Problema de Riemann

Un problema de Riemann , llamado así por Bernhard Riemann , es un problema de valor inicial específico compuesto por una ecuación de conservación junto con datos iniciales constantes por partes que tiene una única discontinuidad en el dominio de interés. El problema de Riemann es muy útil para la comprensión de ecuaciones como las ecuaciones de conservación de Euler porque todas las propiedades, como los choques y las ondas de rarefacción, aparecen como características en la solución. También proporciona una solución exacta a algunas ecuaciones no lineales complejas, como las ecuaciones de Euler .

En el análisis numérico , los problemas de Riemann aparecen de forma natural en los métodos de volúmenes finitos para la solución de ecuaciones de la ley de conservación debido a la discreción de la malla. Por ello, se utilizan ampliamente en dinámica de fluidos computacional y en simulaciones de magnetohidrodinámica computacional . En estos campos, los problemas de Riemann se calculan utilizando solucionadores de Riemann .

El problema de Riemann en la dinámica linealizada de gases

Como ejemplo simple, investigamos las propiedades del problema unidimensional de Riemann en dinámica de gases (Toro, Eleuterio F. (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos, pág. 44, ejemplo 2.5).

Las condiciones iniciales están dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x\leq 0\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x>0}$

donde x  = 0 separa dos estados diferentes, junto con las ecuaciones dinámicas de gases linealizadas (ver dinámica de gases para su derivación).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

donde podemos suponer sin pérdida de generalidad . Ahora podemos reescribir las ecuaciones anteriores en forma conservadora: ${\displaystyle a\geq 0}$

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

dónde

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

y el índice denota la derivada parcial con respecto a la variable correspondiente (es decir, x o t).

Los valores propios del sistema son las características del sistema . Proporcionan la velocidad de propagación del medio, incluida la de cualquier discontinuidad, que en este caso es la velocidad del sonido. Los vectores propios correspondientes son ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Al descomponer el estado izquierdo en términos de los vectores propios, obtenemos para algunos ${\displaystyle u_{L}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Ahora podemos resolver para y : ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Análogamente

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

para

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Usando esto, en el dominio entre las dos características , obtenemos la solución constante final: ${\displaystyle t=|x|/a}$

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

y la solución (constante por partes) en todo el dominio : ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

Aunque se trata de un ejemplo sencillo, aún muestra las propiedades básicas. En particular, las características descomponen la solución en tres dominios. La velocidad de propagación de estas dos ecuaciones es equivalente a la velocidad de propagación del sonido.

La característica más rápida define la condición de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), que establece la restricción para el paso de tiempo máximo durante el cual un método numérico explícito es estable. En general, cuanto más ecuaciones de conservación se utilizan, más características se involucran.

Referencias

• Toro, Eleuterio F. (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos . Berlín: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• LeVeque, Randall J. (2004). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6.

Véase también

• Dinámica de fluidos computacional
• Magnetohidrodinámica computacional
• Solucionador de Riemann