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Método regularizado sin malla

En matemáticas numéricas, el método regularizado sin malla (RMM) , también conocido como método sin malla singular o método sin malla desingularizado , es un método de colocación en el borde sin malla diseñado para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales cuya solución fundamental se conoce explícitamente. El RMM es un método de colocación de forma fuerte con méritos por ser sin malla, libre de integración, fácil de implementar y alta estabilidad. Hasta ahora, este método se ha aplicado con éxito a algunos problemas típicos, como potencial, acústica, ondas de agua y problemas inversos de dominios acotados e ilimitados.

Descripción

El RMM emplea los potenciales de doble capa de la teoría de potenciales como sus funciones base/kernel. Al igual que el método de soluciones fundamentales (MFS), [1] [2] la solución numérica se aproxima mediante una combinación lineal de funciones kernel de doble capa con respecto a diferentes puntos de origen. Sin embargo, a diferencia del MFS, la colocación y los puntos de origen del RMM son coincidentes y se ubican en el límite físico sin la necesidad de un límite ficticio en el MFS. Por lo tanto, el RMM supera el principal cuello de botella en las aplicaciones de MFS a los problemas del mundo real.

En caso de coincidencia de los puntos de colocación y de origen, las funciones de núcleo de doble capa presentarán varios órdenes de singularidad. Por lo tanto, se introduce una técnica de regularización por sustracción y adición [3] que, por tanto, elimina o cancela dichas singularidades.

Historia y desarrollo reciente

En la actualidad, el método de elementos finitos (FEM), el método de diferencias finitas (FDM), el método de volúmenes finitos (FVM) y el método de elementos de contorno (BEM) son técnicas numéricas dominantes en los modelos numéricos de muchos campos de la ingeniería y las ciencias. La generación de mallas es un problema tedioso e incluso muy desafiante en su solución de problemas de contorno de formas complejas o en movimiento de alta dimensión y es computacionalmente costoso y, a menudo, matemáticamente problemático.

Desde hace tiempo se ha afirmado que el BEM alivia estos inconvenientes gracias a las discretizaciones de solo contornos y su naturaleza semianalítica. A pesar de estos méritos, el BEM, sin embargo, implica matemáticas bastante sofisticadas y algunas integrales singulares complicadas. Además, el mallado de superficies en un dominio tridimensional sigue siendo una tarea nada trivial. En las últimas décadas, se han dedicado esfuerzos considerables a aliviar o eliminar estas dificultades, lo que llevó al desarrollo de métodos de colocación de contornos sin malla/sin malla que no requieren ni mallado de dominios ni de contornos. Entre estos métodos, el MFS es el más popular por el mérito de su fácil programación, simplicidad matemática, alta precisión y convergencia rápida.

En el MFS, se requiere un límite ficticio fuera del dominio del problema para evitar la singularidad de la solución fundamental. Sin embargo, determinar la ubicación óptima del límite ficticio es una tarea no trivial que debe estudiarse. Desde entonces, se han realizado esfuerzos dramáticos para eliminar esta cuestión desconcertante. Los avances recientes incluyen, por ejemplo, el método de nudos de límite (BKM), [4] [5] el método sin malla regularizado (RMM), [3] el MFS modificado (MMFS), [6] y el método de límite singular (SBM) [7].

La metodología del RMM fue propuesta por primera vez por Young y sus colaboradores en 2005. La idea clave es introducir una técnica de regularización de resta y suma para eliminar la singularidad de la función kernel de doble capa en el origen, de modo que los puntos de origen se puedan colocar directamente en el límite real. Hasta ahora, el RMM se ha aplicado con éxito a una variedad de problemas físicos, como potencial [3] , acústica exterior [8] piezoelectricidad antiplanar [9] , problema propio acústico con dominio múltiplemente conectado [10] , problema inverso [11] , ecuación de possion [12] y problemas de ondas de agua [ 13] . Además, se han realizado algunas formulaciones mejoradas con el objetivo de mejorar aún más la viabilidad y la eficiencia de este método, véase, por ejemplo, el RMM ponderado para problemas de dominio irregular [14] y el RMM analítico para problemas de Laplace 2D [15] .

Véase también

Referencias

  1. ^ AKG Fairweather, El método de soluciones fundamentales para problemas de valores límite elípticos, Avances en Matemática Computacional . 9 (1998) 69–95.
  2. ^ MA Golberg, CS Chen, La teoría de funciones de base radiales aplicada al BEM para ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas, Boundary Elements Communications . 5 (1994) 57–61.
  3. ^ abc DL Young, KH Chen, CW Lee. Nuevo método sin malla para resolver problemas potenciales con dominios arbitrarios. Journal of Computational Physics 2005; 209(1): 290–321.
  4. ^ W. Chen y M. Tanaka, "Una técnica RBF sin malla, de convergencia exponencial, sin integración y solo con límites Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine ", Computers and Mathematics with Applications , 43, 379–391, 2002.
  5. ^ W. Chen y YC Hon, "Convergencia numérica del método de nudos de contorno en el análisis de problemas de Helmholtz, Helmholtz modificado y convección-difusión Archivado el 20 de junio de 2015 en Wayback Machine ", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 192, 1859–1875, 2003.
  6. ^ B. Sarler, "Solución de problemas de flujo potencial mediante el método modificado de soluciones fundamentales: formulaciones con soluciones fundamentales de capa única y de capa doble", Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
  7. ^ W. Chen, FZ Wang, "Un método de soluciones fundamentales sin límite ficticio Archivado el 6 de junio de 2015 en Wayback Machine ", Eng Anal Bound Elem 2010;34(5): 530–32.
  8. ^ DL Young, KH Chen, CW Lee. Método singular sin malla que utiliza potenciales de doble capa para acústica exterior. Journal of the Acoustical Society of America 2006;119(1):96–107.
  9. ^ KH Chen, JH Kao, JT Chen. Método regularizado sin malla para problemas de piezoelectricidad antiplanar con inclusiones múltiples. Computers, Materials, & Continua 2009;9(3):253–79.
  10. ^ KH Chen, JT Chen, JH Kao. Método regularizado sin malla para resolver problemas propios acústicos con dominios conexos múltiples. Modelado informático en ingeniería y ciencias 2006;16(1):27–39.
  11. ^ KH Chen, JH Kao, JT Chen, KL Wu. Método desingularizado sin malla para resolver la ecuación de Laplace con condiciones de contorno sobreespecificadas utilizando técnicas de regularización. Computational Mechanics 2009;43:827–37
  12. ^ W. Chen, J. Lin, FZ Wang, "Método regularizado sin malla para problemas no homogéneos Archivado el 6 de junio de 2015 en Wayback Machine ", Eng. Anal. Bound. Elem. 35 (2011) 253–257.
  13. ^ KH Chen, MC Lu, HM Hsu, Análisis del problema de la onda de agua incidente oblicuamente mediante un método regularizado sin malla, Eng. Anal. Bound. Elem . 35 (2011) 355–362.
  14. ^ RC Song, W. Chen, "Una investigación sobre el método regularizado sin malla para problemas de dominio irregular", CMES-Comput. Model. Eng. Sci . 42 (2009) 59–70.
  15. ^ W. Chen, RC Song, Elementos diagonales analíticos del método regularizado sin malla para dominios regulares de problemas de Laplace de Dirichlet 2D, Eng. Anal. Bound. Elem. 34 (2010) 2–8.