Esquema FTCS

En el análisis numérico , el método FTCS (espacio centrado en el tiempo hacia adelante) es un método de diferencias finitas utilizado para resolver numéricamente la ecuación del calor y ecuaciones diferenciales parciales parabólicas similares . ^[1] Es un método de primer orden en el tiempo, explícito en el tiempo y es condicionalmente estable cuando se aplica a la ecuación del calor. Cuando se utiliza como método para ecuaciones de convección , o más generalmente ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , es inestable a menos que se incluya viscosidad artificial. La abreviatura FTCS fue utilizada por primera vez por Patrick Roache. ^{[2] [3]}

El método

El método FTCS se basa en el método de Euler directo en el tiempo (de ahí el nombre de "tiempo directo") y en la diferencia central en el espacio (de ahí el nombre de "espacio centrado"), lo que da lugar a una convergencia de primer orden en el tiempo y una convergencia de segundo orden en el espacio. Por ejemplo, en una dimensión, si la ecuación diferencial parcial es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

Entonces, siendo , el método de Euler hacia adelante viene dado por: ${\displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

La función debe discretizarse espacialmente con un esquema de diferencias centrales . Este es un método explícito , lo que significa que se puede calcular explícitamente (sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas) si se conocen los valores de en el nivel de tiempo anterior . El método FTCS es computacionalmente económico ya que el método es explícito. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n)}$

Ilustración: ecuación de calor unidimensional

El método FTCS se aplica a menudo a problemas de difusión . Como ejemplo, para la ecuación de calor 1D ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

El esquema FTCS viene dado por:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

o, dejando : ${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

Estabilidad

Como se deduce del análisis de estabilidad de von Neumann , el método FTCS para la ecuación de calor unidimensional es numéricamente estable si y solo si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.}$

Es decir, la elección de y debe satisfacer la condición anterior para que el esquema FTCS sea estable. En dos dimensiones, la condición se convierte en ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.}$

Si elegimos , entonces las condiciones de estabilidad se convierten en , , y para aplicaciones unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, respectivamente. ^[4] ${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$

Una desventaja importante del método FTCS es que para problemas con gran difusividad , los tamaños de paso satisfactorios pueden ser demasiado pequeños para ser prácticos. ${\displaystyle \alpha }$

Para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , el problema de prueba lineal es la ecuación de advección de coeficiente constante , en oposición a la ecuación de calor (o ecuación de difusión ), que es la opción correcta para una ecuación diferencial parabólica . Es bien sabido que para estos problemas hiperbólicos , cualquier opción de resulta en un esquema inestable. ^[5] ${\displaystyle \Delta t}$

Véase también

• Ecuaciones diferenciales parciales
• Método de Crank-Nicolson
• Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

Referencias

1. John C. Tannehill; Dale A. Anderson ; Richard H. Pletcher (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2.ª ed.). Taylor & Francis . ISBN 1-56032-046-X.
2. Patrick J. Roache (1972). Dinámica de fluidos computacional (1.ª ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-05-9.
3. Patrick J. Roache (1998). Dinámica de fluidos computacional (2.ª ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-09-1.
4. Moin, Parviz (2010). Fundamentos del análisis numérico en ingeniería (2.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-93263-2.OCLC 692196974  .
5. LeVeque, Randall (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-00924-3.