Interpolación Nevanlinna-Pick

En el análisis complejo , dados los datos iniciales que constan de puntos en el disco unitario complejo y los datos objetivo que constan de puntos en , el problema de interpolación de Nevanlinna-Pick consiste en encontrar una función holomorfa que interpola los datos, es decir, para todos , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$

${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$,

sujeto a la restricción para todos . ${\displaystyle \left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }$

Georg Pick y Rolf Nevanlinna resolvieron el problema de forma independiente en 1916 y 1919 respectivamente, demostrando que existe una función de interpolación si y sólo si una matriz definida en términos de los datos inicial y objetivo es semidefinida positiva .

Fondo

El teorema de Nevanlinna-Pick representa una generalización puntual del lema de Schwarz . La forma invariante del lema de Schwarz establece que para una función holomorfa , para todos , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.}$

En este contexto , esta desigualdad es equivalente a la afirmación de que la matriz dada por ${\displaystyle f(\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

es decir, la matriz Pick es semidefinida positiva.

Combinado con el lema de Schwarz, esto lleva a la observación de que para , existe una función holomorfa tal que y si y sólo si la matriz Pick ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{1})=z_{1}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{2})=z_{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.}$

El teorema de Nevanlinna-Pick

El teorema de Nevanlinna-Pick establece lo siguiente. Dado , existe una función holomorfa tal que si y sólo si la matriz Pick ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$

es semidefinido positivo. Además, la función es única si y sólo si la matriz Pick tiene determinante cero . En este caso, es un producto de Blaschke , con grado igual al rango de la matriz Pick (excepto en el caso trivial en el que todos los 's son iguales). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z_{i}}$

Generalización

La generalización del teorema de Nevanlinna-Pick se convirtió en un área de investigación activa en la teoría del operador tras el trabajo de Donald Sarason sobre el teorema de interpolación de Sarason . ^[1] Sarason dio una nueva prueba del teorema de Nevanlinna-Pick utilizando métodos espaciales de Hilbert en términos de contracciones de operadores . Otros enfoques se desarrollaron en los trabajos de L. de Branges , B. Sz.-Nagy y C. Foias .

Se puede demostrar que el espacio de Hardy H  ² es un núcleo reproductor. Espacio de Hilbert , y que su núcleo reproductor (conocido como núcleo de Szegő ) es

${\displaystyle K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,}$

Debido a esto, la matriz Pick se puede reescribir como

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,}$

Esta descripción de la solución ha motivado varios intentos de generalizar el resultado de Nevanlinna y Pick.

El problema de Nevanlinna-Pick se puede generalizar al de encontrar una función holomorfa que interpola un conjunto dado de datos, donde R es ahora una región arbitraria del plano complejo. ${\displaystyle f:R\to \mathbb {D} }$

MB Abrahamse demostró que si la frontera de R consta de un número finito de curvas analíticas (digamos n  + 1), entonces existe una función de interpolación f si y sólo si

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

es una matriz semidefinida positiva, para todos en el n -toro . Aquí, los s son los núcleos en reproducción correspondientes a un conjunto particular de espacios de Hilbert del núcleo en reproducción, que están relacionados con el conjunto R. También se puede demostrar que f es única si y sólo si una de las matrices Pick tiene determinante cero. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle K_{\tau }}$

Notas

• La prueba original de Pick se refería a funciones con parte real positiva. Bajo una transformada de Cayley fraccionaria lineal , su resultado se mantiene en mapas de disco a disco.

• Allen Tannenbaum introdujo la interpolación Pick-Nevanlinna en el control robusto .

• Jim Agler resolvió el problema de Pick-Nevanlinna para mapas holomórficos del bidisco al disco . ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$

Referencias

1. Sarason, Donald (1967). "Interpolación generalizada en H ∞ {\displaystyle H^{\infty }} ". Trans. América. Matemáticas. Soc . 127 : 179-203. doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0208383-8 .

• Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Elija interpolación y espacios funcionales de Hilbert . Estudios de Posgrado en Matemáticas . AMS . ISBN 0-8218-2898-3.
• Abrahamse, MB (1979). "El teorema de interpolación de Pick para dominios finitamente conectados". Matemáticas de Michigan. J.​ 26 (2): 195–203. doi : 10.1307/mmj/1029002212 .
• Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". En t. J.Control . 32 (1): 1–16. doi : 10.1080/00207178008922838.