALS (SUNDIALS es una biblioteca que implementa métodos BDF y algoritmos similares).