Método del gradiente biconjugado

En matemáticas , más específicamente en álgebra lineal numérica , el método del gradiente biconjugado es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

${\displaystyle Ax=b.\,}$

A diferencia del método del gradiente conjugado , este algoritmo no requiere que la matriz sea autoadjunta , sino que es necesario realizar multiplicaciones por la transpuesta conjugada A ^* . ${\displaystyle A}$

El algoritmo

1. Elija la estimación inicial , otros dos vectores y un precondicionador. ${\displaystyle x_{0}\,}$ ${\displaystyle x_{0}^{*}}$ ${\displaystyle b^{*}\,}$ ${\displaystyle M\,}$
2. ${\displaystyle r_{0}\leftarrow b-A\,x_{0}\,}$
3. ${\displaystyle r_{0}^{*}\leftarrow b^{*}-x_{0}^{*}\,A^{*}}$
4. ${\displaystyle p_{0}\leftarrow M^{-1}r_{0}\,}$
5. ${\displaystyle p_{0}^{*}\leftarrow r_{0}^{*}M^{-1}\,}$
6. para hacer ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$
   1. ${\displaystyle \alpha _{k}\leftarrow {r_{k}^{*}M^{-1}r_{k} \over p_{k}^{*}Ap_{k}}\,}$
   2. ${\displaystyle x_{k+1}\leftarrow x_{k}+\alpha _{k}\cdot p_{k}\,}$
   3. ${\displaystyle x_{k+1}^{*}\leftarrow x_{k}^{*}+{\overline {\alpha _{k}}}\cdot p_{k}^{*}\,}$
   4. ${\displaystyle r_{k+1}\leftarrow r_{k}-\alpha _{k}\cdot Ap_{k}\,}$
   5. ${\displaystyle r_{k+1}^{*}\leftarrow r_{k}^{*}-{\overline {\alpha _{k}}}\cdot p_{k}^{*}\,A^{*}}$
   6. ${\displaystyle \beta _{k}\leftarrow {r_{k+1}^{*}M^{-1}r_{k+1} \over r_{k}^{*}M^{-1}r_{k}}\,}$
   7. ${\displaystyle p_{k+1}\leftarrow M^{-1}r_{k+1}+\beta _{k}\cdot p_{k}\,}$
   8. ${\displaystyle p_{k+1}^{*}\leftarrow r_{k+1}^{*}M^{-1}+{\overline {\beta _{k}}}\cdot p_{k}^{*}\,}$

En la formulación anterior, los valores calculados y satisfechos ${\displaystyle r_{k}\,}$ ${\displaystyle r_{k}^{*}}$

${\displaystyle r_{k}=b-Ax_{k},\,}$

${\displaystyle r_{k}^{*}=b^{*}-x_{k}^{*}\,A^{*}}$

y por tanto son los respectivos residuos correspondientes a y , como soluciones aproximadas a los sistemas ${\displaystyle x_{k}\,}$ ${\displaystyle x_{k}^{*}}$

${\displaystyle Ax=b,\,}$

${\displaystyle x^{*}\,A^{*}=b^{*}\,;}$

${\displaystyle x^{*}}$es el adjunto , y es el complejo conjugado . ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$

Versión no preacondicionada del algoritmo

1. Elija su conjetura inicial , ${\displaystyle x_{0}\,}$
2. ${\displaystyle r_{0}\leftarrow b-A\,x_{0}\,}$
3. ${\displaystyle {\hat {r}}_{0}\leftarrow {\hat {b}}-{\hat {x}}_{0}A^{*}}$
4. ${\displaystyle p_{0}\leftarrow r_{0}\,}$
5. ${\displaystyle {\hat {p}}_{0}\leftarrow {\hat {r}}_{0}\,}$
6. para hacer ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$
   1. ${\displaystyle \alpha _{k}\leftarrow {{\hat {r}}_{k}r_{k} \over {\hat {p}}_{k}Ap_{k}}\,}$
   2. ${\displaystyle x_{k+1}\leftarrow x_{k}+\alpha _{k}\cdot p_{k}\,}$
   3. ${\displaystyle {\hat {x}}_{k+1}\leftarrow {\hat {x}}_{k}+\alpha _{k}\cdot {\hat {p}}_{k}\,}$
   4. ${\displaystyle r_{k+1}\leftarrow r_{k}-\alpha _{k}\cdot Ap_{k}\,}$
   5. ${\displaystyle {\hat {r}}_{k+1}\leftarrow {\hat {r}}_{k}-\alpha _{k}\cdot {\hat {p}}_{k}A^{*}}$
   6. ${\displaystyle \beta _{k}\leftarrow {{\hat {r}}_{k+1}r_{k+1} \over {\hat {r}}_{k}r_{k}}\,}$
   7. ${\displaystyle p_{k+1}\leftarrow r_{k+1}+\beta _{k}\cdot p_{k}\,}$
   8. ${\displaystyle {\hat {p}}_{k+1}\leftarrow {\hat {r}}_{k+1}+\beta _{k}\cdot {\hat {p}}_{k}\,}$

Discusión

El método del gradiente biconjugado es numéricamente inestable ^{[ cita requerida ]} (compárese con el método del gradiente biconjugado estabilizado ), pero muy importante desde un punto de vista teórico. Defina los pasos de iteración mediante

${\displaystyle x_{k}:=x_{j}+P_{k}A^{-1}\left(b-Ax_{j}\right),}$

${\displaystyle x_{k}^{*}:=x_{j}^{*}+\left(b^{*}-x_{j}^{*}A\right)P_{k}A^{-1},}$

donde se utiliza la proyección relacionada ${\displaystyle j<k}$

${\displaystyle P_{k}:=\mathbf {u} _{k}\left(\mathbf {v} _{k}^{*}A\mathbf {u} _{k}\right)^{-1}\mathbf {v} _{k}^{*}A,}$

con

${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\left[u_{0},u_{1},\dots ,u_{k-1}\right],}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\left[v_{0},v_{1},\dots ,v_{k-1}\right].}$

Estas proyecciones relacionadas pueden iterarse como

${\displaystyle P_{k+1}=P_{k}+\left(1-P_{k}\right)u_{k}\otimes {v_{k}^{*}A\left(1-P_{k}\right) \over v_{k}^{*}A\left(1-P_{k}\right)u_{k}}.}$

Una relación con los métodos Quasi-Newton está dada por y , donde ${\displaystyle P_{k}=A_{k}^{-1}A}$ ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-A_{k+1}^{-1}\left(Ax_{k}-b\right)}$

${\displaystyle A_{k+1}^{-1}=A_{k}^{-1}+\left(1-A_{k}^{-1}A\right)u_{k}\otimes {v_{k}^{*}\left(1-AA_{k}^{-1}\right) \over v_{k}^{*}A\left(1-A_{k}^{-1}A\right)u_{k}}.}$

Las nuevas direcciones

${\displaystyle p_{k}=\left(1-P_{k}\right)u_{k},}$

${\displaystyle p_{k}^{*}=v_{k}^{*}A\left(1-P_{k}\right)A^{-1}}$

son entonces ortogonales a los residuos:

${\displaystyle v_{i}^{*}r_{k}=p_{i}^{*}r_{k}=0,}$

${\displaystyle r_{k}^{*}u_{j}=r_{k}^{*}p_{j}=0,}$

que por sí mismos satisfacen

${\displaystyle r_{k}=A\left(1-P_{k}\right)A^{-1}r_{j},}$

${\displaystyle r_{k}^{*}=r_{j}^{*}\left(1-P_{k}\right)}$

dónde . ${\displaystyle i,j<k}$

El método de gradiente biconjugado ahora hace una elección especial y utiliza la configuración

${\displaystyle u_{k}=M^{-1}r_{k},\,}$

${\displaystyle v_{k}^{*}=r_{k}^{*}\,M^{-1}.\,}$

Con esta elección particular, se evitan las evaluaciones explícitas de y A ^{−1 , y el algoritmo toma la forma indicada anteriormente.} ${\displaystyle P_{k}}$

Propiedades

• Si es autoadjunto , y , entonces , , y el método del gradiente conjugado produce la misma secuencia con la mitad del costo computacional. ${\displaystyle A=A^{*}\,}$ ${\displaystyle x_{0}^{*}=x_{0}}$ ${\displaystyle b^{*}=b}$ ${\displaystyle r_{k}=r_{k}^{*}}$ ${\displaystyle p_{k}=p_{k}^{*}}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k}^{*}}$
• Las secuencias producidas por el algoritmo son biortogonales , es decir, para . ${\displaystyle p_{i}^{*}Ap_{j}=r_{i}^{*}M^{-1}r_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$
• Si es un polinomio con , entonces . El algoritmo produce, por tanto, proyecciones sobre el subespacio de Krylov . ${\displaystyle P_{j'}\,}$ ${\displaystyle \deg \left(P_{j'}\right)+j<k}$ ${\displaystyle r_{k}^{*}P_{j'}\left(M^{-1}A\right)u_{j}=0}$
• Si es un polinomio con , entonces . ${\displaystyle P_{i'}\,}$ ${\displaystyle i+\deg \left(P_{i'}\right)<k}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}P_{i'}\left(AM^{-1}\right)r_{k}=0}$

Véase también

• Método de estabilización de gradiente biconjugado (BiCG-Stab)
• Método del gradiente conjugado (CG)
• Método del gradiente cuadrado conjugado (CGS)

Referencias

• Fletcher, R. (1976). Watson, G. Alistair (ed.). "Métodos de gradiente conjugado para sistemas indefinidos". Numerical Analysis . Lecture Notes in Mathematics. 506 . Springer Berlin / Heidelberg: 73–89. doi : 10.1007/BFb0080109 . ISBN 978-3-540-07610-0. ISSN  1617-9692.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 2.7.6". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.