En análisis matemático , la fórmula de Darboux es una fórmula introducida por Gaston Darboux (1876) para sumar series infinitas mediante el uso de integrales o evaluar integrales utilizando series infinitas. Es una generalización al plano complejo de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin , que se utiliza para propósitos similares y se deriva de manera similar (mediante integración repetida por partes de una elección particular de integrando ). La fórmula de Darboux también se puede utilizar para derivar la serie de Taylor a partir del cálculo [ cita necesaria ] [ dudoso - discutir ] .
Si φ ( t ) es un polinomio de grado n y f una función analítica entonces
La fórmula se puede demostrar mediante integración repetida por partes .
Tomando φ como un polinomio de Bernoulli en la fórmula de Darboux se obtiene la fórmula de suma de Euler-Maclaurin . Tomando φ como ( t − 1) n se obtiene la fórmula para una serie de Taylor .
![{\displaystyle {\begin{alineado}&\sum _ {m=0}^{n}(-1)^{m}(za)^{m}\left[\varphi ^{(nm)}(1 )f^{(m)}(z)-\varphi ^{(nm)}(0)f^{(m)}(a)\right]\\={}&(-1)^{n} (za)^{n+1}\int _{0}^{1}\varphi (t)f^{(n+1)}\left[a+t(za)\right]\,dt.\ fin {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04ed7553d043805c21d03f660dc6425c34886c)