Producto Blaschke

Concepto en análisis complejo

En el análisis complejo , el producto de Blaschke es una función analítica acotada en el disco unitario abierto construido para tener ceros en una secuencia (finita o infinita) de números complejos prescritos.

${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots }$

dentro del disco unitario , con la propiedad de que la magnitud de la función es constante a lo largo del límite del disco.

Producto de Blaschke, , asociado a 50 puntos elegidos aleatoriamente en el disco unitario. B(z) se representa como un gráfico de Matplotlib , utilizando una versión del método de coloración de dominios . ${\displaystyle B(z)}$

Los productos de Blaschke fueron introducidos por Wilhelm Blaschke  (1915) y están relacionados con los espacios de Hardy .

Definición

Se dice que una secuencia de puntos dentro del disco unitario satisface la condición de Blaschke cuando ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .}$

Dada una secuencia que obedece la condición de Blaschke, el producto de Blaschke se define como

${\displaystyle B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)}$

con factores

${\displaystyle B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}}}$

siempre que . Aquí está el conjugado complejo de . Cuando se toma . ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle B(0,z)=z}$

El producto de Blaschke define una función analítica en el disco unitario abierto, y cero exactamente en el (con multiplicidad contada): además está en la clase Hardy . ^[1] ${\displaystyle B(z)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle H^{\infty }}$

La secuencia de satisfacción del criterio de convergencia anterior a veces se denomina secuencia de Blaschke . ${\displaystyle a_{n}}$

Teorema de Szegő

Un teorema de Gábor Szegő establece que si , el espacio de Hardy con norma integrable, y si no es idénticamente cero, entonces los ceros de (ciertamente contables en número) satisfacen la condición de Blaschke. ${\displaystyle f\in H^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Productos Blaschke finitos

Los productos finitos de Blaschke se pueden caracterizar (como funciones analíticas en el disco unitario) de la siguiente manera: Supongamos que es una función analítica en el disco unitario abierto tal que se puede extender a una función continua en el disco unitario cerrado ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

que mapea el círculo unitario a sí mismo. Entonces es igual a un producto de Blaschke finito ${\displaystyle f}$

${\displaystyle B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}}$

donde se encuentra en el círculo unitario y es la multiplicidad del cero , . En particular, si satisface la condición anterior y no tiene ceros dentro del círculo unitario, entonces es constante (este hecho también es una consecuencia del principio del máximo para funciones armónicas , aplicado a la función armónica . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle |a_{i}|<1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log(|f(z)|)}$

Véase también

• Espacio resistente
• Producto de Weierstrass
• Análisis complejo

Referencias

1. Conway (1996) 274

• Blaschke, W. (1915). "Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen". Berichte Matemáticas-Física. kl. (en alemán). 67 . Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig: 194-200.
• Colwell, Peter (1985). Productos Blaschke . Ann Arbor, Michigan: Prensa de la Universidad de Michigan. ISBN 0-472-10065-3.Sr. 0779463  .
• Conway, John B. (1996). Funciones de una variable compleja II. Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 159. Springer-Verlag . Págs. 273–274. ISBN. 0-387-94460-5.
• Tamrazov, PM (2001) [1994]. "Producto de Blaschke". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press .