Método del nudo delimitador

En matemáticas numéricas, se propone el método de nudos de límite (BKM) como un esquema alternativo de colocación de funciones de distancia sin malla de tipo límite.

Las últimas décadas han sido testigos de un auge de la investigación en las técnicas numéricas de EDP sin malla, ya que la construcción de una malla en el método de elementos finitos estándar y el método de elementos de contorno no es trivial, especialmente para problemas de contorno móvil y de dimensiones superiores. El método de nudos de contorno es diferente de los otros métodos basados ​​en las soluciones fundamentales, como el método de elementos de contorno , el método de soluciones fundamentales y el método de contorno singular , en que el primero no requiere técnicas especiales para curar la singularidad. El BKM es verdaderamente libre de malla, convergente espectral (observaciones numéricas), simétrico (EDP autoadjuntos), libre de integración y fácil de aprender e implementar. El método se ha probado con éxito en las ecuaciones de Helmholtz, difusión, convección-difusión y Possion con dominios 2D y 3D muy irregulares.

Descripción

El método BKM es básicamente una combinación de la función de distancia, la solución general no singular y el método de reciprocidad dual (DRM). La función de distancia se emplea en el método BKM para aproximar los términos no homogéneos a través del DRM, mientras que la solución general no singular de la ecuación diferencial parcial conduce a una formulación de solo contorno para la solución homogénea. Sin la solución fundamental singular, el método BKM elimina el controvertido contorno artificial en el método de soluciones fundamentales. Algunos experimentos numéricos preliminares muestran que el método BKM puede producir resultados excelentes con un número relativamente pequeño de nodos para diversos problemas lineales y no lineales.

Formulación

Consideremos los siguientes problemas:

(1) ${\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega }$

(2) ${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}}$

(3) ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}}$

donde es el operador diferencial, representa el dominio computacional y denota los límites de Dirichlet y Neumann respectivamente, satisfechos y . El BKM emplea la solución general no singular del operador para aproximar la solución numérica de la siguiente manera, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$ ${\displaystyle L}$

(4) ${\displaystyle u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$

donde denota la distancia euclidiana, ¿se satisface la solución general? ${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}}$ ${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$

(5) ${\displaystyle L\phi =0}$

Al emplear la técnica de colocación para satisfacer las condiciones de contorno (2) y (3),

(6) ${\displaystyle {\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}}$

donde y denota los puntos de colocación ubicados en el límite de Dirichlet y el límite de Neumann respectivamente. Los coeficientes desconocidos pueden determinarse de manera única mediante la ecuación (6) anterior. Y luego la solución BKM en cualquier ubicación del dominio computacional puede evaluarse mediante la formulación (4). ${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}}$ ${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Historia y desarrollos recientes

Desde hace tiempo se ha observado que el método de elementos de contorno (BEM) es un método alternativo al método de elementos finitos (FEM) y al método de volúmenes finitos (FVM) para dominios infinitos, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos , gracias a su reducibilidad dimensional. Sin embargo, los principales cuellos de botella del BEM son que es computacionalmente costoso evaluar la integración de una solución fundamental singular y generar una malla de superficie o una nueva malla. El método de soluciones fundamentales (MFS) ^[1] ha surgido en la última década para aliviar estos inconvenientes y ha recibido cada vez más atención. El MFS no tiene integración, convergencia espectral ni malla.

Como su nombre lo indica, la solución fundamental de las ecuaciones gobernantes se utiliza como función base en el MFS. Para evitar la singularidad de la solución fundamental, se requiere el límite artificial fuera del dominio físico y ha sido un cuello de botella importante para el uso amplio del MFS, ya que dicho límite ficticio puede causar inestabilidad computacional. El BKM se clasifica como un tipo de método sin malla de tipo límite que no utiliza malla ni límite artificial.

Desde entonces, el BKM ha sido ampliamente probado. En, ^[2] el BKM se utiliza para resolver la ecuación de Laplace, la ecuación de Helmholtz y las ecuaciones de Helmholtz de parámetros variables; en ^[3] por analogía con la interpolación RBF de Hermite de Fasshauer, se propone un esquema BKM simétrico en presencia de condiciones de contorno mixtas; en, ^[4] se realizan investigaciones numéricas sobre la convergencia del BKM en el análisis de problemas de Helmholtz homogéneos, Helmholtz modificados y de convección-difusión; en ^[5] el BKM se emplea para tratar la geometría complicada de problemas de Helmholtz bidimensionales y tridimensionales y de convección-difusión; en ^[6] se investiga la vibración de la membrana bajo condiciones de contorno de tipo mixto mediante el método de nudos de contorno simétricos; en ^[7] el BKM se aplica a algunos problemas de Helmholtz inversos; en ^[8] el BKM resuelve ecuaciones de Poisson; en ^[9] el BKM calcula ecuaciones de Helmholtz inhomogéneas inversas de Cauchy; En ^[10] el BKM simula los problemas anisotrópicos a través de la distancia geodésica; en ^{[11] [12]} se investigan las relaciones entre el número de condición, el número de condición efectivo y las regularizaciones; en ^[13] el BKM examina la conducción de calor en material funcionalmente graduado no lineal; en ^[14] el BKM también se utiliza para resolver la ecuación no lineal de Eikonal.

Véase también

• Método de soluciones fundamentales
• Método regularizado sin malla
• Método de partículas límite
• Método de límites singulares

Referencias

1. R. Mathon y RL Johnston, La solución aproximada de problemas elípticos de valores límite mediante soluciones fundamentales, SIAM Journal on Numerical Analysis , 638–650, 1977.
2. W. Chen y M. Tanaka, Una técnica RBF sin malla, de convergencia exponencial, sin integración y solo con límites, Computers and Mathematics with Applications , 43, 379–391, 2002.
3. W. Chen, Método de nudo de límite simétrico, Análisis de ingeniería con elementos de límite , 26(6), 489–494, 2002.
4. W. Chen y YC Hon, Convergencia numérica del método de nudos de contorno en el análisis de problemas de Helmholtz, Helmholtz modificado y convección-difusión, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 192, 1859–1875, 2003.
5. YC Hon y W. Chen, Método de nudos límite para problemas de Helmholtz 2D y 3D y de convección-difusión con geometría complicada, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 1931-1948, 56(13), 2003.
6. XP Chen, WX He y BT Jin, Método de nudos de límite simétricos para vibraciones de membrana en condiciones de límite de tipo mixto, Revista internacional de ciencia no lineal y simulación numérica , 6, 421–424, 2005.
7. BT Jing y Z. Yao, Método de nudos límite para algunos problemas inversos asociados con la ecuación de Helmholtz, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 62, 1636–1651, 2005.
8. W. Chen, LJ Shen, ZJ Shen, GW Yuan, Método de nudos de contorno para ecuaciones de Poisson, Análisis de ingeniería con elementos de contorno , 29(8), 756–760, 2005.
9. BT Jin, Y. Zheng, Método de nudos de contorno para el problema de Cauchy asociado con la ecuación de Helmholtz no homogénea, Análisis de ingeniería con elementos de contorno , 29, 925–935, 2005.
10. BT Jin y W. Chen, Método de nudos límite basado en la distancia geodésica para problemas anisotrópicos, Journal of Computational Physics , 215(2), 614–629, 2006.
11. FZ Wang, W. Chen, XR Jiang, Investigación de técnicas regularizadas para el método de nudos de contorno. Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería biomédica , 26(12), 1868–1877, 2010
12. FZ Wang, Leevan L, W. Chen, Número de condición efectiva para el método de nudos de contorno. CMC: Computers, Materials, & Continua , 12(1), 57–70, 2009
13. ZJ Fu; W. Chen, QH Qin, Método de nudo límite para conducción de calor en material funcionalmente graduado no lineal, Análisis de ingeniería con elementos límite , 35(5), 729–734, 2011.
14. D. Mehdi y S. Rezvan, Un método sin malla y con solo límites para la solución numérica de la ecuación de Eikonal, Computational Mechanics , 47, 283–294, 2011.

Sitio web relacionado

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