En el análisis numérico , el método de Stone , también conocido como procedimiento fuertemente implícito o SIP , es un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales dispersas . El método utiliza una descomposición LU incompleta , que se aproxima a la descomposición LU exacta , para obtener una solución iterativa del problema. El método recibe su nombre de Harold S. Stone , quien lo propuso en 1968.
La descomposición LU es un excelente solucionador de ecuaciones lineales de propósito general. La mayor desventaja es que no aprovecha la ventaja de que la matriz de coeficientes es una matriz dispersa. La descomposición LU de una matriz dispersa no suele ser dispersa, por lo que, para un gran sistema de ecuaciones, la descomposición LU puede requerir una cantidad prohibitiva de memoria y de operaciones aritméticas .
En los métodos iterativos preacondicionados , si la matriz preacondicionadora M es una buena aproximación de la matriz de coeficientes A, entonces la convergencia es más rápida. Esto nos lleva a la idea de utilizar la factorización aproximada LU de A como la matriz de iteración M.
En 1968, Stone propuso una versión del método de descomposición inferior-superior incompleta. Este método está diseñado para sistemas de ecuaciones que surgen de la discretización de ecuaciones diferenciales parciales y se utilizó por primera vez para un sistema de ecuaciones pentadiagonales obtenido al resolver una ecuación diferencial parcial elíptica en un espacio bidimensional mediante un método de diferencias finitas . La descomposición aproximada LU se consideró [ aclaración necesaria ] en la misma forma pentadiagonal que la matriz original (tres diagonales para L y tres diagonales para U ) como la mejor coincidencia de las siete ecuaciones posibles para las cinco incógnitas de cada fila de la matriz.
El método stone es Para el sistema lineal A x = b calcular la factorización LU incompleta de la matriz A A x = ( M - N )x = ( LU - N )x = b M x (k+1) = N x (k) +b , con || M || >> || N || M x (k+1) = LU x (k+1) = c (k) LU x (k) = L ( U x (k+1) ) = L y (k) = c (k) Establecer una conjetura k = 0, x (k) r (k) =b - A x (k) mientras que ( ||r (k) || 2 ≥ ε ) hacer evaluar nuevo lado derecho c (k) = N x (k) + b resuelve L y (k) = c (k) por sustitución hacia adelante y (k) = L −1 c (k) resuelve U x (k+1) = y (k) por sustitución hacia atrás x (k+1) = U −1 y (k) fin mientras
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