Teorema de Godunov

En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el teorema de Godunov , también conocido como teorema de la barrera de orden de Godunov , es un teorema matemático importante en el desarrollo de la teoría de esquemas de alta resolución para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales .

El teorema establece que:

Los esquemas numéricos lineales para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP), que tienen la propiedad de no generar nuevos extremos (esquema monótono), pueden tener una precisión de primer orden como máximo.

El profesor Sergei Godunov demostró originalmente el teorema cuando era estudiante de doctorado en la Universidad Estatal de Moscú . Se trata de su trabajo más influyente en el área de las matemáticas numéricas y aplicadas y ha tenido un gran impacto en la ciencia y la ingeniería, en particular en el desarrollo de métodos utilizados en dinámica de fluidos computacional (CFD) y otros campos computacionales. Una de sus principales contribuciones fue demostrar el teorema (Godunov, 1954; Godunov, 1959), que lleva su nombre.

El teorema

Generalmente seguimos a Wesseling (2001).

Aparte

Supongamos que se va a calcular un problema continuo descrito por una EDP utilizando un esquema numérico basado en una cuadrícula computacional uniforme y un algoritmo de integración de un paso, tamaño de paso constante y M puntos de cuadrícula, ya sea implícito o explícito. Entonces, si y , dicho esquema puede describirse mediante ${\displaystyle x_{j}=j\,\Delta x}$ ${\displaystyle t^{n}=n\,\Delta t}$

En otras palabras, la solución en el tiempo y la ubicación es una función lineal de la solución en el paso de tiempo anterior . Suponemos que determina de forma única. Ahora, dado que la ecuación anterior representa una relación lineal entre y podemos realizar una transformación lineal para obtener la siguiente forma equivalente, ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta _{m}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$

Teorema 1: Preservación de la monotonía

El esquema anterior de la ecuación (2) preserva la monotonía si y solo si

Prueba - Godunov (1959)

Caso 1: (condición suficiente)

Supongamos que se aplica (3) y que aumenta monótonamente con . ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ ${\displaystyle j}$

Entonces, porque de ello se sigue que, porque ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\leq \varphi _{j+1}^{n}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}\leq \varphi _{j+1}^{n+1}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n+1}}$

Esto significa que la monotonía se conserva para este caso.

Caso 2: (condición necesaria)

Demostramos la condición necesaria por contradicción. Supongamos que para algunos y elijamos los siguientes monótonamente crecientes , ${\displaystyle \gamma _{p}^{}<0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\,}$

Luego de la ecuación (2) obtenemos

Ahora elige , dar ${\displaystyle j=k-p}$

lo que implica que NO es creciente y tenemos una contradicción. Por lo tanto, la monotonía NO se conserva para , lo que completa la prueba. ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle \gamma _{p}<0}$

Teorema 2: Teorema de la barrera de orden de Godunov

Esquemas numéricos precisos de segundo orden lineales de un solo paso para la ecuación de convección

no puede preservar la monotonía a menos que

donde es el número de condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) firmado . ${\displaystyle \sigma }$

Prueba - Godunov (1959)

Supongamos un esquema numérico de la forma descrita por la ecuación (2) y elijamos

La solución exacta es

Si asumimos que el esquema tiene una precisión de al menos segundo orden, debería producir exactamente la siguiente solución

Sustituyendo en la ecuación (2) obtenemos:

Supongamos que el esquema preserva la monotonía, entonces, de acuerdo con el teorema 1 anterior, . ${\displaystyle \gamma _{m}\geq 0}$

Ahora bien, de la ecuación (15) se desprende claramente que

Supongamos y elijamos tal que . Esto implica que y . ${\displaystyle \sigma >0,\quad \sigma \notin \mathbb {N} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j>\sigma >\left(j-1\right)}$ ${\displaystyle \left({j-\sigma }\right)>0}$ ${\displaystyle \left({j-\sigma -1}\right)<0}$

De ello se deduce que,

lo que contradice la ecuación (16) y completa la prueba.

La situación excepcional en la que se da este caso es de interés únicamente teórico, ya que no se puede realizar con coeficientes variables. Además, los números enteros CFL mayores que la unidad no serían factibles para problemas prácticos. ${\displaystyle \sigma =\left|c\right|{{\Delta t} \over {\Delta x}}\in \mathbb {N} }$

Véase también

• Método de volumen finito
• Limitador de flujo
• Variación total decreciente

Referencias

• Godunov, Sergei K. (1954), Tesis doctoral: Diferentes métodos para ondas de choque , Universidad Estatal de Moscú.
• Godunov, Sergei K. (1959), Un esquema de diferencias para la solución numérica de soluciones discontinuas de ecuaciones hidrodinámicas, Mat. Sbornik, 47, 271-306 , traducido por US Joint Publ. Res. Service, JPRS 7226, 1969.
• Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 9783540678533.OCLC 44972030  .

Lectura adicional

• Hirsch, Ch (1990). Cálculo numérico de flujos internos y externos. Vol. 2. Chichester [Inglaterra]: Wiley. ISBN 0-471-91762-1.OCLC 16523972  .
• Laney, Culbert B. (1998). Dinámica computacional de gases. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-77720-2.OCLC 664017316  .
• Toro, Elewterio F. (2009). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos: una introducción práctica (3.ª ed.). Berlín. ISBN 978-3-540-25202-3.OCLC 391057413  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Anderson, Dale A.; Tannehill, John C.; Pletcher, Richard H.; Munipalli, Ramakanth; Shankar, Vijaya (2020). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (cuarta edición). Boca Raton, FL: Taylor & Francis. ISBN 978-1-351-12400-3.OCLC 1237821271  .