Suma de Kronecker de laplacianos discretos

En matemáticas, la suma de Kronecker de laplacianos discretos , llamada así en honor a Leopold Kronecker , es una versión discreta de la separación de variables para el laplaciano continuo en un dominio cuboide rectangular ^{[ ancla rota ] .}

Forma general de la suma de Kronecker de laplacianos discretos

En una situación general de separación de variables en el caso discreto, el Laplaciano discreto multidimensional es una suma de Kronecker de Laplacianos discretos 1D.

Ejemplo: Laplaciano discreto 2D en una cuadrícula regular con la condición de contorno homogénea de Dirichlet

Matemáticamente, utilizando la suma de Kronecker :

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

donde y son laplacianos discretos 1D en las direcciones x e y , correspondientemente, y son las identidades de tamaños apropiados. Tanto y deben corresponder al caso de la condición de contorno homogénea de Dirichlet en los puntos finales de los intervalos x e y , para generar el laplaciano discreto 2D L correspondiente a la condición de contorno homogénea de Dirichlet en todas partes en el límite del dominio rectangular. ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$

A continuación se muestra un ejemplo de código OCTAVE / MATLAB para calcular L en la cuadrícula 2D regular de 10 × 15:

nx = 10 ; % número de puntos de la cuadrícula en la dirección x; ny = 15 ; % número de puntos de la cuadrícula en la dirección y; ex = ones ( nx , 1 ); Dxx = spdiags ([ ex - 2 * ex ex ], [ - 1 0 1 ], nx , nx ); %1D laplaciano discreto en la dirección x ; ey = ones ( ny , 1 ); Dyy = spdiags ([ ey , - 2 * ey ey ], [ - 1 0 1 ], ny , ny ); %1D laplaciano discreto en la dirección y ; L = kron ( Dyy , speye ( nx )) + kron ( speye ( ny ), Dxx ) ;                                     

Valores propios y vectores propios de un laplaciano discreto multidimensional en una cuadrícula regular

Conociendo todos los valores y vectores propios de los factores, se pueden calcular explícitamente todos los valores y vectores propios del producto de Kronecker . En base a esto, también se pueden calcular explícitamente los valores y vectores propios de la suma de Kronecker .

Los valores y vectores propios de la aproximación estándar por diferencia central de la segunda derivada en un intervalo para combinaciones tradicionales de condiciones de contorno en los puntos finales del intervalo son bien conocidos . Combinando estas expresiones con las fórmulas de valores y vectores propios para la suma de Kronecker , se puede obtener fácilmente la respuesta requerida.

Ejemplo: Laplaciano discreto 3D en una cuadrícula regular con la condición de contorno homogénea de Dirichlet

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{zz}} ,\,}$

donde y son laplacianos discretos 1D en cada una de las 3 direcciones, y son las identidades de tamaños apropiados. Cada laplaciano discreto 1D debe corresponder al caso de la condición de contorno homogénea de Dirichlet , para generar el laplaciano discreto 3D L correspondiente a la condición de contorno homogénea de Dirichlet en todas partes del contorno. Los valores propios son ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} ,\,\mathbf {D_{yy}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{zz}} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \lambda _{jx,jy,jz}=-{\frac {4}{h_{x}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{x}}{2(n_{x}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{y}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{y}}{2(n_{y}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{z}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{z}}{2(n_{z}+1)}}\right)^{2}}$

donde , y los vectores propios correspondientes son ${\displaystyle j_{x}=1,\ldots ,n_{x},\,j_{y}=1,\ldots ,n_{y},\,j_{z}=1,\ldots ,n_{z},\,}$

${\displaystyle v_{ix,iy,iz,jx,jy,jz}={\sqrt {\frac {2}{n_{x}+1}}}\sin \left({\frac {i_{x}j_{x}\pi }{n_{x}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{y}+1}}}\sin \left({\frac {i_{y}j_{y}\pi }{n_{y}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{z}+1}}}\sin \left({\frac {i_{z}j_{z}\pi }{n_{z}+1}}\right)}$

donde el multiíndice empareja los valores propios y los vectores propios, mientras que el multiíndice determina la ubicación del valor de cada vector propio en la cuadrícula regular . Los puntos límite, donde se impone la condición de contorno homogénea de Dirichlet , están justo fuera de la cuadrícula. ${\displaystyle {jx,jy,jz}}$ ${\displaystyle {ix,iy,iz}}$

Software disponible

Un código OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d está disponible bajo una licencia BSD , que calcula la matriz dispersa de los laplacianos negativos 1D, 2D y 3D en una cuadrícula rectangular para combinaciones de condiciones de contorno periódicas, de Dirichlet y de Neumann utilizando sumas de Kronecker de laplacianos 1D discretos. El código también proporciona los valores propios y vectores propios exactos utilizando las fórmulas explícitas proporcionadas anteriormente.