Subderivada

Generalización de derivadas a funciones de valores reales

Una función convexa (azul) y "líneas subtangentes" en (rojo). ${\displaystyle x_{0}}$

En matemáticas , las subderivadas (o subgradientes) generalizan la derivada a funciones convexas que no son necesariamente diferenciables . El conjunto de subderivadas en un punto se denomina subdiferencial en ese punto. ^[1] Las subderivadas surgen en el análisis convexo , el estudio de funciones convexas , a menudo en conexión con la optimización convexa .

Sea una función convexa de valor real definida en un intervalo abierto de la recta real. Una función de este tipo no necesita ser diferenciable en todos los puntos: por ejemplo, la función de valor absoluto no es diferenciable cuando . Sin embargo, como se ve en el gráfico de la derecha (donde en azul tiene puntos de inflexión no diferenciables similares a la función de valor absoluto), para cualquier punto del dominio de la función se puede trazar una recta que pase por el punto y que esté en todas partes tocando o por debajo del gráfico de f . La pendiente de dicha recta se llama subderivada . ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$

Definición

Rigurosamente, una subderivada de una función convexa en un punto del intervalo abierto es un número real tal que para todo . Por el inverso del teorema del valor medio , el conjunto de subderivadas en para una función convexa es un intervalo cerrado no vacío , donde y son los límites unilaterales El intervalo de todas las subderivadas se denomina subdiferencial de la función en , denotado por . Si es convexo, entonces su subdiferencial en cualquier punto no es vacío. Además, si su subdiferencial en contiene exactamente una subderivada, entonces es diferenciable en y . ^[2] ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$ $${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$

Ejemplo

Consideremos la función que es convexa. Entonces, el subdiferencial en el origen es el intervalo . El subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton , mientras que el subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton . Esto es similar a la función de signo , pero no es univaluada en , sino que incluye todas las subderivadas posibles. ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x_{0}<0}$ ${\displaystyle \{-1\}}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades

• Una función convexa es diferenciable en si y solo si el subdiferencial es un conjunto singleton, que es . ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{f'(x_{0})\}}$
• Un punto es un mínimo global de una función convexa si y solo si el subdiferencial contiene cero. Por ejemplo, en la figura anterior, se puede trazar una "línea subtangente" horizontal al gráfico de en . Esta última propiedad es una generalización del hecho de que la derivada de una función diferenciable en un mínimo local es cero. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$
• Si y son funciones convexas con subdiferenciales y siendo el punto interior de una de las funciones, entonces el subdiferencial de es (donde el operador de adición denota la suma de Minkowski ). Esto se lee como "el subdiferencial de una suma es la suma de los subdiferenciales". ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial f(x)}$ ${\displaystyle \partial g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$

El subgradiente

Los conceptos de subderivada y subdiferencial se pueden generalizar a funciones de varias variables. Si es una función convexa de valor real definida en un conjunto abierto convexo en el espacio euclidiano , un vector en ese espacio se llama subgradiente en si para cualquier uno tiene que ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),}$

donde el punto denota el producto escalar . El conjunto de todos los subgradientes en se denomina subdiferencial en y se denota . El subdiferencial es siempre un conjunto compacto convexo no vacío . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$

Estos conceptos se generalizan aún más a funciones convexas en un conjunto convexo en un espacio localmente convexo . Una función en el espacio dual se denomina subgradiente en si para todo , ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

El conjunto de todos los subgradientes en se denomina subdiferencial en y se denota nuevamente como . El subdiferencial es siempre un conjunto cerrado convexo . Puede ser un conjunto vacío; considere por ejemplo un operador ilimitado , que es convexo, pero no tiene subgradiente. Si es continuo, el subdiferencial no está vacío. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$

Historia

El subdiferencial sobre funciones convexas fue introducido por Jean Jacques Moreau y R. Tyrrell Rockafellar a principios de la década de 1960. El subdiferencial generalizado para funciones no convexas fue introducido por FH Clarke y RT Rockafellar a principios de la década de 1980. ^[4]

Véase también

• Derivada débil
• Método del subgradiente
• Derivada generalizada de Clarke

Referencias

1. Bubeck, S. (2014). Teoría de la optimización convexa para el aprendizaje automático. ArXiv, abs/1405.4980.
2. Rockafellar, RT (1970). Análisis convexo . Princeton University Press. pág. 242 [Teorema 25.1]. ISBN 0-691-08069-0.
3. Lemaréchal, Claude; Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (2001). Fundamentos del análisis convexo . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pag. 183.ISBN​ 978-3-642-56468-0.
4. Clarke, Frank H. (1983). Optimización y análisis no suave . Nueva York: John Wiley & Sons . págs. xiii+308. ISBN.  0-471-87504-X.Sr. 0709590  .

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo . Saltador. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1.Señor 1921556  .

Enlaces externos

• "Usos de lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h {\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}}". Stack Exchange . 18 de septiembre de 2011.