La regla de Simpson

Método de integración numérica

La regla de Simpson se puede derivar aproximando el integrando f ( x ) (en azul) por el interpolante cuadrático P ( x ) (en rojo) .

Una animación que muestra cómo la regla de Simpson aproxima la función con una parábola y la reducción del error con un tamaño de paso reducido.

Una animación que muestra cómo la aproximación de la regla de Simpson mejora con más subdivisiones.

En integración numérica , las reglas de Simpson son varias aproximaciones para integrales definidas , llamadas así en honor a Thomas Simpson (1710-1761).

La más básica de estas reglas, llamada regla 1/3 de Simpson , o simplemente regla de Simpson , dice: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

En alemán y en otros idiomas, recibe su nombre de Johannes Kepler , quien lo derivó en 1615 después de ver que se utilizaba para barriles de vino (regla del barril, Keplersche Fassregel ). La igualdad aproximada en la regla se vuelve exacta si f es un polinomio de grado 3 inclusive.

Si se aplica la regla 1/3 a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a ,  b ], se obtiene la regla 1/3 de Simpson compuesta. A los puntos dentro del rango de integración se les asignan pesos alternos 4/3 y 2/3.

La regla 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson , requiere una evaluación más de la función dentro del rango de integración y proporciona límites de error más bajos, pero no mejora el orden del error.

Si se aplica la regla 3/8 a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a ,  b ], se obtiene la regla 3/8 de Simpson compuesta.

Las reglas 1/3 y 3/8 de Simpson son dos casos especiales de fórmulas de Newton-Cotes cerradas .

En arquitectura naval y estimación de la estabilidad del buque, también existe la tercera regla de Simpson , que no tiene especial importancia en el análisis numérico general, véase Reglas de Simpson (estabilidad del buque) .

Regla 1/3 de Simpson

La regla 1/3 de Simpson, también llamada simplemente regla de Simpson, es un método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cuadrática y es la regla 1/3 de Simpson compuesta evaluada para . La regla 1/3 de Simpson es la siguiente: donde es el tamaño del paso para . ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle n=2}$

El error al aproximar una integral mediante la regla de Simpson para es donde (la letra griega xi ) es un número entre y . ^{[1] [2]} ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

El error es asintóticamente proporcional a . Sin embargo, las derivaciones anteriores sugieren un error proporcional a . La regla de Simpson gana un orden adicional porque los puntos en los que se evalúa el integrando se distribuyen simétricamente en el intervalo . ${\displaystyle (b-a)^{5}}$ ${\displaystyle (b-a)^{4}}$ ${\displaystyle [a,\ b]}$

Como el término de error es proporcional a la cuarta derivada de en , esto demuestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio de grado tres o menor, ya que la cuarta derivada de dicho polinomio es cero en todos los puntos. Otra forma de ver este resultado es observar que cualquier polinomio cúbico interpolador se puede expresar como la suma del único polinomio cuadrático interpolador más un polinomio cúbico de escala arbitraria que se anula en los tres puntos del intervalo, y la integral de este segundo término se anula porque es impar dentro del intervalo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$

Si la segunda derivada existe y es convexa en el intervalo , entonces ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle (a,\ b)}$ $${\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

Derivaciones

Interpolación cuadrática

Una derivación reemplaza el integrando por el polinomio cuadrático (es decir, la parábola) que toma los mismos valores que en los puntos finales y y el punto medio . Se puede usar la interpolación polinomial de Lagrange para encontrar una expresión para este polinomio. Usando la integración por sustitución , se puede demostrar que ^{[3] [2]} Introduciendo el tamaño del paso , esto también se escribe comúnmente como Debido al factor, la regla de Simpson también se conoce como "regla 1/3 de Simpson" (ver más abajo para la generalización). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m=(a+b)/2}$ $${\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$ ${\displaystyle h=(b-a)/2}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right].}$$ ${\displaystyle 1/3}$

Promedio del punto medio y reglas trapezoidales

Otra derivación construye la regla de Simpson a partir de dos aproximaciones más simples: la regla del punto medio y la regla trapezoidal. $${\displaystyle M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}(b-a){\big (}f(a)+f(b){\big )}.}$$

Los errores en estas aproximaciones son y respectivamente, donde denota un término asintóticamente proporcional a . Los dos términos no son iguales; consulte la notación Big O para obtener más detalles. De las fórmulas anteriores para los errores de la regla del punto medio y del trapezoide se deduce que el término de error principal se anula si tomamos el promedio ponderado . Este promedio ponderado es exactamente la regla de Simpson. $${\displaystyle {\frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$ ${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$ ${\displaystyle (b-a)^{4}}$ ${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$ ${\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}.}$

Utilizando otra aproximación (por ejemplo, la regla del trapezoide con el doble de puntos), es posible tomar un promedio ponderado adecuado y eliminar otro término de error. Este es el método de Romberg .

Coeficientes indeterminados

La tercera derivación parte del ansatz $${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}$$

Los coeficientes α , β y γ se pueden fijar exigiendo que esta aproximación sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Esto produce la regla de Simpson. (Esta derivación es esencialmente una versión menos rigurosa de la derivación de interpolación cuadrática, donde uno ahorra un esfuerzo de cálculo significativo al adivinar la forma funcional correcta).

Regla compuesta de Simpson 1/3

Si el intervalo de integración es en cierto sentido "pequeño", entonces la regla de Simpson con subintervalos proporcionará una aproximación adecuada a la integral exacta. Por "pequeño" queremos decir que la función que se está integrando es relativamente suave en el intervalo . Para una función de este tipo, un interpolador cuadrático suave como el que se utiliza en la regla de Simpson dará buenos resultados. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Sin embargo, a menudo ocurre que la función que estamos tratando de integrar no es suave en el intervalo. Normalmente, esto significa que la función es muy oscilatoria o carece de derivadas en ciertos puntos. En estos casos, la regla de Simpson puede dar resultados muy malos. Una forma común de manejar este problema es dividir el intervalo en pequeños subintervalos. Luego, la regla de Simpson se aplica a cada subintervalo y los resultados se suman para producir una aproximación de la integral en todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina regla de Simpson 1/3 compuesta o simplemente regla de Simpson compuesta . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n>2}$

Supongamos que el intervalo se divide en subintervalos, con un número par. Entonces, la regla de Simpson compuesta viene dada por ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dividiendo el intervalo en subintervalos de longitud e introduciendo los puntos para (en particular, y ), tenemos Esta regla compuesta se corresponde con la regla de Simpson regular de la sección anterior. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {1}{3}}h\sum _{i=1}^{n/2}{\big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h{\big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(x_{0})+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n=2}$

El error cometido por la regla compuesta de Simpson es donde es un número entre y , y es la "longitud del paso". ^{[4] [5]} El error está acotado (en valor absoluto) por $${\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ $${\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}$$

Esta formulación divide el intervalo en subintervalos de igual longitud. En la práctica, suele ser ventajoso utilizar subintervalos de diferentes longitudes y concentrar los esfuerzos en los lugares donde el integrando se comporta peor. Esto conduce al método adaptativo de Simpson . ${\displaystyle [a,b]}$

Regla 3/8 de Simpson

La regla 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson, es otro método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cúbica en lugar de una interpolación cuadrática. La regla 3/8 de Simpson es la siguiente: donde es el tamaño del paso. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle h=(b-a)/3}$

El error de este método es que hay un número entre y . Por lo tanto, la regla 3/8 es aproximadamente el doble de precisa que el método estándar, pero utiliza un valor de función más. También existe una regla 3/8 compuesta, similar a la anterior. ^[6] $${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Una generalización adicional de este concepto para la interpolación con polinomios de grado arbitrario son las fórmulas de Newton-Cotes .

Regla compuesta de Simpson 3/8

Dividiendo el intervalo en subintervalos de longitud e introduciendo los puntos para (en particular, y ), tenemos ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\sum _{i=1}^{n/3}{\big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h{\big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(x_{0})+3\sum _{i=1,\ 3\nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2\sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$

Si bien el resto de la regla se muestra como ^[6], solo podemos usarla si es un múltiplo de tres. La regla 1/3 se puede usar para los subintervalos restantes sin cambiar el orden del término de error (por el contrario, la regla 3/8 se puede usar con una regla 1/3 compuesta para subintervalos de número impar). ${\displaystyle -{\frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$ ${\displaystyle n}$

Regla de Simpson extendida alternativa

Esta es otra formulación de una regla de Simpson compuesta: en lugar de aplicar la regla de Simpson a segmentos disjuntos de la integral que se va a aproximar, la regla de Simpson se aplica a segmentos superpuestos, obteniéndose ^[7] $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h\left[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})\right].}$$

La fórmula anterior se obtiene combinando la regla compuesta de Simpson 1/3 con la que consiste en utilizar la regla de Simpson 3/8 en los subintervalos extremos y la regla de Simpson 1/3 en los subintervalos restantes. El resultado se obtiene entonces tomando la media de las dos fórmulas.

Reglas de Simpson en el caso de picos estrechos

En la tarea de estimación del área completa de funciones estrechas tipo pico, las reglas de Simpson son mucho menos eficientes que la regla trapezoidal . Es decir, la regla 1/3 de Simpson compuesta requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión que la regla trapezoidal. ^[8] La regla 3/8 de Simpson compuesta es incluso menos precisa. La integración por la regla 1/3 de Simpson se puede representar como un promedio ponderado con 2/3 del valor proveniente de la integración por la regla trapezoidal con paso h y 1/3 del valor proveniente de la integración por la regla del rectángulo con paso 2 h . La precisión está gobernada por el segundo término (paso 2 h ). El promedio de las sumas compuestas de la regla 1/3 de Simpson con marcos desplazados adecuadamente produce las siguientes reglas: donde se explotan dos puntos fuera de la región integrada, y donde solo se utilizan los puntos dentro de la región de integración. La aplicación de la segunda regla a la región de 3 puntos genera la regla 1/3 de Simpson, 4 puntos - regla 3/8. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})\right],}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})\right],}$$

Estas reglas son muy similares a la regla de Simpson extendida alternativa. Los coeficientes dentro de la mayor parte de la región que se está integrando son uno con coeficientes no unitarios solo en los bordes. Estas dos reglas se pueden asociar con la fórmula de Euler-MacLaurin con el primer término de derivada y se denominan Reglas de integración de Euler-MacLaurin de primer orden . ^[8] Las dos reglas presentadas anteriormente difieren solo en la forma en que se calcula la primera derivada en el extremo de la región. El primer término de la derivada en las reglas de integración de Euler-MacLaurin da cuenta de la integral de la segunda derivada, que es igual a la diferencia de las primeras derivadas en los bordes de la región de integración. Es posible generar reglas de Euler-Maclaurin de orden superior agregando una diferencia de derivadas 3.ª, 5.ª, y así sucesivamente con coeficientes, como se define en la fórmula de Euler-MacLaurin .

Regla de Simpson compuesta para datos espaciados irregularmente

Para algunas aplicaciones, el intervalo de integración debe dividirse en intervalos desiguales, tal vez debido a un muestreo desigual de los datos o a la falta o corrupción de puntos de datos. Supongamos que dividimos el intervalo en un número par de subintervalos de anchos . Entonces, la regla de Simpson compuesta viene dada por ^[9] donde son los valores de la función en el punto de muestreo n en el intervalo . ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_{k}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$ $${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$

En caso de un número impar de subintervalos ${\displaystyle N}$ , se utiliza la fórmula anterior hasta el segundo intervalo anterior, y el último intervalo se maneja por separado agregando lo siguiente al resultado: ^[10] donde $${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Fórmulas de Newton-Cotes
• Cuadratura gaussiana

Notas

1. Atkinson 1989, ecuación (5.1.15).
2. Süli y Mayers 2003, §7.2.
3. Atkinson 1989, pág. 256.
4. Atkinson 1989, págs. 257-258.
5. Süli y Mayers 2003, §7.5.
6. Matthews 2004.
7. Weisstein, Ecuación 35.
8. Kalambet, Kozmin y Samokhin 2018.
9. Shklov 1960.
10. Cartwright 2017, ecuación 8. La ecuación de Cartwright calcula el primer intervalo, mientras que las ecuaciones del artículo de Wikipedia ajustan la última integral. Si se realizan las sustituciones algebraicas adecuadas, la ecuación arroja los valores que se muestran.

Referencias

• Atkinson, Kendall E. (1989). Introducción al análisis numérico (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Análisis numérico (7.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• Cartwright, Kenneth V. (septiembre de 2017). "Integración acumulativa de la regla de Simpson con MS Excel y datos espaciados irregularmente" (PDF) . Revista de ciencias matemáticas y educación matemática . 12 (2): 1–9 . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .
• Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparación de reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos". Quimiometría y sistemas de laboratorio inteligentes . 179 : 22–30. doi :10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
• Matthews, John H. (2004). "Regla 3/8 de Simpson para la integración numérica". Proyecto de análisis numérico - Métodos numéricos . Universidad Estatal de California, Fullerton. Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2008. Consultado el 11 de noviembre de 2008 .
• Shklov, N. (diciembre de 1960). "Regla de Simpson para ordenadas desigualmente espaciadas". The American Mathematical Monthly . 67 (10): 1022–1023. doi :10.2307/2309244. JSTOR  2309244.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). Introducción al análisis numérico . Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de Newton-Cotes". MathWorld . Consultado el 14 de diciembre de 2022 .

Enlaces externos

• "Fórmula de Simpson". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "La regla de Simpson". MathWorld .
• Regla de integración de 1/3 de Simpson: notas, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple en Métodos numéricos para estudiantes de STEM
• Dorai Sitaram describe una implementación informática detallada en Teach Yourself Scheme en Fixnum Days , Apéndice C.

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