Fórmula de Euler-Maclaurin

Fórmula de suma

En matemáticas , la fórmula de Euler-Maclaurin es una fórmula para la diferencia entre una suma integral y una suma estrechamente relacionada . Se puede utilizar para aproximar integrales mediante sumas finitas o, a la inversa, para evaluar sumas finitas y series infinitas utilizando integrales y la maquinaria del cálculo . Por ejemplo, muchas expansiones asintóticas se derivan de la fórmula, y la fórmula de Faulhaber para la suma de potencias es una consecuencia inmediata.

La fórmula fue descubierta de forma independiente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin alrededor de 1735. Euler la necesitaba para calcular series infinitas que convergen lentamente, mientras que Maclaurin la usaba para calcular integrales. Posteriormente se generalizó a la fórmula de Darboux .

La formula

Si m y n son números naturales y f ( x ) es una función continua de valor real o complejo para números reales x en el intervalo [ m , n ] , entonces la integral

$${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$$

$${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$$

método del rectánguloLa fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresiones para la diferencia entrederivadas superiores f ^{( k )} ( x )x = my xn

Explícitamente, para p un entero positivo y una función f ( x ) que es p veces continuamente diferenciable en el intervalo [ m , n ] , tenemos

$${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}$$

B _kkésimoBernoulliB ₁ =1/2R _ptérmino de errornmpfp

La fórmula a menudo se escribe con el subíndice tomando solo valores pares, ya que los números impares de Bernoulli son cero excepto B ₁ . En este caso tenemos ^{[1] [2]}

$${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}$$

$${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.}$$

El término restante

El término restante surge porque la integral generalmente no es exactamente igual a la suma. La fórmula se puede derivar aplicando integración repetida por partes a intervalos sucesivos [ r , r + 1] para r = m , m + 1,…, n − 1 . Los términos de frontera en estas integraciones conducen a los términos principales de la fórmula y las integrales sobrantes forman el término restante.

El término restante tiene una expresión exacta en términos de las funciones periodizadas de Bernoulli P _k ( x ) . Los polinomios de Bernoulli pueden definirse recursivamente como B ₀ ( x ) = 1 y, para k ≥ 1 ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$

⌊ x ⌋xx − ⌊ x ⌋[0,1)

Con esta notación, el término restante R _p es igual

$${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

Cuando k > 0 , se puede demostrar que

$${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$

ζfunción zeta de RiemannB _k ( x )kxζ ( k )k^[3]

$${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

Casos de bajo orden

Los números de Bernoulli de B ₁ a B ₇ son1/2,1/6, 0, -1/30, 0,1/42, 0 . Por tanto, los casos de orden inferior de la fórmula de Euler-Maclaurin son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar la suma

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Euler calculó esta suma con 20 decimales con sólo unos pocos términos de la fórmula de Euler-Maclaurin en 1735. Esto probablemente lo convenció de que la suma es igualπ ²/6, que demostró ese mismo año. ^[4]

Sumas que involucran un polinomio

Si f es un polinomio y p es lo suficientemente grande, entonces el término restante desaparece. Por ejemplo, si f ( x ) = x ³ , podemos elegir p = 2 para obtener, después de la simplificación,

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

Aproximación de integrales

La fórmula proporciona un medio para aproximar una integral finita. Sean a < b los puntos finales del intervalo de integración. Fije N , el número de puntos a utilizar en la aproximación, y denote el tamaño de paso correspondiente como h =segundo - un/norte -1. Establezca x _i = a + ( i − 1) h , de modo que x ₁ = a y x _N = b . Entonces: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

Esto puede verse como una extensión de la regla del trapezoide mediante la inclusión de términos de corrección. Tenga en cuenta que esta expansión asintótica no suele ser convergente; hay algo de p , que depende de f y h , tal que los términos de orden pasado p aumentan rápidamente. Por lo tanto, el término restante generalmente exige mucha atención. ^[5]

La fórmula de Euler-Maclaurin también se utiliza para análisis de errores detallados en cuadratura numérica . Explica el desempeño superior de la regla trapezoidal en funciones periódicas suaves y se utiliza en ciertos métodos de extrapolación . La cuadratura de Clenshaw-Curtis es esencialmente un cambio de variables para generar una integral arbitraria en términos de integrales de funciones periódicas donde el enfoque de Euler-Maclaurin es muy preciso (en ese caso particular, la fórmula de Euler-Maclaurin toma la forma de una transformada de coseno discreta ) . Esta técnica se conoce como transformación de periodización.

Expansión asintótica de sumas

En el contexto del cálculo de expansiones asintóticas de sumas y series , normalmente la forma más útil de la fórmula de Euler-Maclaurin es

$${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

donde a y b son números enteros. ^[6] A menudo, la expansión sigue siendo válida incluso después de tomar los límites a → −∞ o b → +∞ o ambos. En muchos casos, la integral del lado derecho se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales , aunque la suma del lado izquierdo no puede hacerlo. Entonces todos los términos de la serie asintótica se pueden expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo,

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

Aquí el lado izquierdo es igual a ψ ⁽¹⁾ ( z ) , es decir, la función poligamma de primer orden definida por

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z);}$

¡ la función gamma Γ( z ) es igual a ( z − 1)! cuando z es un número entero positivo . Esto da como resultado una expansión asintótica para ψ ⁽¹⁾ ( z ) . Esa expansión, a su vez, sirve como punto de partida para una de las derivaciones de estimaciones precisas del error para la aproximación de Stirling de la función factorial .

Ejemplos

Si s es un número entero mayor que 1 tenemos:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$$

Reuniendo las constantes en un valor de la función zeta de Riemann , podemos escribir una expansión asintótica:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$$

Para s igual a 2 esto se simplifica a

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$$

Cuando s = 1 , la técnica correspondiente da una expansión asintótica para los números armónicos :

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$$

γ ≈ 0,5772...constante de Euler-Mascheroni

Pruebas

Derivación por inducción matemática

Esbozamos el argumento dado en Apostol. ^[1]

Los polinomios de Bernoulli B _n ( x ) y las funciones periódicas de Bernoulli P _n ( x ) para n = 0, 1, 2, ... se introdujeron anteriormente.

Los primeros polinomios de Bernoulli son

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los valores B _n (1) son los números de Bernoulli B _n . Observe que para n ≠ 1 tenemos

$${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$

n = 1

$${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

Las funciones P _n concuerdan con los polinomios de Bernoulli en el intervalo [0, 1] y son periódicas con el período 1. Además, excepto cuando n = 1 , también son continuas. De este modo,

$${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

Sea k un número entero y considere la integral

$${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

Integrando por partes obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Usando B ₁ (0) = −1/2, segundo ₁ (1) =1/2, y sumando lo anterior de k = 0 a k = n − 1 , obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Añadiendof ( norte ) − f (0)/2a ambos lados y reordenando, tenemos

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

Este es el caso p = 1 de la fórmula de suma. Para continuar con la inducción, aplicamos la integración por partes al término de error:

$${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

El resultado de integrar por partes es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Sumando de k = 0 a k = n − 1 y sustituyendo esto por el término de error de orden inferior da como resultado el caso p = 2 de la fórmula,

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

Este proceso se puede repetir. De esta manera obtenemos una prueba de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin que puede formalizarse mediante inducción matemática , en la que el paso de inducción se basa en la integración por partes y en identidades para funciones periódicas de Bernoulli.

Ver también

• Suma Cesàro
• suma de euler
• Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod
• La fórmula de Darboux.
• Suma de Euler-Boole

Referencias

1. Apostol, TM (1 de mayo de 1999). "Una visión elemental de la fórmula de suma de Euler". El Mensual Matemático Estadounidense . Asociación Matemática de América. 106 (5): 409–418. doi :10.2307/2589145. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589145.
2. "Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas: Sumas y Secuencias". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología .
3. Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". El Mensual Matemático Estadounidense . 47 (8): 533–538. doi :10.2307/2303833. JSTOR  2303833.
4. Pengelley, David J. (2007). "Danzas entre continuo y discreto: fórmula de suma de Euler". Euler a 300 . Espectro MAA. Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 169–189. arXiv : 1912.03527 . SEÑOR  2349549.
5. Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). Un primer curso de física computacional (2ª ed.). Editores Jones y Bartlett. pag. 156.
6. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover . págs.16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0.

Otras lecturas

• Gould, HW; Escudero, William (1963). "La segunda fórmula de Maclaurin y su generalización". América. Matemáticas. Mensual . 70 (1): 44–52. doi :10.2307/2312783. JSTOR  2312783. SEÑOR  0146551.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2002). "Introducción a los números de Bernoulli".
• Martensen, Erich (2005). "Sobre la fórmula generalizada de Euler-Maclaurin". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 85 (12): 858–863. Código Bib : 2005ZaMM...85..858M. doi :10.1002/zamm.200410217. SEÑOR  2184846. S2CID  123419717.
• Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97, págs. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de integración Euler-Maclaurin". MundoMatemático .