Optimización de formas

Problema de encontrar la forma óptima en condiciones dadas

La optimización de la forma es parte del campo de la teoría del control óptimo . El problema típico es encontrar la forma que sea óptima en el sentido de que minimice un determinado funcional de costo y al mismo tiempo satisfaga las restricciones dadas . En muchos casos, el funcional que se resuelve depende de la solución de una ecuación diferencial parcial dada definida en el dominio variable.

Además, la optimización topológica se ocupa de la cantidad de componentes/límites conectados que pertenecen al dominio. Estos métodos son necesarios porque, por lo general, los métodos de optimización de formas funcionan en un subconjunto de formas permitidas que tienen propiedades topológicas fijas, como tener una cantidad fija de orificios. Las técnicas de optimización topológica pueden ayudar a superar las limitaciones de la optimización de formas pura.

Definición

Matemáticamente , la optimización de la forma se puede plantear como el problema de encontrar un conjunto acotado , minimizando una función. ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$,

posiblemente sujeto a una restricción de la forma

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )=0.}$

Por lo general, nos interesan los conjuntos que están en el límite de Lipschitz o C ¹ y que constan de un número finito de componentes , lo que es una forma de decir que nos gustaría encontrar una forma bastante agradable como solución, no un revoltijo de piezas toscas. A veces, es necesario imponer restricciones adicionales para garantizar que el problema esté bien planteado y que la solución sea única. ${\displaystyle \Omega }$

La optimización de formas es un problema de optimización de dimensión infinita . Además, el espacio de formas permitidas sobre el que se realiza la optimización no admite una estructura de espacio vectorial , lo que dificulta la aplicación de los métodos de optimización tradicionales.

Ejemplos

• Entre todas las figuras tridimensionales de un volumen dado, encuentre la que tenga el área de superficie mínima. Aquí:

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )={\mbox{Area}}(\partial \Omega )}$,

  con

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )={\mbox{Volume}}(\Omega )={\mbox{const.}}}$

  La respuesta, dada por la desigualdad isoperimétrica , es una bola .
• Encuentra la forma del ala de un avión que minimice la resistencia . En este caso, las restricciones podrían ser la resistencia del ala o sus dimensiones.
• Encuentra la forma de varias estructuras mecánicas que puedan resistir una tensión determinada teniendo una masa/volumen mínimo.
• Dado un objeto tridimensional conocido con una fuente de radiación fija en su interior, deduzca la forma y el tamaño de la fuente basándose en mediciones realizadas en parte del límite del objeto. Una formulación de este problema inverso utilizando el ajuste por mínimos cuadrados conduce a un problema de optimización de la forma.

Técnicas

Los problemas de optimización de formas suelen resolverse numéricamente , mediante métodos iterativos . Es decir, se parte de una estimación inicial de una forma y luego se va evolucionando gradualmente hasta que se transforma en la forma óptima.

Mantener un registro de la forma

Para resolver un problema de optimización de formas, es necesario encontrar una forma de representar una forma en la memoria de la computadora y seguir su evolución. Por lo general, se utilizan varios enfoques.

Un enfoque consiste en seguir el límite de la forma. Para ello, se puede muestrear el límite de la forma de una manera relativamente densa y uniforme, es decir, considerar suficientes puntos para obtener un contorno suficientemente preciso de la forma. Luego, se puede desarrollar la forma moviendo gradualmente los puntos del límite. Esto se denomina enfoque lagrangiano .

Otro enfoque consiste en considerar una función definida en un rectángulo alrededor de la forma, que es positiva dentro de la forma, cero en el límite de la forma y negativa fuera de la forma. Se puede entonces desarrollar esta función en lugar de la forma misma. Se puede considerar una cuadrícula rectangular en el rectángulo y muestrear la función en los puntos de la cuadrícula. A medida que la forma evoluciona, los puntos de la cuadrícula no cambian; solo cambian los valores de la función en los puntos de la cuadrícula. Este enfoque, de utilizar una cuadrícula fija, se denomina enfoque euleriano . La idea de utilizar una función para representar la forma es la base del método de conjunto de niveles .

Un tercer enfoque consiste en pensar en la evolución de la forma como un problema de flujo. Es decir, se puede imaginar que la forma está hecha de un material plástico que se deforma gradualmente de modo que cualquier punto dentro o en el límite de la forma siempre puede rastrearse hasta un punto de la forma original de manera biunívoca. Matemáticamente, si es la forma inicial y es la forma en el momento t , se consideran los difeomorfismos ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ for }}0\leq t\leq t_{0}.}$

La idea es nuevamente que las formas son entidades difíciles de manejar directamente, por lo que hay que manipularlas por medio de una función.

Métodos iterativos que utilizan gradientes de forma

Consideremos un campo de velocidad suave y la familia de transformaciones del dominio inicial bajo el campo de velocidad : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$,

y denotar

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

Entonces la derivada de Gâteaux o forma de at con respecto a la forma es el límite de ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}$

Si existe este límite, si además la derivada es lineal respecto de , existe un único elemento de y ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}$

donde se denomina gradiente de forma. Esto da una idea natural del descenso del gradiente , donde el límite evoluciona en la dirección del gradiente de forma negativo para reducir el valor de la función de costo. Las derivadas de orden superior se pueden definir de manera similar, lo que conduce a métodos tipo Newton. ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Normalmente, se prefiere el descenso de gradiente, incluso si requiere una gran cantidad de iteraciones, porque puede ser difícil calcular la derivada de segundo orden (es decir, la hessiana ) de la función objetivo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si el problema de optimización de la forma tiene restricciones, es decir, está presente la función, hay que encontrar formas de convertir el problema restringido en uno sin restricciones. A veces, las ideas basadas en multiplicadores de Lagrange , como el método de estados adjuntos , pueden funcionar. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Parametrización de geometría

La optimización de la forma puede abordarse utilizando métodos de optimización estándar si se define una parametrización de la geometría. Dicha parametrización es muy importante en el campo de CAE, donde las funciones objetivo suelen ser funciones complejas evaluadas mediante modelos numéricos (CFD, FEA, etc.). Un enfoque conveniente, adecuado para una amplia clase de problemas, consiste en la parametrización del modelo CAD junto con una automatización completa de todos los procesos necesarios para la evaluación de la función (mallado, resolución y procesamiento de resultados). La deformación de la malla es una opción válida para problemas complejos que resuelve problemas típicos asociados con el remallado, como discontinuidades en las funciones objetivo y de restricción calculadas.

En este caso, la parametrización se define después de la etapa de mallado que actúa directamente sobre el modelo numérico utilizado para el cálculo que se cambia utilizando métodos de actualización de malla. Hay varios algoritmos disponibles para la deformación de malla (volúmenes de deformación, pseudosólidos, funciones de base radial ). La selección del enfoque de parametrización depende principalmente del tamaño del problema: el enfoque CAD es el preferido para modelos de tamaño pequeño a mediano, mientras que el enfoque de deformación de malla es el mejor (y a veces el único factible) para modelos grandes y muy grandes. La optimización de Pareto multiobjetivo (NSGA II) podría utilizarse como un enfoque poderoso para la optimización de la forma. En este sentido, el enfoque de optimización de Pareto muestra ventajas útiles en el método de diseño, como el efecto de la restricción de área que otra optimización multiobjetivo no puede declarar. El enfoque de utilizar una función de penalización es una técnica eficaz que podría utilizarse en la primera etapa de optimización. En este método, el problema de diseño de forma restringida se adapta a un problema sin restricciones utilizando las restricciones en la función objetivo como un factor de penalización. La mayoría de las veces, el factor de penalización depende de la cantidad de variación de la restricción en lugar del número de restricciones. La técnica de codificación real de GA se aplica en el presente problema de optimización. Por lo tanto, los cálculos se basan en el valor real de las variables. ^[1]

Véase también

• Código SU2
• Derivada topológica
• Optimización de topología

Referencias

1. Talebitooti, ​​R.; shojaeefard, MH; Yarmohammadisatri, Sadegh (2015). "Optimización del diseño de forma de tanques cilíndricos utilizando curvas b-spline". Computación y fluidos . 109 : 100–112. doi :10.1016/j.compfluid.2014.12.004.

Fuentes

• Allaire, G. (2002) Optimización de la forma mediante el método de homogeneización . Applied Mathematical Sciences 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5 
• Ashok D. Belegundu, Tirupathi R. Chandrupatla. (2003) Conceptos de optimización y aplicaciones en ingeniería Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 . 
• Bendsøe MP; Sigmund O. (2003) Optimización topológica: teoría, métodos y aplicaciones . Springer. ISBN 3-540-42992-1 . 
• Burger, M.; Osher, SL (2005) Una encuesta sobre métodos de conjunto de niveles para problemas inversos y diseño óptimo . Revista Europea de Matemáticas Aplicadas, vol. 16, págs. 263–301.
• Delfour, MC; Zolesio, J.-P. (2001) Formas y geometrías: análisis, cálculo diferencial y optimización . SIAM. ISBN 0-89871-489-3 . 
• Haslinger, J.; Mäkinen, R. (2003) Introducción a la optimización de formas: teoría, aproximación y computación . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 0-89871-536-9 . 
• Laporte, E.; Le Tallec, P. (2003) Métodos numéricos en análisis de sensibilidad y optimización de forma . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2 . 
• Mohammadi, B.; Pironneau, O. (2001) Optimización de forma aplicada para fluidos . Oxford University Press. ISBN 0-19-850743-7 . 
• Simon J. (1980) Diferenciación con respecto al dominio en problemas de valores en la frontera . Numer. Funct. Anal. y Optimiz., 2(7&8), 649-687 (1980).

Enlaces externos

• Grupo Optopo — Simulaciones y bibliografía del grupo Optopo de la Escuela Politécnica (Francia). Método de homogeneización y método de ajuste de nivel.