Cadena de Markov con salto reversible, método Monte Carlo

Método de simulación en estadística

En estadística computacional, el método Monte Carlo de cadena de Markov con salto reversible es una extensión de la metodología estándar de Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC), introducida por Peter Green , que permite la simulación (la creación de muestras ) de la distribución posterior en espacios de dimensiones variables . ^[1] Por lo tanto, la simulación es posible incluso si no se conoce el número de parámetros en el modelo . El "salto" se refiere al cambio de un espacio de parámetros a otro durante la ejecución de la cadena. El método RJMCMC es útil para comparar modelos de diferentes dimensiones para ver cuál se ajusta mejor a los datos. También es útil para las predicciones de nuevos puntos de datos, porque no necesitamos elegir y corregir un modelo, el método RJMCMC puede predecir directamente los nuevos valores para todos los modelos al mismo tiempo. Los modelos que se adaptan mejor a los datos se elegirán con mayor frecuencia que los peores.

Detalles sobre el proceso RJMCMC

Sea un indicador de modelo y el espacio de parámetros cuyo número de dimensiones depende del modelo . La indicación del modelo no necesita ser finita. La distribución estacionaria es la distribución posterior conjunta de que toma los valores . ${\displaystyle n_{m}\in N_{m}=\{1,2,\ldots ,I\}\,}$ ${\displaystyle M=\bigcup _{n_{m}=1}^{I}\mathbb {R} ^{d_{m}}}$ ${\displaystyle d_{m}}$ ${\displaystyle n_{m}}$ ${\displaystyle (M,N_{m})}$ ${\displaystyle (m,n_{m})}$

La propuesta se puede construir con una aplicación de y , donde se extrae de un componente aleatorio con densidad en . El movimiento al estado se puede formular así como ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle g_{1mm'}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{mm'}}}$ ${\displaystyle (m',n_{m}')}$

${\displaystyle (m',n_{m}')=(g_{1mm'}(m,u),n_{m}')\,}$

La función

${\displaystyle g_{mm'}:={\Bigg (}(m,u)\mapsto {\bigg (}(m',u')={\big (}g_{1mm'}(m,u),g_{2mm'}(m,u){\big )}{\bigg )}{\Bigg )}\,}$

debe ser uno a uno y diferenciable, y tener un soporte distinto de cero:

${\displaystyle \mathrm {supp} (g_{mm'})\neq \varnothing \,}$

de modo que existe una función inversa

${\displaystyle g_{mm'}^{-1}=g_{m'm}\,}$

que es diferenciable. Por lo tanto, y deben ser de igual dimensión, lo cual es el caso si el criterio de dimensión ${\displaystyle (m,u)}$ ${\displaystyle (m',u')}$

${\displaystyle d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}+d_{m'm}\,}$

se cumple donde es la dimensión de . Esto se conoce como coincidencia de dimensión . ${\displaystyle d_{mm'}}$ ${\displaystyle u}$

Si entonces la condición de coincidencia dimensional se puede reducir a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{m}}\subset \mathbb {R} ^{d_{m'}}}$

${\displaystyle d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}\,}$

con

${\displaystyle (m,u)=g_{m'm}(m).\,}$

La probabilidad de aceptación estará dada por

${\displaystyle a(m,m')=\min \left(1,{\frac {p_{m'm}p_{m'}f_{m'}(m')}{p_{mm'}q_{mm'}(m,u)p_{m}f_{m}(m)}}\left|\det \left({\frac {\partial g_{mm'}(m,u)}{\partial (m,u)}}\right)\right|\right),}$

donde denota el valor absoluto y es la probabilidad posterior conjunta ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle p_{m}f_{m}}$

${\displaystyle p_{m}f_{m}=c^{-1}p(y|m,n_{m})p(m|n_{m})p(n_{m}),\,}$

donde es la constante normalizadora. ${\displaystyle c}$

Paquetes de software

Hay una herramienta experimental RJ-MCMC disponible para el paquete BUGs de código abierto .

El sistema de programación probabilística Gen automatiza el cálculo de la probabilidad de aceptación de los núcleos MCMC de salto reversible definidos por el usuario como parte de su función Involution MCMC.

Referencias

1. Green, PJ (1995). "Computación de Monte Carlo con cadena de Markov de salto reversible y determinación de modelos bayesianos". Biometrika . 82 (4): 711–732. CiteSeerX  10.1.1.407.8942 . doi :10.1093/biomet/82.4.711. JSTOR  2337340. MR  1380810.