Secuencia polinomial
polinomios de Bernoulli En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , llamados así en honor a Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para la expansión en serie de funciones y con la fórmula de Euler-MacLaurin .
Estos polinomios aparecen en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz . Son una secuencia de Appell (es decir, una secuencia de Sheffer para el operador derivativo ordinario ). Para los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado . En el límite de gran grado, se acercan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .
Un conjunto similar de polinomios, basado en una función generadora, es la familia de polinomios de Euler .
Representaciones Los polinomios de Bernoulli B n se pueden definir mediante una función generadora . También admiten una variedad de representaciones derivadas.
Funciones generadoras La función generadora de los polinomios de Bernoulli es
t mi X t mi t − 1 = ∑ norte = 0 ∞ B norte ( X ) t norte norte ! . {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.} 2 mi X t mi t + 1 = ∑ norte = 0 ∞ mi norte ( X ) t norte norte ! . {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.} Fórmula explícita
B norte ( X ) = ∑ k = 0 norte ( norte k ) B norte − k X k , {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _ {k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k},} mi metro ( X ) = ∑ k = 0 metro ( metro k ) mi k 2 k ( X − 1 2 ) metro − k . {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x -{\tfrac {1}{2}}\right)^{mk}.} n Bk números de Bernoulli y son números de Euler Representación por un operador diferencial Los polinomios de Bernoulli también están dados por
B norte ( X ) = D mi D − 1 X norte {\displaystyle B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n}} D d dx x serie de potencias formal ∫ a X B norte ( tu ) d tu = B norte + 1 ( X ) − B norte + 1 ( a ) norte + 1 . {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)\,du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n +1}}.} mi norte ( X ) = 2 mi D + 1 X norte . {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.} Representación por un operador integral Los polinomios de Bernoulli son también los polinomios únicos determinados por
∫ X X + 1 B norte ( tu ) d tu = X norte . {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.} La transformada integral
( t F ) ( X ) = ∫ X X + 1 F ( tu ) d tu {\displaystyle (Tf)(x)=\int _ {x}^{x+1}f(u)\,du} f ( t F ) ( X ) = mi D − 1 D F ( X ) = ∑ norte = 0 ∞ D norte ( norte + 1 ) ! F ( X ) = F ( X ) + F ′ ( X ) 2 + F ″ ( X ) 6 + F ‴ ( X ) 24 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{ D^{n} \sobre (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \sobre 2}+{f''(x) \sobre 6 }+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}} Recurrencia integral En [1] [2] se deduce y demuestra que los polinomios de Bernoulli se pueden obtener mediante la siguiente recurrencia integral
B metro ( X ) = metro ∫ 0 X B metro − 1 ( t ) d t − metro ∫ 0 1 ∫ 0 t B metro − 1 ( s ) d s d t . {\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{ 0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.} Otra fórmula explícita Una fórmula explícita para los polinomios de Bernoulli viene dada por
B norte ( X ) = ∑ k = 0 norte [ 1 k + 1 ∑ ℓ = 0 k ( − 1 ) ℓ ( k ℓ ) ( X + ℓ ) norte ] . {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^ {k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.} Esto es similar a la expresión en serie de la función zeta de Hurwitz en el plano complejo. De hecho, existe la relación
B norte ( X ) = − norte ζ ( 1 − norte , X ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)} función zeta de Hurwitz de n . ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,\,q)} La suma interna puede entenderse como la enésima diferencia directa de es decir, X metro , {\displaystyle x^{m},}
Δ norte X metro = ∑ k = 0 norte ( − 1 ) norte − k ( norte k ) ( X + k ) metro {\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{n \choose k}(x+k)^{m} } operador de diferencia directa Δ {\displaystyle \Delta} B norte ( X ) = ∑ k = 0 norte ( − 1 ) k k + 1 Δ k X norte . {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^ {norte}.} Esta fórmula puede derivarse de una identidad que aparece arriba como sigue. Dado que el operador de diferencia directa Δ es igual
Δ = mi D − 1 {\displaystyle \Delta =e^{D}-1} D x serie de Mercator D mi D − 1 = registro ( Δ + 1 ) Δ = ∑ norte = 0 ∞ ( − Δ ) norte norte + 1 . {\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\ infinito }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.} Siempre que esto opere en un polinomio de grado m , como uno, se puede dejar que n vaya desde 0 solo hasta m . X metro , {\displaystyle x^{m},}
Una representación integral de los polinomios de Bernoulli viene dada por la integral de Nörlund-Rice , que se deriva de la expresión como una diferencia finita.
Una fórmula explícita para los polinomios de Euler viene dada por
mi norte ( X ) = ∑ k = 0 norte [ 1 2 k ∑ ℓ = 0 norte ( − 1 ) ℓ ( k ℓ ) ( X + ℓ ) norte ] . {\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^ {n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].} Lo anterior se sigue de manera análoga, utilizando el hecho de que
2 mi D + 1 = 1 1 + 1 2 Δ = ∑ norte = 0 ∞ ( − 1 2 Δ ) norte . {\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n= 0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.} Sumas de potencias p -ésimas Usando la representación integral anterior de o la identidad , tenemos X norte {\displaystyle x^{n}} B norte ( X + 1 ) − B norte ( X ) = norte X norte − 1 {\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}
∑ k = 0 X k pag = ∫ 0 X + 1 B pag ( t ) d t = B pag + 1 ( X + 1 ) − B pag + 1 pag + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{ p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}} 0 Los números de Bernoulli y Euler Los números de Bernoulli están dados por B norte = B norte ( 0 ) . {\textstyle B_ {n} = B_ {n} (0).}
Esta definición da para ζ ( − norte ) = ( − 1 ) norte norte + 1 B norte + 1 {\textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}} norte = 0 , 1 , 2 , … . {\textstyle n=0,\,1,\,2,\,\ldots .}
Una convención alternativa define los números de Bernoulli como B norte = B norte ( 1 ) . {\textstyle B_ {n} = B_ {n} (1).}
Las dos convenciones difieren sólo cuando desde norte = 1 , {\displaystyle n=1,} B 1 ( 1 ) = − B 1 ( 0 ) = 1 2 . {\displaystyle B_{1}(1)=-B_{1}(0)={\tfrac {1}{2}}.}
Los números de Euler están dados por mi norte = 2 norte mi norte ( 1 2 ) . {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}
Expresiones explícitas para grados bajos. Los primeros polinomios de Bernoulli son:
B 0 ( X ) = 1 , B 4 ( X ) = X 4 − 2 X 3 + X 2 − 1 30 , B 1 ( X ) = X − 1 2 , B 5 ( X ) = X 5 − 5 2 X 4 + 5 3 X 3 − 1 6 X , B 2 ( X ) = X 2 − X + 1 6 , B 6 ( X ) = X 6 − 3 X 5 + 5 2 X 4 − 1 2 X 2 + 1 42 , B 3 ( X ) = X 3 − 3 2 X 2 + 1 2 X | , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}} Los primeros polinomios de Euler son:
E 0 ( x ) = 1 , E 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x , E 1 ( x ) = x − 1 2 , E 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 2 x 2 − 1 2 , E 2 ( x ) = x 2 − x , E 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x , E 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 4 , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}} Máximo y mínimo A mayor n, la cantidad de variación entre y aumenta. Por ejemplo, pero Lehmer (1940) [3] demostró que el valor máximo ( M n ) de entre 0 y 1 obedece B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} x = 1 {\displaystyle x=1} B 16 ( 0 ) = B 16 ( 1 ) = {\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}} − 3617 510 ≈ − 7.09 , {\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,} B 16 ( 1 2 ) = {\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}} 118518239 3342336 ≈ 7.09. {\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.} B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)}
M n < 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}} n 2 módulo 4 , M n = 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}} función zeta de Riemann m n ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} m n > − 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}} n = 0 módulo 4 , m n = − 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n . {\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.} Estos límites están bastante cerca del máximo y mínimo reales, y Lehmer también ofrece límites más precisos.
Diferencias y derivadas Los polinomios de Bernoulli y Euler obedecen a muchas relaciones del cálculo umbral :
Δ B n ( x ) = B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 , Δ E n ( x ) = E n ( x + 1 ) − E n ( x ) = 2 ( x n − E n ( x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}} Δ operador de diferencia directa E n ( x + 1 ) + E n ( x ) = 2 x n . {\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.} secuencias polinómicas secuencias de Appell B n ′ ( x ) = n B n − 1 ( x ) , E n ′ ( x ) = n E n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}} Traducciones
B n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B k ( x ) y n − k E n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k ( x ) y n − k {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}} secuencias de Appell Los polinomios de Hermite Simetrías
B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) , n ≥ 0 , E n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n E n ( x ) ( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 ( − 1 ) n E n ( − x ) = − E n ( x ) + 2 x n B n ( 1 2 ) = ( 1 2 n − 1 − 1 ) B n , n ≥ 0 from the multiplication theorems below. {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}} Zhi-Wei Sun [4] r + s + t = n x + y + z = 1 r [ s , t ; x , y ] n + s [ t , r ; y , z ] n + t [ r , s ; z , x ] n = 0 , {\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,} [ s , t ; x , y ] n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( s k ) ( t n − k ) B n − k ( x ) B k ( y ) . {\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).} series de Fourier La serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli también es una serie de Dirichlet , dada por la expansión
B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.} de n Este es un caso especial de la forma análoga de la función zeta de Hurwitz.
B n ( x ) = − Γ ( n + 1 ) ∑ k = 1 ∞ exp ( 2 π i k x ) + e i π n exp ( 2 π i k ( 1 − x ) ) ( 2 π i k ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.} Esta expansión es válida sólo para 0 ≤ x ≤ 1 cuando n ≥ 2 y es válida para 0 < x < 1 cuando n = 1 .
También se puede calcular la serie de Fourier de los polinomios de Euler. Definiendo las funciones
C ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ cos ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν S ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}} ν > 1 {\displaystyle \nu >1} C 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n E 2 n − 1 ( x ) S 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! π 2 n + 1 E 2 n ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}} C ν {\displaystyle C_{\nu }} S ν {\displaystyle S_{\nu }} C ν ( x ) = − C ν ( 1 − x ) S ν ( x ) = S ν ( 1 − x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}} Están relacionados con la función chi de Legendre como χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }}
C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}} inversión Los polinomios de Bernoulli y Euler se pueden invertir para expresar el monomio en términos de polinomios.
Específicamente, evidentemente de la sección anterior sobre operadores integrales, se deduce que
x n = 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( n + 1 k ) B k ( x ) {\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)} x n = E n ( x ) + 1 2 ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) E k ( x ) . {\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).} Relación con la caída del factorial Los polinomios de Bernoulli se pueden expandir en términos del factorial descendente como ( x ) k {\displaystyle (x)_{k}}
B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } ( x ) k + 1 {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}} B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)} { n k } = S ( n , k ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)} número de Stirling de segunda especie ( x ) n + 1 = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)} [ n k ] = s ( n , k ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)} número de Stirling de primera especie Teoremas de multiplicación Los teoremas de la multiplicación fueron propuestos por Joseph Ludwig Raabe en 1851:
Para un número natural m ≥1 ,
B n ( m x ) = m n − 1 ∑ k = 0 m − 1 B n ( x + k m ) {\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}} E n ( m x ) = m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k E n ( x + k m ) for odd m E n ( m x ) = − 2 n + 1 m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k B n + 1 ( x + k m ) for even m {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}} Integrales Dos integrales definidas que relacionan los polinomios de Bernoulli y Euler con los números de Bernoulli y Euler son: [5]
∫ 0 1 B n ( t ) B m ( t ) d t = ( − 1 ) n − 1 m ! n ! ( m + n ) ! B n + m for m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1} ∫ 0 1 E n ( t ) E m ( t ) d t = ( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m ! n ! ( m + n + 2 ) ! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}} Otra fórmula integral establece [6]
∫ 0 1 E n ( x + y ) log ( tan π 2 x ) d x = n ! ∑ k = 1 ⌊ n + 1 2 ⌋ ( − 1 ) k − 1 π 2 k ( 2 − 2 − 2 k ) ζ ( 2 k + 1 ) y n + 1 − 2 k ( n + 1 − 2 k ) ! {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}} con el caso especial de y = 0 {\displaystyle y=0}
∫ 0 1 E 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n ( 2 − 2 − 2 n ) ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 π 2 n 2 2 n − 2 ( 2 n − 1 ) ! ∑ k = 1 n ( 2 2 k + 1 − 1 ) ζ ( 2 k + 1 ) ζ ( 2 n − 2 k ) {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)} ∫ 0 1 E 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ∫ 0 1 B 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) cot ( π x ) d x = 2 ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 ( 2 π ) 2 n − 1 ζ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)} Polinomios periódicos de Bernoulli Un polinomio periódico de Bernoulli P n ( x ) es un polinomio de Bernoulli evaluado en la parte fraccionaria del argumento x . Estas funciones se utilizan para proporcionar el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin que relaciona sumas con integrales. El primer polinomio es una función en diente de sierra .
Estrictamente, estas funciones no son polinomios en absoluto y, más propiamente, deberían denominarse funciones periódicas de Bernoulli, y P 0 ( x ) ni siquiera es una función, siendo la derivada de un diente de sierra y, por tanto, de un peine de Dirac .
Son de interés las siguientes propiedades, válidas para todos : x {\displaystyle x}
P k ( x ) {\displaystyle P_{k}(x)} es continuo para todos k > 1 {\displaystyle k>1} P k ′ ( x ) {\displaystyle P_{k}'(x)} existe y es continuo durante k > 2 {\displaystyle k>2} P k ′ ( x ) = k P k − 1 ( x ) {\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)} para k > 2 {\displaystyle k>2} Ver también Referencias ^ Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repositorio.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174 ^ Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Secuencias de Appell y Sheffer: sobre sus caracterizaciones a través de funcionales y ejemplos. Cuentas Rendus. Mathématique, Tomo 359 (2021) no. 2, págs. 205-217. doi: 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/ ^ Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". Mensual Matemático Estadounidense . 47 : 533–538.^ Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). "Identidades relativas a los polinomios de Bernoulli y Euler". Acta Aritmética . 125 (1): 21–39. arXiv : matemáticas/0409035 . Código Bib : 2006AcAri.125...21S. doi :10.4064/aa125-1-3. S2CID 10841415. ^ Takashi Agoh y Karl Dilcher (2011). "Integrales de productos de polinomios de Bernoulli". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 381 : 10-16. doi : 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 . ^ Elaissaoui, Lahoucine y Guennoun, Zine El Abidine (2017). "Evaluación de integrales log-tangentes por series que involucran ζ (2n + 1)". Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 28 (6): 460–475. arXiv : 1611.01274 . doi :10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID 119132354. Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas , (1972) Dover, Nueva York. (Ver Capítulo 23) Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , SEÑOR 0434929, Zbl 0335.10001 (Ver capítulo 12.11) Dilcher, K. (2010), "Bernoulli and Euler Polynomials", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , señor 2723248 .Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Nuevas fórmulas para los polinomios de Bernoulli y Euler en argumentos racionales". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 123 (5): 1527-1535. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR 2161144. Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas de la trascendente de Lerch". El diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Revisa la relación con la función zeta de Hurwitz y la trascendente de Lerch). Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6 .enlaces externos Una lista de identidades integrales que involucran polinomios de Bernoulli del NIST