Las superficies de Bézier son una especie de spline matemático utilizada en gráficos por computadora , diseño asistido por computadora y modelado de elementos finitos . Al igual que ocurre con las curvas de Bézier , una superficie de Bézier se define mediante un conjunto de puntos de control. Similar a la interpolación en muchos aspectos, una diferencia clave es que la superficie, en general, no pasa por los puntos de control centrales; más bien, se "estira" hacia ellos como si cada uno fuera una fuerza atractiva. Son visualmente intuitivos y, para muchas aplicaciones, matemáticamente convenientes.
Las superficies Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier , quien las utilizó para diseñar carrocerías de automóviles . Las superficies Bézier pueden tener cualquier grado, pero las superficies Bézier bicúbicas generalmente proporcionan suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.
Una superficie de Bézier dada de grado ( n , m ) está definida por un conjunto de ( n + 1)( m + 1) puntos de control k i , j donde i = 0, ..., n y j = 0, .. ., metro . Mapea el cuadrado unitario en una superficie suave y continua incrustada dentro del espacio que contiene los k i , j s; por ejemplo, si los k i , j s son todos puntos en un espacio de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.
Una superficie de Bézier bidimensional se puede definir como una superficie paramétrica donde la posición de un punto p en función de las coordenadas paramétricas u , v viene dada por: [1]
evaluado sobre el cuadrado unitario, donde
es un polinomio base de Bernstein , y
es un coeficiente binomial .
Algunas propiedades de las superficies Bézier:
Generalmente, el uso más común de las superficies de Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un único parche bicúbico queda así completamente definida por un conjunto de 16 puntos de control. Por lo general, se vinculan para formar una superficie B-spline de manera similar a como las curvas de Bézier se vinculan para formar una curva B-spline .
Las superficies de Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadráticos ( m = n = 2) o triángulos de Bézier .
Las mallas de parche de Bézier son superiores a las mallas triangulares como representación de superficies lisas. Requieren menos puntos (y por tanto menos memoria) para representar superficies curvas, son más fáciles de manipular y tienen propiedades de continuidad mucho mejores. Además, otras superficies paramétricas comunes, como esferas y cilindros, pueden aproximarse bien mediante un número relativamente pequeño de parches Bézier cúbicos.
Sin embargo, las mallas de parches de Bézier son difíciles de renderizar directamente. Un problema con los parches de Bézier es que calcular sus intersecciones con líneas es difícil, lo que los hace incómodos para el trazado de rayos puro u otras técnicas geométricas directas que no utilizan técnicas de subdivisión o aproximación sucesiva. También son difíciles de combinar directamente con algoritmos de proyección en perspectiva.
Por esta razón, las mallas de parches de Bézier, en general, eventualmente se descomponen en mallas de triángulos planos mediante tuberías de renderizado 3D . En el renderizado de alta calidad, la subdivisión se ajusta para que sea tan fina que no se puedan ver los límites de los triángulos individuales. Para evitar una apariencia de "manchas", generalmente se aplican detalles finos a las superficies de Bézier en esta etapa utilizando mapas de textura , mapas de relieve y otras técnicas de sombreado de píxeles .
Un parche de Bézier de grado ( m , n ) puede construirse a partir de dos triángulos de Bézier de grado m + n , o de un solo triángulo de Bézier de grado m + n , con el dominio de entrada como un cuadrado en lugar de un triángulo .
Un triángulo de Bézier de grado m también se puede construir a partir de una superficie de Bézier de grado ( m , m ), con los puntos de control de modo que un borde quede aplastado hasta un punto, o con el dominio de entrada como un triángulo en lugar de un cuadrado.
