Superficie de PDE

Las superficies PDE se utilizan en modelado geométrico y gráficos por computadora para crear superficies suaves que se ajusten a una configuración de contorno dada. Las superficies PDE utilizan ecuaciones diferenciales parciales para generar una superficie que generalmente satisface un problema matemático de valor de contorno .

Las superficies PDE fueron introducidas por primera vez en el área de modelado geométrico y gráficos por computadora por dos matemáticos británicos, Malcolm Bloor y Michael Wilson.

Detalles técnicos

El método PDE implica generar una superficie para algún límite mediante la solución de una ecuación diferencial parcial elíptica de la forma

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\right)^{2}X(u,v)=0.}$

Aquí hay una función parametrizada por los dos parámetros y tal que donde , y son el espacio de coordenadas cartesianas habitual . Las condiciones de contorno de la función y sus derivadas normales se imponen en los bordes del parche de superficie. ${\displaystyle X(u,v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X(u,v)}$ ${\displaystyle \partial {X}/\partial {n}}$

Con la formulación anterior, es notable que el operador diferencial parcial elíptico en la EDP anterior representa un proceso de suavizado en el que el valor de la función en cualquier punto de la superficie es, en cierto sentido, un promedio ponderado de los valores circundantes. De esta manera, se obtiene una superficie como una transición suave entre el conjunto elegido de condiciones de contorno . El parámetro es un parámetro de diseño especial que controla el suavizado relativo de la superficie en las direcciones y . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Cuando , la EDP es la ecuación biarmónica : . La ecuación biarmónica es la ecuación que se obtiene al aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a la función de energía de placa delgada simplificada . Por lo tanto, resolver la EDP con es equivalente a minimizar la función de energía de placa delgada sujeta a las mismas condiciones de contorno. ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle X_{uuuu}+2X_{uuvv}+X_{vvvv}=0}$ ${\displaystyle X_{uu}^{2}+2X_{uv}^{2}+X_{vv}^{2}}$ ${\displaystyle a=1}$

Aplicaciones

Las superficies PDE se pueden utilizar en muchas áreas de aplicación, entre ellas, el diseño asistido por ordenador , el diseño interactivo, el diseño paramétrico, la animación por ordenador , el análisis físico asistido por ordenador y la optimización del diseño.

Publicaciones relacionadas

1. MIG Bloor y MJ Wilson, Generación de superficies de mezcla utilizando ecuaciones diferenciales parciales , Diseño asistido por computadora, 21(3), 165–171, (1989).
2. H. Ugail , MIG Bloor y MJ Wilson, Técnicas para el diseño interactivo utilizando el método PDE , ACM Transactions on Graphics , 18(2), 195–212, (1999).
3. J. Huband, W. Li y R. Smith, Una representación explícita del modelo de superficie PDE de Bloor-Wilson mediante el uso de la base canónica para la interpolación de Hermite , Ingeniería matemática en la industria, 7(4), 421-33 (1999).
4. H. Du y H. Qin, Manipulación directa y escultura interactiva de superficies PDE , Computer Graphics Forum, 19(3), C261-C270, (2000).
5. H. Ugail, Parametrizaciones de forma basadas en la columna para superficies PDE , Computing, 72, 195–204, (2004).
6. L. You, P. Comninos, JJ Zhang, Superficies de fusión de PDE con continuidad C2 , Computadoras y gráficos, 28(6), 895–906, (2004).

Enlaces externos

• Diseño basado en simulación, investigación sobre ecuaciones diferenciales parciales (Universidad de Bradford, Reino Unido). (Una aplicación Java que muestra las propiedades de las superficies de ecuaciones diferenciales parciales)
• El Departamento de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Leeds detalla el trabajo de Bloor y Wilson.