Simulación directa Monte Carlo

Método de Monte Carlo

El método de simulación directa Monte Carlo ( DSMC ) utiliza la simulación probabilística de Monte Carlo para resolver la ecuación de Boltzmann para flujos de fluidos con números de Knudsen finitos .

El método DSMC fue propuesto por Graeme Bird, ^{[1] [2] [3]} profesor emérito de aeronáutica de la Universidad de Sydney. El DSMC es un método numérico para modelar flujos de gas enrarecido, en el que el recorrido libre medio de una molécula es del mismo orden (o mayor) que una escala de longitud física representativa (es decir, el número de Knudsen Kn es mayor que 1). En flujos supersónicos e hipersónicos, la rarefacción se caracteriza por el parámetro de Tsien, que es equivalente al producto del número de Knudsen y el número de Mach (KnM) o M /Re, donde Re es el número de Reynolds. ^{[4] [5]} En estos flujos enrarecidos, las ecuaciones de Navier-Stokes pueden ser inexactas. El método DSMC se ha extendido para modelar flujos continuos (Kn < 1) y los resultados se pueden comparar con las soluciones de Navier-Stokes. ${\displaystyle ^{2}}$

El método DSMC modela flujos de fluidos utilizando moléculas de simulación probabilística para resolver la ecuación de Boltzmann . Las moléculas se mueven a través de una simulación del espacio físico de una manera realista que está directamente acoplada al tiempo físico de modo que se puedan modelar las características del flujo inestable. Las colisiones intermoleculares y las colisiones entre moléculas y superficies se calculan utilizando modelos fenomenológicos probabilísticos . Los modelos moleculares comunes incluyen el modelo de esfera dura, el modelo de esfera dura variable (VHS) y el modelo de esfera blanda variable (VSS). Se presentan varios modelos de colisión en ^{[6] .}

Actualmente, el método DSMC se ha aplicado a la solución de flujos que van desde la estimación de la aerodinámica de reentrada del Transbordador Espacial hasta el modelado de sistemas microelectromecánicos (MEMS).

Algoritmo DSMC

El algoritmo de simulación directa de Monte Carlo es como la dinámica molecular en el sentido de que el estado del sistema está dado por las posiciones y velocidades de las partículas, , para . A diferencia de la dinámica molecular, cada partícula en una simulación DSMC representa moléculas en el sistema físico que tienen aproximadamente la misma posición y velocidad. Esto permite a DSMC reescalar la longitud y el tiempo para el modelado de sistemas macroscópicos (por ejemplo, entrada atmosférica ). Específicamente, el volumen del sistema es , donde es la densidad numérica y cada colisión entre partículas de simulación representa colisiones entre moléculas en el sistema físico. Como regla general, debe haber 20 o más partículas por recorrido libre medio cúbico para obtener resultados precisos. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle F_{N}}$ ${\displaystyle V=(NF_{N})/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{N}}$

La evolución del sistema se integra en pasos de tiempo, , que normalmente son del orden del tiempo medio de colisión de una partícula. En cada paso de tiempo, todas las partículas se mueven y luego un conjunto aleatorio de pares chocan. En ausencia de campos externos (por ejemplo, gravedad), las partículas se mueven balísticamente como . Cualquier partícula que alcanza un límite o una superficie tiene su posición y velocidad restablecidas en consecuencia (por ejemplo, condiciones de límite periódicas ). Después de que todas las partículas se han movido, se clasifican en celdas y algunas se seleccionan aleatoriamente para colisionar. basándose en probabilidades y tasas de colisión obtenidas de la teoría cinética de los gases . Después de que se han restablecido las velocidades de todas las partículas que chocan, se realiza un muestreo estadístico y luego se repite el proceso para el siguiente paso de tiempo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau }$

Colisiones

En cada paso de tiempo, las partículas se clasifican en celdas espaciales y solo las partículas de la misma celda pueden colisionar. Normalmente, la dimensión de una celda no es mayor que una trayectoria libre media. Todos los pares de partículas de una celda son candidatos a colisionar, independientemente de sus trayectorias reales.

Los detalles de cómo se calculan las colisiones en DSMC dependen del modelo de interacción molecular; aquí tomamos el modelo de esferas duras , que es el más simple. En el modelo de esferas duras, la probabilidad de colisión para el par de partículas, y , es proporcional a su velocidad relativa, donde es el número de partículas en la célula y las sumas son sobre partículas dentro de la célula. Debido a la doble suma en el denominador, puede ser computacionalmente costoso usar esta probabilidad de colisión directamente. En cambio, se puede usar el siguiente esquema de muestreo de rechazo para seleccionar pares de colisiones: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}}$$ ${\displaystyle N_{\mathrm {c} }}$

1. Se elige al azar un par de partículas candidatas, y , y se calcula su velocidad relativa, . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|}$
2. El par se acepta como socio de colisión si , donde es la velocidad relativa máxima en la celda y es una desviación uniforme en [0, 1). ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \Re }$
3. Si se acepta el par, se procesa la colisión; las velocidades de las partículas se restablecen, pero las posiciones no cambian.
4. Después de procesar la colisión o si se rechaza el par, regrese al paso 1.

Este procedimiento es correcto incluso si se sobreestima el valor de , aunque es menos eficiente en el sentido de que se rechazan más candidatos. ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$

Después de elegir el par de colisión, se evalúan sus velocidades posteriores a la colisión, y . Escribiendo la velocidad relativa en términos de ángulos esféricos , y estos ángulos se seleccionan mediante un proceso de Monte Carlo con distribuciones dadas por el modelo de colisión. Para el modelo de esferas duras, estos ángulos se distribuyen uniformemente sobre la esfera unitaria . El ángulo azimutal se distribuye uniformemente entre 0 y , por lo que se selecciona como donde es una desviación uniforme en [0, 1). El ángulo polar se distribuye de acuerdo con la densidad de probabilidad, Usando el cambio de variable , tenemos por lo que Las velocidades posteriores a la colisión se establecen como Tenga en cuenta que por conservación del momento lineal y la energía, la velocidad del centro de masa y la velocidad relativa no cambian en una colisión. Es decir, y Este proceso se repite para cada par de partículas en colisión. ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{j}^{*}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi =2\pi \Re _{1}}$ ${\displaystyle \Re _{1}}$ $${\displaystyle P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta }$$ ${\displaystyle q=-\cos \theta }$ ${\displaystyle P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq}$ $${\displaystyle -\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}}$$ $${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}}$$

A partir de la frecuencia de colisión, , dada por la teoría cinética, el número total de colisiones de esferas duras en una celda durante un tiempo es donde es el diámetro de la partícula y es el volumen de la celda. Dado que los candidatos a colisión pasan por un procedimiento de muestreo de rechazo, la relación entre el total de candidatos aceptados y el total de candidatos para partículas de esferas duras es El número de candidatos a colisión seleccionados en una celda durante un paso de tiempo es Este enfoque para determinar el número de colisiones se conoce como el método sin contador de tiempo (NTC). Si se establece excesivamente alto, entonces el algoritmo procesa el mismo número de colisiones (en promedio), pero la simulación es ineficiente porque se rechazan muchos candidatos. ${\displaystyle f_{\mathrm {coll} }}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {c} }}$ $${\displaystyle {{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$ ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\max }}$

Referencias

1. Bird, G. A (1963). "Enfoque para el equilibrio traslacional en un gas esférico rígido". Física de fluidos . 6 (10): 1518–1519. Código Bibliográfico :1963PhFl....6.1518B. doi :10.1063/1.1710976.
2. GA Bird, Molecular Gas Dynamics , Clarendon Press, Oxford (1976) ^{[ página necesaria ]}
3. GA Bird, Dinámica molecular de los gases y simulación directa de flujos de gas , Clarendon Press, Oxford (1994) ^{[ página necesaria ]}
4. Tsien, Hsue-Shen (1946). "Superaerodinámica, mecánica de gases enrarecidos". Revista de Ciencias Aeronáuticas . 13 (12): 653–64. doi :10.2514/8.11476.
5. MN Macrossan, 'Parámetros de escala para flujo hipersónico: correlación de datos de arrastre de esferas'. En: MS Ivanov y AK Rebrov, 25.º Simposio internacional sobre dinámica de gases enrarecidos , División Siberiana de la Academia Rusa de Ciencias, pág. 759 (2007).
6. Roohi, E.; Stefanov, S. (2016). "Esquemas de selección de socios de colisión en DSMC: desde flujos micro/nano hasta flujos hipersónicos". Physics Reports . 656 (1): 1–38. Bibcode :2016PhR...656....1R. doi :10.1016/j.physrep.2016.08.002.

Enlaces externos

• Método de Monte Carlo de simulación directa: programas de simulación visual creados por GA Bird.
• Aplicación de demostración DSMC de Greg Khanlarov
• Material del curso sobre DSMC (parte del tutorial de Física Computacional de Franz J. Vesely, Universidad de Viena)
• Material del curso sobre DSMC y desarrollos recientes (impartido en IPAM UCLA por Lorenzo Pareschi, Universidad de Ferrara)