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Método de puntos finitos

En matemáticas aplicadas , el método de puntos finitos ( FPM ) es un enfoque general para la solución numérica de problemas en mecánica de medios continuos , como la simulación de flujos de fluidos . En este enfoque, el medio se representa mediante un conjunto finito de puntos, cada uno dotado de las propiedades locales relevantes del medio, como densidad , velocidad , presión y temperatura . [1]

Los puntos de muestreo pueden moverse con el medio, como en el enfoque lagrangiano de la dinámica de fluidos, o pueden estar fijos en el espacio mientras el medio fluye a través de ellos, como en el enfoque euleriano. También se puede utilizar un enfoque mixto lagrangiano-euleriano. El enfoque lagrangiano también se conoce (especialmente en el campo de los gráficos por computadora ) como método de partículas .

Los métodos de conjuntos de puntos finitos son métodos sin malla y, por lo tanto, se adaptan fácilmente a dominios con geometrías complejas y/o que evolucionan en el tiempo y límites de fase móviles (como un líquido que salpica en un recipiente o el soplado de una botella de vidrio ) sin la complejidad de software que se requeriría para manejar esas características con estructuras de datos topológicos. Pueden ser útiles en problemas no lineales que involucran fluidos viscosos , transferencia de calor y masa , deformaciones elásticas o plásticas lineales y no lineales , etc.

Descripción

En las implementaciones más simples, el conjunto finito de puntos se almacena como una lista no estructurada de puntos en el medio. En el enfoque lagrangiano, los puntos se mueven con el medio y se pueden agregar o eliminar puntos para mantener una densidad de muestreo prescrita. La densidad de puntos generalmente se prescribe mediante una longitud de suavizado definida localmente. En el enfoque euleriano, los puntos son fijos en el espacio, pero se pueden agregar nuevos puntos donde se necesite una mayor precisión. Por lo tanto, en ambos enfoques, los vecinos más cercanos de un punto no son fijos y se determinan nuevamente en cada paso de tiempo.

Ventajas

Este método tiene varias ventajas sobre las técnicas basadas en cuadrículas; por ejemplo, puede manejar dominios de fluidos, que cambian naturalmente, mientras que las técnicas basadas en cuadrículas requieren un esfuerzo computacional adicional. Los puntos finitos deben cubrir completamente todo el dominio del flujo, es decir, la nube de puntos debe cumplir ciertos criterios de calidad (no se permite que los puntos finitos formen "agujeros", lo que significa que los puntos finitos deben encontrar vecinos suficientemente numerosos; además, no se permite que los puntos finitos se agrupen, etc.).

La nube de puntos finitos es una base geométrica que permite una formulación numérica que convierte al FPM en una idea general de diferencias finitas aplicada a la mecánica de medios continuos. Esto significa, en particular, que si el punto se redujera a una cuadrícula de puntos cúbicos regulares, entonces el FPM se reduciría a un método de diferencias finitas clásico. La idea de diferencias finitas generales también significa que el FPM no se basa en una formulación débil como el enfoque de Galerkin. Más bien, el FPM es una formulación fuerte que modela ecuaciones diferenciales mediante la aproximación directa de los operadores diferenciales que ocurren. El método utilizado es una idea de mínimos cuadrados móviles que se desarrolló especialmente para el FPM.

Historia

Para superar las desventajas de los métodos clásicos, se han desarrollado muchos enfoques para simular dichos flujos. [2] [3] [4] [5] [6] [7] Un método lagrangiano clásico sin cuadrícula es la hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), que se introdujo originalmente para resolver problemas en astrofísica. [8] [9]

Desde entonces, se ha ampliado para simular las ecuaciones de Euler compresibles en dinámica de fluidos y se ha aplicado a una amplia gama de problemas. [10] [11] [12] El método también se ha ampliado para simular flujos de superficie libre incompresibles no viscosos. [13] La implementación de las condiciones de contorno es el principal problema del método SPH.

Otro enfoque para resolver ecuaciones fluidodinámicas en un marco libre de cuadrícula es el método de mínimos cuadrados móviles o de mínimos cuadrados. [1] [14] [15] [16] [17] [7] Con este enfoque, las condiciones de contorno se pueden implementar de manera natural simplemente colocando los puntos finitos en los límites y prescribiendo condiciones de contorno en ellos. [15] La robustez de este método se muestra en los resultados de simulación en el campo del despliegue de airbag en la industria automotriz. Aquí, la membrana (o límite) del airbag cambia muy rápidamente en el tiempo y toma una forma bastante complicada (Kuhnert et al. 2000).

Tiwari et al. (2003) realizaron simulaciones de flujos incompresibles como el límite de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes con alguna ecuación de estado rígida. [18] Este enfoque fue utilizado por primera vez en Monaghan (1992) para simular flujos de superficie libre incompresibles por SPH. El límite incompresible se obtiene eligiendo una velocidad del sonido muy grande en la ecuación de estado de modo que el número de Mach se vuelva pequeño. Sin embargo, el gran valor de la velocidad del sonido restringe el paso de tiempo a ser muy pequeño debido a la condición CFL . [10]

El método de proyección de Chorin es un enfoque ampliamente utilizado para resolver problemas regidos por la ecuación incompresible de Navier-Stokes en una estructura basada en cuadrícula. [19] En Tiwari et al. (2001), este método se ha aplicado a un marco libre de cuadrícula con la ayuda del método de mínimos cuadrados ponderados. El esquema proporciona resultados precisos para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes . La ecuación de Poisson que se produce para el campo de presión se resuelve mediante un método libre de cuadrícula. Se ha demostrado que la ecuación de Poisson se puede resolver con precisión mediante este enfoque para cualquier condición de contorno. El solucionador de Poisson se puede adaptar al procedimiento de aproximación de mínimos cuadrados ponderados con la condición de que la ecuación de Poisson y la condición de contorno deben cumplirse en cada punto finito. Este es un procedimiento de iteración local. [17]

Software

Referencias

  1. ^ ab T., Belytschko; Y., Krongauz; M., Flemming; D., Organ; S., Liu WK (1996), "Suavizado y cálculos acelerados en el método de Galerkin sin elementos", Journal of Computational and Applied Mathematics , 74 (1–2): 111–126, doi :10.1016/0377-0427(96)00020-9
  2. ^ P., Hansbo (1992), "El método de difusión de línea de corriente característica para las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles dependientes del tiempo", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 99 (2–3): 171–186, Bibcode :1992CMAME..99..171H, doi :10.1016/0045-7825(92)90039-M
  3. ^ Harlow, Francis H .; E., Welch J. (1965), "Estudio numérico de movimientos de superficie libre de gran amplitud", Física de fluidos , 8 (5): 842–851, doi :10.1063/1.1761784
  4. ^ J., Kelecy F.; H., Pletcher R. (1997), "El desarrollo de un enfoque de captura de superficie libre para flujos de superficie libre multidimensionales en contenedores cerrados", Journal of Computational Physics , 138 (2): 939–980, Bibcode :1997JCoPh.138..939K, doi :10.1006/jcph.1997.5847
  5. ^ B., Kothe D.; C., Mjolsness R. (1992), "RIPPLE: Un nuevo modelo para flujos incompresibles con superficies libres", AIAA Journal , 30 (11): 2694–2700, Bibcode :1992AIAAJ..30.2694K, doi :10.2514/3.11286
  6. ^ V., Maronnier; M., Picasso; J., Rappaz (1999), "Simulación numérica de flujos de superficie libre", Journal of Computational Physics , 155 (2): 439–455, Bibcode :1999JCoPh.155..439M, doi :10.1006/jcph.1999.6346
  7. ^ ab S., Tiwari; S., Manservisi (2000), Modelado de flujos incompresibles de Navier-Stokes mediante LSQ-SPH, Berichte des Fraunhofer ITWM, Kaiserslautern, Alemania
  8. ^ B., Lucy L. (1977), "Un enfoque numérico para la prueba de la hipótesis de la fisión", Astronomical Journal , 82 : 1013–1024, Bibcode :1977AJ.....82.1013L, doi :10.1086/112164
  9. ^ A., Gingold R.; J., Monaghan J. (1977), "Hidrodinámica de partículas suavizadas: teoría y aplicación a estrellas no esféricas", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 181 (3): 375–389, doi : 10.1093/mnras/181.3.375
  10. ^ ab J., Monaghan J. (1992), "Hidrodinámica de partículas suavizadas", Annual Review of Astronomy and Astrophysics , 30 : 543–574, Bibcode :1992ARA&A..30..543M, doi :10.1146/annurev.aa.30.090192.002551
  11. ^ J., Monaghan J.; A., Gingold R. (1983), "Simulación de choque mediante el método de partículas SPH", Journal of Computational Physics , 52 (2): 374–389, Bibcode :1983JCoPh..52..374M, doi :10.1016/0021-9991(83)90036-0
  12. ^ P., Morris J.; J., Fox P.; Y., Zhu (1997), "Modelado de flujos incompresibles con bajo número de Reynolds utilizando SPH", Journal of Computational Physics , 136 (1): 214–226, Bibcode :1997JCoPh.136..214M, doi :10.1006/jcph.1997.5776
  13. ^ J., Monaghan J. (1994), "Simulación de flujos de superficie libre con SPH", Journal of Computational Physics , 110 (2): 399–406, Bibcode :1994JCoPh.110..399M, doi :10.1006/jcph.1994.1034
  14. ^ A., Dilts G. (1996), Hidrodinámica de partículas mediante el método de mínimos cuadrados móviles. I: consistencia y estabilidad, Informe del grupo de métodos de hidrodinámica, Laboratorio Nacional de Los Álamos , doi :10.1002/(SICI)1097-0207(19990320)44:8<1115::AID-NME547>3.0.CO;2-L
  15. ^ ab J., Kuhnert (1999), Hidrodinámica general de partículas suavizadas, tesis doctoral, Universidad de Kaiserslautern, Alemania
  16. ^ J., Kuhnert (2000), Un método de puntos finitos en contra del viento para ecuaciones compresibles de Euler y Navier-Stokes, preimpresión, ITWM, Kaiserslautern, Alemania
  17. ^ ab S., Tiwari S.; J., Kuhnert J. (2001), Método sin cuadrícula para resolver la ecuación de Poisson, Berichte des Fraunhofer ITWM, Kaiserslautern, Alemania, ISSN  1434-9973
  18. ^ S., Tiwari; J., Kuhnert (2003), "Método de partículas para simulaciones de flujos de superficie libre", en Hou, Thomas Y.; Tadmor, Eitan (eds.), Problemas hiperbólicos: teoría, números, aplicaciones: Actas de la Novena Conferencia Internacional sobre Problemas Hiperbólicos celebrada en CalTech, Pasadena, del 25 al 29 de marzo de 2002 , doi :10.1007/978-3-642-55711-8, ISBN 978-3-642-55711-8
  19. ^ A., Chorin A. (1968), "Solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes", Journal of Mathematics of Computation , 22 (104): 745–762, doi :10.2307/2004575, JSTOR  2004575