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Solucionador de Riemann

Un solucionador de Riemann es un método numérico que se utiliza para resolver un problema de Riemann . Se utilizan mucho en dinámica de fluidos computacional y magnetohidrodinámica computacional .

Definición

En términos generales, los solucionadores de Riemann son métodos específicos para calcular el flujo numérico a través de una discontinuidad en el problema de Riemann. [1] Forman una parte importante de los esquemas de alta resolución ; normalmente, los estados derecho e izquierdo del problema de Riemann se calculan utilizando alguna forma de reconstrucción no lineal, como un limitador de flujo o un método WENO , y luego se utilizan como entrada para el solucionador de Riemann. [2]

Solucionadores exactos

Se atribuye a Sergei K. Godunov la introducción del primer solucionador exacto de Riemann para las ecuaciones de Euler [3] , al extender el método CIR (Courant-Isaacson-Rees) anterior a sistemas no lineales de leyes de conservación hiperbólicas. Los solucionadores modernos pueden simular efectos relativistas y campos magnéticos.

Investigaciones más recientes muestran que existe una solución en serie exacta para el problema de Riemann, que puede converger lo suficientemente rápido en algunos casos para evitar los métodos iterativos requeridos en el esquema de Godunov. [4]

Solucionadores aproximados

Como las soluciones iterativas son demasiado costosas, especialmente en magnetohidrodinámica, es necesario realizar algunas aproximaciones. Algunos solucionadores populares son:

Solucionador de Roe

Philip L. Roe utilizó la linealización del jacobiano, que luego resuelve con exactitud. [5]

Solucionador HLLE

El solucionador HLLE (desarrollado por Ami Harten , Peter Lax , Bram van Leer y Einfeldt) es una solución aproximada al problema de Riemann, que se basa únicamente en la forma integral de las leyes de conservación y las velocidades de señal más grandes y más pequeñas en la interfaz. [6] [7] La ​​estabilidad y robustez del solucionador HLLE está estrechamente relacionada con las velocidades de señal y un único estado promedio central, como lo propuso Einfeldt en el artículo original.

Solucionador HLLC

El solucionador HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact) fue introducido por Toro. [8] Restaura la onda de rarefacción faltante mediante una técnica de estimación, como la linealización. Existen técnicas más avanzadas, como el uso de la velocidad promedio de Roe para la velocidad de onda media. Estos esquemas son bastante robustos y eficientes, pero algo más difusivos. [9]

Solucionadores de Riemann híbridos rotados

Estos solucionadores fueron introducidos por Hiroaki Nishikawa y Kitamura, [10] con el fin de superar los problemas de carbunclo del solucionador Roe y la difusión excesiva del solucionador HLLE al mismo tiempo. Desarrollaron solucionadores de Riemann robustos y precisos combinando el solucionador Roe y los solucionadores HLLE/Rusanov: demostraron que al ser aplicados en dos direcciones ortogonales, los dos solucionadores de Riemann pueden combinarse en un único solucionador de tipo Roe (el solucionador Roe con velocidades de onda modificadas). En particular, el que se deriva de los solucionadores Roe y HLLE, llamado solucionador Rotated-RHLL, es extremadamente robusto (libre de carbunclo para todos los casos de prueba posibles en cuadrículas estructuradas y no estructuradas) y preciso (tan preciso como el solucionador Roe para el cálculo de la capa límite).

Otros solucionadores

Hay una variedad de otros solucionadores disponibles, incluidas más variantes del esquema HLL [11] y solucionadores basados ​​en la división de flujo a través de la descomposición característica. [12]

Notas

  1. ^ LeVeque, Randall J., 1955- (1992). Métodos numéricos para leyes de conservación (2.ª ed.). Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5.OCLC 25281500  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  2. ^ Toro, EF (2006). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos: una introducción práctica (3.ª ed. [rev.]). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-49834-6.OCLC 405546150  .
  3. ^ Godunov, SK (1959), "Un esquema diferencial para el cálculo numérico de la solución discontinua de la ecuación hiperbólica", Mat. Sbornik , 47 : 271–306
  4. ^ Wu, YY; Cheung, KF (2008), "Solución explícita al problema exacto de Riemann y aplicación en ecuaciones no lineales de aguas someras", Int. J. Numer. Methods Fluids , 57 (11): 1649–1668, Bibcode :2008IJNMF..57.1649W, doi :10.1002/fld.1696, S2CID  122832179
  5. ^ Roe, PL (1981), "Solucionadores de Riemann aproximados, vectores de parámetros y esquemas de diferencias", J. Comput. Phys. , 43 (2): 357–372, Bibcode :1981JCoPh..43..357R, doi :10.1016/0021-9991(81)90128-5
  6. ^ Harten, Amiram; Lax, Peter D.; Van Leer, Bram (1983). "Sobre la diferenciación ascendente y los esquemas de tipo Godunov para leyes de conservación hiperbólicas". SIAM Review . 25 (1): 35–61. doi :10.1137/1025002. ISSN  0036-1445. JSTOR  2030019.
  7. ^ Einfeldt, B. (1988), "Sobre los métodos de tipo Godunov para la dinámica de gases", SIAM J. Numer. Anal. , 25 (2): 294–318, Bibcode :1988SJNA...25..294E, doi :10.1137/0725021
  8. ^ Toro, EF; Spruce, M.; Speares, W. (1994), "Restauración de la superficie de contacto en el solucionador HLL-Riemann", Shock Waves , 4 (1): 25–34, Bibcode :1994ShWav...4...25T, doi :10.1007/BF01414629, S2CID  119972653
  9. ^ Quirk, JJ (1994), "Una contribución al gran debate sobre el solucionador de Riemann", Int. J. Numer. Methods Fluids , 18 (6): 555–574, Bibcode :1994IJNMF..18..555Q, doi :10.1002/fld.1650180603, hdl : 2060/19930015894 .
  10. ^ Nishikawa, H.; Kitamura, K. (2008), "Solucionadores de Riemann híbridos rotados, muy simples, sin carbunclo y con resolución de capa límite", J. Comput. Phys. , 227 (4): 2560–2581, Bibcode :2008JCoPh.227.2560N, doi :10.1016/j.jcp.2007.11.003
  11. ^ Miyoshi, Takahiro; Kusano, Kanya (septiembre de 2005). "Un solucionador de Riemann aproximado de HLL multiestado para magnetohidrodinámica ideal". Journal of Computational Physics . 208 (1): 315–344. Bibcode :2005JCoPh.208..315M. doi :10.1016/j.jcp.2005.02.017.
  12. ^ Donat, R.; Font, JA; Ibáñez, J.Ma; Marquina, A. (octubre de 1998). "Un algoritmo de división de flujo aplicado a flujos relativistas". Journal of Computational Physics . 146 (1): 58–81. Bibcode :1998JCoPh.146...58D. doi :10.1006/jcph.1998.5955.

Véase también

Referencias

Enlaces externos