Johann Carl Friedrich Gauss (alemán: Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ;[2][3] Latín:Carolus Fridericus Gauss; 30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855) fue unmatemático,astrónomo,geodesistayfísicoque contribuyó a muchos campos de las matemáticas y la ciencia. Fue director delObservatorio de Gotingay profesor de astronomía desde 1807 hasta su muerte en 1855. Es ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos.
Mientras estudiaba en la Universidad de Göttingen , propuso varios teoremas matemáticos . Gauss completó sus obras maestras Disquisitiones Arithmeticae y Theoria motus corporum coelestium como erudito privado. Dio la segunda y tercera pruebas completas del teorema fundamental del álgebra , realizó contribuciones a la teoría de números y desarrolló las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias.
Gauss fue decisivo en la identificación de Ceres como un planeta enano. Su trabajo sobre el movimiento de planetoides perturbados por planetas grandes condujo a la introducción de la constante gravitacional de Gauss y el método de mínimos cuadrados , que había descubierto antes de que Adrien-Marie Legendre lo publicara. Gauss estuvo a cargo del extenso estudio geodésico del Reino de Hannover junto con un proyecto de medición de arcos desde 1820 hasta 1844; fue uno de los fundadores de la geofísica y formuló los principios fundamentales del magnetismo . Frutos de su trabajo práctico fueron las invenciones del heliotropo en 1821, un magnetómetro en 1833 y, junto con Wilhelm Eduard Weber , el primer telégrafo electromagnético en 1833.
Gauss fue el primero en descubrir y estudiar la geometría no euclidiana , acuñando también el término. Desarrolló además una transformada rápida de Fourier unos 160 años antes que John Tukey y James Cooley .
Gauss se negó a publicar trabajos incompletos y dejó varias obras para que se editaran póstumamente . Creía que el acto de aprender, no la posesión de conocimientos, proporcionaba el mayor disfrute. Gauss confesó que no le gustaba enseñar, pero algunos de sus estudiantes se convirtieron en matemáticos influyentes, como Richard Dedekind y Bernhard Riemann .
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Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, en el ducado de Brunswick-Wolfenbüttel (actualmente en el estado alemán de Baja Sajonia ). Su familia era de un estatus social relativamente bajo. [4] Su padre, Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808), trabajó como carnicero, albañil, jardinero y tesorero de un fondo de beneficios por muerte. Gauss describió a su padre como honorable y respetado, pero rudo y dominante en casa. Tenía experiencia en escritura y cálculo, mientras que su segunda esposa, Dorothea, la madre de Carl Friedrich, era casi analfabeta. [5] Tenía un hermano mayor del primer matrimonio de su padre. [6]
Gauss fue un niño prodigio en matemáticas. Cuando los maestros de primaria notaron sus habilidades intelectuales, llamaron la atención sobre él al duque de Brunswick , quien lo envió al Collegium Carolinum local , al que asistió de 1792 a 1795 con Eberhard August Wilhelm von Zimmermann como uno de sus profesores. [8] [9] [10] A partir de entonces, el duque le concedió los recursos para los estudios de matemáticas, ciencias y lenguas clásicas en la Universidad de Gotinga hasta 1798. [11] Su profesor de matemáticas fue Abraham Gotthelf Kästner , a quien Gauss llamó "el matemático líder entre los poetas, y el poeta líder entre los matemáticos" debido a sus epigramas . [12] [b] La astronomía fue enseñada por Karl Felix Seyffer , con quien Gauss mantuvo correspondencia después de la graduación; [13] Olbers y Gauss se burlaron de él en su correspondencia. [14] Por otra parte, tenía en alta estima a Georg Christoph Lichtenberg , su profesor de física, y a Christian Gottlob Heyne , a cuyas clases sobre clásicos Gauss asistía con placer. [13] Sus compañeros de estudios de esta época fueron Johann Friedrich Benzenberg , Farkas Bolyai y Heinrich Wilhelm Brandes . [13]
Es probable que Gauss fuera un estudiante autodidacta de matemáticas, ya que redescubrió de forma independiente varios teoremas. [10] Resolvió un problema geométrico que había ocupado a los matemáticos desde los antiguos griegos , cuando determinó en 1796 qué polígonos regulares se pueden construir con compás y regla . Este descubrimiento finalmente llevó a Gauss a elegir las matemáticas en lugar de la filología como carrera. [15] El diario matemático de Gauss, una colección de breves comentarios sobre sus resultados desde los años 1796 hasta 1814, muestra que muchas ideas para su obra magna matemática Disquisitiones Arithmeticae (1801) datan de esta época. [16]
Gauss se graduó como Doctor en Filosofía en 1799, no en Gotinga, como a veces se afirma, [c] [17] sino a petición especial del duque de Brunswick de la Universidad de Helmstedt, la única universidad estatal del ducado. Johann Friedrich Pfaff evaluó su tesis doctoral y Gauss obtuvo el título en ausencia sin más examen oral. [10] El duque le concedió entonces el coste de la vida como académico privado en Brunswick. Posteriormente, Gauss rechazó las convocatorias de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo y la Universidad de Landshut . [18] [19] Más tarde, el duque le prometió la fundación de un observatorio en Brunswick en 1804. El arquitecto Peter Joseph Krahe hizo diseños preliminares, pero una de las guerras de Napoleón canceló esos planes: [20] el duque murió en la batalla de Jena en 1806. El ducado fue abolido al año siguiente y el apoyo financiero de Gauss cesó.
Cuando Gauss calculaba las órbitas de los asteroides en los primeros años del siglo, estableció contacto con la comunidad astronómica de Bremen y Lilienthal , especialmente Wilhelm Olbers , Karl Ludwig Harding y Friedrich Wilhelm Bessel , como parte del grupo informal de astrónomos conocido como la Policía Celestial . [21] Uno de sus objetivos era el descubrimiento de otros planetas. Recopilaron datos sobre asteroides y cometas como base para la investigación de Gauss sobre sus órbitas, que luego publicó en su obra magna astronómica Theoria motus corporum coelestium (1809). [22]
En noviembre de 1807, Gauss respondió a una convocatoria de la Universidad de Gotinga , entonces una institución del recién fundado Reino de Westfalia bajo Jérôme Bonaparte , como profesor titular y director del observatorio astronómico , [23] y mantuvo la cátedra hasta su muerte en 1855. Pronto se enfrentó a la demanda de dos mil francos del gobierno de Westfalia como contribución de guerra, que no podía permitirse pagar. Tanto Olbers como Laplace querían ayudarlo con el pago, pero Gauss rechazó su ayuda. Finalmente, una persona anónima de Frankfurt , que más tarde se descubrió que era el príncipe primado Dalberg , [24] pagó la suma. [23]
Gauss se hizo cargo de la dirección del observatorio de 60 años de antigüedad, fundado en 1748 por el príncipe elector Jorge II y construido sobre una torre de fortificación reconvertida, [25] con instrumentos utilizables, pero parcialmente obsoletos. [26] La construcción de un nuevo observatorio había sido aprobada por el príncipe elector Jorge III en principio desde 1802, y el gobierno de Westfalia continuó la planificación, [27] pero Gauss no pudo mudarse a su nuevo lugar de trabajo hasta septiembre de 1816. [19] Obtuvo nuevos instrumentos actualizados, incluidos dos círculos meridianos de Repsold [28] y Reichenbach , [29] y un heliómetro de Fraunhofer . [30]
La actividad científica de Gauss, además de las matemáticas puras, se puede dividir aproximadamente en tres períodos: la astronomía fue el foco principal en las dos primeras décadas del siglo XIX, la geodesia en la tercera década y la física, principalmente el magnetismo, en la cuarta década. [31]
Gauss no ocultaba su aversión a dar conferencias académicas. [18] [19] Pero desde el comienzo de su carrera académica en Gotinga, dio conferencias continuamente hasta 1854. [32] A menudo se quejaba de las cargas de la enseñanza, sintiendo que era una pérdida de tiempo. Por otro lado, ocasionalmente describía a algunos estudiantes como talentosos. [18] La mayoría de sus conferencias trataron sobre astronomía, geodesia y matemáticas aplicadas , [33] y solo tres conferencias sobre temas de matemáticas puras. [18] [d] Algunos de los estudiantes de Gauss se convirtieron en matemáticos, físicos y astrónomos de renombre: Moritz Cantor , Dedekind , Dirksen , Encke , Gould , [e] Heine , Klinkerfues , Kupffer , Listing , Möbius , Nicolai , Riemann , Ritter , Schering , Scherk , Schumacher , von Staudt , Stern , Ursin ; como los geocientíficos Sartorius von Waltershausen y Wappäus . [18]
Gauss no escribió ningún libro de texto y no le gustaba la divulgación de temas científicos. Sus únicos intentos de divulgación fueron sus trabajos sobre la fecha de Pascua (1800/1802) y el ensayo Erdmagnetismus und Magnetometer de 1836. [35] Gauss publicó sus artículos y libros exclusivamente en latín o alemán . [f] [g] Escribía en latín en un estilo clásico pero utilizaba algunas modificaciones habituales establecidas por los matemáticos contemporáneos. [38]
En su conferencia inaugural en la Universidad de Göttingen de 1808, Gauss afirmó que las observaciones y los resultados fiables obtenidos solo mediante un cálculo sólido eran las únicas tareas de la astronomía. [33] En la universidad, estuvo acompañado por un equipo de otros profesores de sus disciplinas, que completaron el programa educativo; entre ellos, el matemático Thibaut con sus conferencias, [40] el físico Mayer , conocido por sus libros de texto, [41] su sucesor Weber desde 1831, y en el observatorio Harding , que impartió la parte principal de las conferencias sobre astronomía práctica. Cuando se completó el observatorio, Gauss se alojó en el ala occidental del nuevo observatorio y Harding en el oriental. [19] Alguna vez habían tenido una relación amistosa, pero con el tiempo se distanciaron, posiblemente -como presumen algunos biógrafos- porque Gauss había deseado que Harding, que tenía el mismo rango, no fuera más que su asistente u observador. [19] [h] Gauss utilizó los nuevos círculos meridianos casi exclusivamente y los mantuvo alejados de Harding, excepto en algunas observaciones conjuntas muy poco frecuentes. [43]
Brendel subdivide la actividad astronómica de Gauss cronológicamente en siete períodos, de los cuales los años desde 1820 se consideran un "período de menor actividad astronómica". [44] El nuevo observatorio, bien equipado, no funcionó tan eficazmente como otros; la investigación astronómica de Gauss tenía el carácter de una empresa de una sola persona sin un programa de observación a largo plazo, y la universidad estableció una plaza para un asistente solo después de que Harding muriera en 1834. [42] [43] [i]
Sin embargo, Gauss rechazó dos veces la oportunidad de resolver el problema al aceptar ofertas de Berlín en 1810 y 1825 para convertirse en miembro de pleno derecho de la Academia Prusiana sin cargar con deberes de cátedra, así como de la Universidad de Leipzig en 1810 y de la Universidad de Viena en 1842, quizás debido a la difícil situación de la familia. [42] El salario de Gauss se elevó de 1000 Reichsthaler en 1810 a 2400 Reichsthaler en 1824, [19] y en sus últimos años fue uno de los profesores mejor pagados de la universidad. [45]
Cuando en 1810 Gauss recibió una petición de ayuda de su colega y amigo Friedrich Wilhelm Bessel , que se encontraba en problemas en la Universidad de Königsberg debido a su falta de un título académico, Gauss le otorgó un doctorado honoris causa de la Facultad de Filosofía de Göttingen en marzo de 1811. [j] Gauss dio otra recomendación para un título honorario para Sophie Germain , pero sólo poco antes de su muerte, por lo que nunca lo recibió. [48] También dio apoyo exitoso al matemático Gotthold Eisenstein en Berlín. [49]
Gauss era leal a la Casa de Hannover . Tras la muerte del rey Guillermo IV en 1837, el nuevo rey de Hannover, Ernesto Augusto, anuló la constitución de 1833. Siete profesores, más tarde conocidos como los « siete de Gotinga », protestaron contra ello, entre ellos su amigo y colaborador Wilhelm Weber y el yerno de Gauss, Heinrich Ewald. Todos ellos fueron despedidos y tres de ellos fueron expulsados, pero Ewald y Weber pudieron quedarse en Gotinga. Gauss se sintió profundamente afectado por esta disputa, pero no vio ninguna posibilidad de ayudarlos. [50]
Gauss participó en la administración académica: fue elegido tres veces decano de la Facultad de Filosofía. [51] Como se le confió el fondo de pensiones de viudas de la universidad, se ocupó de la ciencia actuarial y redactó un informe sobre la estrategia para estabilizar las prestaciones. Fue nombrado director de la Real Academia de Ciencias de Gotinga durante nueve años. [51]
Gauss se mantuvo mentalmente activo hasta su vejez, incluso mientras sufría de gota y desdicha general. El 23 de febrero de 1855, murió de un ataque cardíaco en Gotinga; [12] y fue enterrado en el cementerio Albani allí. Heinrich Ewald , yerno de Gauss, y Wolfgang Sartorius von Waltershausen , amigo cercano y biógrafo de Gauss, pronunciaron panegíricos en su funeral. [52]
Gauss fue un inversor exitoso y acumuló una considerable riqueza en acciones y valores, cuyo valor final superó los 150 mil táleros; después de su muerte, se encontraron alrededor de 18 mil táleros escondidos en sus habitaciones. [53]
Al día siguiente de la muerte de Gauss, su cerebro fue extraído, preservado y estudiado por Rudolf Wagner , quien encontró que su masa era ligeramente superior a la media, con 1.492 gramos (3,29 libras). [54] [55] El hijo de Wagner , Hermann , un geógrafo, estimó que el área cerebral era de 219.588 milímetros cuadrados (340,362 pulgadas cuadradas) en su tesis doctoral. [56] En 2013, un neurobiólogo del Instituto Max Planck de Química Biofísica en Gotinga descubrió que el cerebro de Gauss había sido confundido poco después de las primeras investigaciones, debido a un etiquetado incorrecto, con el del médico Conrad Heinrich Fuchs , que murió en Gotinga unos meses después de Gauss. [57] Una investigación adicional no mostró anomalías notables en los cerebros de ambas personas. Así, todas las investigaciones sobre el cerebro de Gauss hasta 1998, excepto las primeras de Rudolf y Hermann Wagner, se refieren en realidad al cerebro de Fuchs. [58]
Gauss se casó con Johanna Osthoff el 9 de octubre de 1805 en la iglesia de Santa Catalina en Brunswick. [59] Tuvieron dos hijos y una hija: Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1840) y Louis (1809-1810). Johanna murió el 11 de octubre de 1809, un mes después del nacimiento de Louis, quien murió unos meses después. [60] Gauss eligió los nombres de pila de sus hijos en honor a Giuseppe Piazzi , Wilhelm Olbers y Karl Ludwig Harding, los descubridores de los primeros asteroides. [61]
El 4 de agosto de 1810, Gauss se casó con Wilhelmine (Minna) Waldeck, una amiga de su primera esposa, con quien tuvo tres hijos más: Eugen (más tarde Eugene) (1811-1896), Wilhelm (más tarde William) (1813-1879) y Therese (1816-1864). Minna Gauss murió el 12 de septiembre de 1831 después de estar gravemente enferma durante más de una década. [62] Therese se hizo cargo de la casa y cuidó de Gauss durante el resto de su vida; después de la muerte de su padre, se casó con el actor Constantin Staufenau. [63] Su hermana Wilhelmina se casó con el orientalista Heinrich Ewald . [64] La madre de Gauss, Dorothea, vivió en su casa desde 1817 hasta que murió en 1839. [11]
El hijo mayor, Joseph, cuando todavía era un estudiante, ayudó a su padre como asistente durante la campaña de topografía en el verano de 1821. Después de un corto tiempo en la universidad, en 1824 Joseph se unió al ejército de Hannover y ayudó en la topografía nuevamente en 1829. En la década de 1830 fue responsable de la ampliación de la red de topografía a las partes occidentales del reino. Con sus calificaciones geodésicas, dejó el servicio y se dedicó a la construcción de la red ferroviaria como director de los Ferrocarriles Estatales Reales de Hannover . En 1836 estudió el sistema ferroviario en los EE. UU. durante algunos meses. [45] [k]
Eugen abandonó Gotinga en septiembre de 1830 y emigró a los Estados Unidos, donde se unió al ejército durante cinco años. Luego trabajó para la American Fur Company en el Medio Oeste. Más tarde, se mudó a Missouri y se convirtió en un exitoso hombre de negocios. [45] Wilhelm se casó con una sobrina del astrónomo Bessel ; [67] luego se mudó a Missouri, comenzó como granjero y se hizo rico en el negocio del calzado en St. Louis en años posteriores. [68] Eugene y William tienen numerosos descendientes en Estados Unidos, pero los descendientes de Gauss que quedaron en Alemania descienden todos de Joseph, ya que las hijas no tuvieron hijos. [45]
En las dos primeras décadas del siglo XIX, Gauss fue el único matemático importante de Alemania, comparable a los principales franceses; [69] sus Disquisitiones Arithmeticae fueron el primer libro matemático alemán en ser traducido al idioma francés. [70]
Gauss estaba "a la vanguardia de los nuevos desarrollos" con investigaciones documentadas desde 1799, su riqueza de nuevas ideas y su rigor en las demostraciones. [71] Mientras que matemáticos anteriores como Leonhard Euler dejaban que los lectores participaran en su razonamiento de nuevas ideas, incluyendo ciertas desviaciones erróneas del camino correcto, [72] Gauss, sin embargo, introdujo un nuevo estilo de explicación directa y completa que no intentaba mostrar al lector la línea de pensamiento del autor. [73]
Gauss fue el primero en restaurar ese rigor de demostración que admiramos en los antiguos y que había sido relegado indebidamente a un segundo plano por el interés exclusivo del período precedente en los nuevos desarrollos.
— Klein 1894, pág. 101
Pero para sí mismo, propagó un ideal muy diferente, expresado en una carta a Farkas Bolyai en los siguientes términos: [74]
No es el conocimiento, sino el acto de aprender, no la posesión, sino el acto de llegar a ella, lo que proporciona el mayor goce. Cuando he aclarado y agotado un tema, entonces me alejo de él para volver a sumergirme en la oscuridad.
— Dunnington 2004, pág. 416
Los artículos póstumos, su diario científico [75] y breves glosas en sus propios libros de texto muestran que trabajó en gran medida de manera empírica. [76] [77] Fue un calculador entusiasta y ocupado durante toda su vida, que hacía sus cálculos con extraordinaria rapidez, en su mayoría sin un control preciso, pero verificaba los resultados mediante una estimación magistral. Sin embargo, sus cálculos no siempre estaban libres de errores. [78] Se enfrentó a la enorme carga de trabajo utilizando herramientas hábiles. [79] Gauss usó muchas tablas matemáticas , examinó su exactitud y construyó nuevas tablas sobre varios temas para uso personal. [80] Desarrolló nuevas herramientas para el cálculo efectivo, por ejemplo, la eliminación gaussiana . [81] Se ha tomado como una característica curiosa de su estilo de trabajo que realizó cálculos con un alto grado de precisión mucho más de lo requerido, y preparó tablas con más decimales de lo que nunca se solicitó para fines prácticos. [82] Es muy probable que este método le proporcionara mucho material que utilizó para encontrar teoremas en la teoría de números. [79] [83]
Gauss se negó a publicar trabajos que no considerara completos y libres de crítica. Este perfeccionismo estaba en consonancia con el lema de su sello personal Pauca sed Matura ("Pocos, pero maduros"). Muchos colegas lo alentaron a publicar nuevas ideas y, a veces, lo reprendieron si, en su opinión, dudaba demasiado. Gauss se defendió, afirmando que el descubrimiento inicial de ideas era fácil, pero preparar una elaboración presentable era una tarea exigente para él, ya sea por falta de tiempo o por "serenidad mental". [35] Sin embargo, publicó muchas comunicaciones breves de contenido urgente en varias revistas, pero también dejó un considerable patrimonio literario. [84] [85] Gauss se refirió a las matemáticas como "la reina de las ciencias" y a la aritmética como "la reina de las matemáticas", [86] y supuestamente una vez abrazó la creencia en la necesidad de comprender de inmediato la identidad de Euler como un punto de referencia para convertirse en un matemático de primera clase. [87]
En ciertas ocasiones, Gauss afirmó que las ideas de otro erudito ya habían estado en su posesión con anterioridad. Por ello, su concepto de prioridad como "el primero en descubrir, no el primero en publicar" difería del de sus contemporáneos científicos. [88] En contraste con su perfeccionismo en la presentación de las ideas matemáticas, se le criticó por una forma negligente de citar. Se justificó con una visión muy particular de la cita correcta: si citaba, entonces sólo de una manera bastante completa, con respecto a los autores anteriores de importancia, que nadie debería ignorar; pero citar de esta manera requería conocimientos de la historia de la ciencia y más tiempo del que deseaba dedicar. [35]
Poco después de la muerte de Gauss, su amigo Sartorius publicó la primera biografía (1856), escrita en un estilo bastante entusiasta. Sartorius lo veía como un hombre sereno y progresista con una modestia infantil, [89] pero también de "carácter de hierro" [90] con una fuerza mental inquebrantable. [91] Aparte de su círculo más cercano, otros lo consideraban reservado e inaccesible "como un olímpico sentado en la cima de la ciencia". [92] Sus contemporáneos más cercanos coincidían en que Gauss era un hombre de carácter difícil. A menudo se negaba a aceptar cumplidos. Sus visitantes se irritaban ocasionalmente por su comportamiento gruñón, pero poco tiempo después su humor podía cambiar y se convertiría en un anfitrión encantador y de mente abierta. [35] Gauss aborrecía las naturalezas polémicas; junto con su colega Hausmann se opuso a que Justus Liebig fuera nombrado catedrático universitario en Gotinga, "porque siempre estaba involucrado en alguna polémica". [93]
La vida de Gauss se vio ensombrecida por graves problemas familiares. Cuando su primera esposa, Johanna, murió repentinamente poco después del nacimiento de su tercer hijo, reveló su dolor en una última carta a su difunta esposa en el estilo de un antiguo canto fúnebre , el documento más personal que se conserva de Gauss. [94] [95] La situación empeoró cuando la tuberculosis acabó destruyendo la salud de su segunda esposa, Minna, durante 13 años; sus dos hijas sufrieron posteriormente la misma enfermedad. [96] El propio Gauss sólo dio leves indicios de su angustia: en una carta a Bessel fechada en diciembre de 1831 se describió a sí mismo como "la víctima de los peores sufrimientos domésticos". [35]
Debido a la enfermedad de su esposa, los dos hijos menores fueron educados durante algunos años en Celle , lejos de Gotinga. La carrera militar de su hijo mayor, Joseph, terminó después de más de dos décadas con el rango de teniente primero mal pagado , aunque había adquirido un conocimiento considerable de geodesia. Necesitaba el apoyo financiero de su padre incluso después de casarse. [45] El segundo hijo, Eugen, compartía una buena medida del talento de su padre en computación e idiomas, pero tenía un carácter vivaz y a veces rebelde. Quería estudiar filología, mientras que Gauss quería que se convirtiera en abogado. Habiendo acumulado deudas y causado un escándalo en público, [97] Eugen abandonó repentinamente Gotinga en circunstancias dramáticas en septiembre de 1830 y emigró vía Bremen a los Estados Unidos. Desperdició el poco dinero que había tomado para comenzar, después de lo cual su padre se negó a recibir más apoyo financiero. [45] El hijo menor, Wilhelm, quería calificar para la administración agrícola, pero tuvo dificultades para obtener una educación adecuada, y finalmente emigró también. Sólo la hija menor de Gauss, Teresa, lo acompañó en sus últimos años de vida. [63]
Recopilar datos numéricos sobre cosas muy diferentes, útiles o inútiles, se convirtió en un hábito en sus últimos años, por ejemplo, el número de caminos desde su casa a ciertos lugares de Göttingen, o el número de días de vida de las personas; felicitó a Humboldt en diciembre de 1851 por haber alcanzado la misma edad que Isaac Newton al morir, calculada en días. [98]
De manera similar a su excelente conocimiento del latín , también estaba familiarizado con las lenguas modernas. A la edad de 62 años, comenzó a aprender ruso por su cuenta , muy probablemente para entender los escritos científicos de Rusia, entre ellos los de Lobachevsky sobre geometría no euclidiana. [99] Gauss leía literatura clásica y moderna, y obras inglesas y francesas en los idiomas originales. [100] [m] Su autor inglés favorito era Walter Scott , su alemán favorito Jean Paul . [102] A Gauss le gustaba cantar e iba a conciertos. [103] Era un lector de periódicos ocupado; en sus últimos años, solía visitar un salón de prensa académica de la universidad todos los mediodías. [104] A Gauss no le interesaba mucho la filosofía, y se burlaba de las "sutilezas de los llamados metafísicos", con lo que se refería a los defensores de la escuela contemporánea de Naturphilosophie . [105]
Gauss tenía una "naturaleza aristocrática y conservadora hasta la médula", con poco respeto por la inteligencia y la moral de las personas, siguiendo el lema " mundus vult decipi ". [104] No le gustaba Napoleón y su sistema, y todo tipo de violencia y revolución le causaban horror. Por ello, condenó los métodos de las revoluciones de 1848 , aunque estaba de acuerdo con algunos de sus objetivos, como la idea de una Alemania unificada. [90] [n] En lo que respecta al sistema político, tenía una baja estimación del sistema constitucional; criticaba a los parlamentarios de su tiempo por su falta de conocimiento y errores lógicos. [104]
Algunos biógrafos de Gauss han especulado sobre sus creencias religiosas. En ocasiones dijo que «Dios hace cálculos aritméticos» [106] y que «yo lo conseguí, no gracias a mis duros esfuerzos, sino por la gracia del Señor». [107] Gauss era miembro de la iglesia luterana , como la mayoría de la población del norte de Alemania. Parece que no creía en todos los dogmas ni entendía la Santa Biblia de forma bastante literal. [108] Sartorius mencionó la tolerancia religiosa de Gauss y estimó que su «insaciable sed de verdad» y su sentido de la justicia estaban motivados por convicciones religiosas. [109]
En su tesis doctoral de 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra que establece que todo polinomio de una sola variable no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Matemáticos como Jean le Rond d'Alembert habían producido pruebas falsas antes que él, y la disertación de Gauss contiene una crítica del trabajo de d'Alembert. Posteriormente produjo otras tres pruebas, la última en 1849 siendo generalmente rigurosa. Sus intentos aclararon considerablemente el concepto de números complejos. [110]
En el prefacio de las Disquisitiones , Gauss fecha el comienzo de su trabajo sobre la teoría de números en 1795. Al estudiar los trabajos de matemáticos anteriores como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre, se dio cuenta de que estos eruditos ya habían encontrado mucho de lo que él había descubierto por sí mismo. [111] Las Disquisitiones Arithmeticae , escritas desde 1798 y publicadas en 1801, consolidaron la teoría de números como disciplina y cubrieron tanto la teoría de números elemental como la algebraica . En ellas introduce el símbolo de triple barra ( ≡ ) para la congruencia y lo utiliza para una presentación limpia de la aritmética modular . [112] Trata el teorema de factorización única y las raíces primitivas módulo n . En las secciones principales, Gauss presenta las dos primeras pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática [113] y desarrolla las teorías de las formas cuadráticas binarias [114] y ternarias . [115]
Las Disquisitiones incluyen la ley de composición de Gauss para formas cuadráticas binarias, así como la enumeración del número de representaciones de un entero como la suma de tres cuadrados. Como corolario casi inmediato de su teorema sobre tres cuadrados , demuestra el caso triangular del teorema del número poligonal de Fermat para n = 3. [116] A partir de varios resultados analíticos sobre números de clase que Gauss da sin prueba hacia el final de la quinta sección, [117] parece que Gauss ya conocía la fórmula del número de clase en 1801. [118]
En la última sección, Gauss da una prueba de la construibilidad de un heptadecágono regular (polígono de 17 lados) con regla y compás al reducir este problema geométrico a uno algebraico. [119] Muestra que un polígono regular es construible si el número de sus lados es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos . En la misma sección, da un resultado sobre el número de soluciones de ciertos polinomios cúbicos con coeficientes en cuerpos finitos , lo que equivale a contar puntos integrales en una curva elíptica . [120] Un octavo capítulo inacabado fue encontrado entre los papeles que dejó solo después de su muerte, que consistía en el trabajo realizado durante 1797-1799. [121] [122]
Uno de los primeros resultados de Gauss fue la conjetura empírica de 1792 –más tarde llamada teorema de los números primos– que proporciona una estimación del número de números primos utilizando el logaritmo integral . [123] [o]
Cuando Olbers animó a Gauss en 1816 a competir por un premio de la Academia Francesa sobre la demostración del Último Teorema de Fermat (TLF), éste se negó debido a su baja estima en esta materia. Sin embargo, entre sus trabajos dejados se encontró un breve artículo sin fecha con demostraciones del Último Teorema de Fermat para los casos n = 3 y n = 5. [125] El caso particular de n = 3 fue demostrado mucho antes por Leonhard Euler , pero Gauss desarrolló una demostración más simplificada que hacía uso de los números enteros de Eisenstein ; aunque más general, la demostración era más simple que en el caso de los números enteros reales. [126]
Gauss contribuyó a resolver la conjetura de Kepler en 1831 con la prueba de que la mayor densidad de empaquetamiento de esferas en el espacio tridimensional se da cuando los centros de las esferas forman una disposición cúbica centrada en las caras , [127] cuando revisó un libro de Ludwig August Seeber sobre la teoría de reducción de formas cuadráticas ternarias positivas. [128] Habiendo notado algunas fallas en la prueba de Seeber, simplificó muchos de sus argumentos, demostró la conjetura central y remarcó que este teorema es equivalente a la conjetura de Kepler para disposiciones regulares. [129]
En dos artículos sobre residuos bicuadráticos (1828, 1832), Gauss introdujo el anillo de números enteros gaussianos , demostró que es un dominio de factorización único [130] y generalizó algunos conceptos aritméticos clave, como el pequeño teorema de Fermat y el lema de Gauss . El objetivo principal de introducir este anillo era formular la ley de reciprocidad bicuadrática [130] –como descubrió Gauss, los anillos de números enteros complejos son el escenario natural para tales leyes de reciprocidad superior. [131]
En el segundo artículo, enunció la ley general de reciprocidad bicuadrática y demostró varios casos especiales de la misma. En una publicación anterior de 1818 que contenía sus quinta y sexta pruebas de reciprocidad cuadrática, afirmó que las técnicas de estas pruebas ( sumas de Gauss ) se pueden aplicar para demostrar leyes de reciprocidad superiores. [132]
Uno de los primeros descubrimientos de Gauss fue la noción de media aritmético-geométrica (AGM) de dos números reales positivos. [133] Descubrió su relación con las integrales elípticas en los años 1798-1799 a través de la transformación de Landen , y una entrada en su diario registró el descubrimiento de la conexión de la constante de Gauss con las funciones elípticas lemniscáticas , un resultado que Gauss afirmó que "seguramente abrirá un campo de análisis completamente nuevo". [134] También hizo incursiones tempranas en los temas más formales de los fundamentos del análisis complejo , y de una carta a Bessel en 1811 queda claro que conocía el "teorema fundamental del análisis complejo" - el teorema integral de Cauchy - y entendía la noción de residuos complejos al integrar alrededor de polos . [120] [135]
El teorema de los números pentagonales de Euler , junto con otras investigaciones sobre el AGM y las funciones lemniscáticas, lo llevaron a numerosos resultados sobre las funciones theta de Jacobi , [120] que culminaron en el descubrimiento en 1808 de la posteriormente llamada identidad del triple producto de Jacobi , que incluye el teorema de Euler como un caso especial. [136] Sus trabajos muestran que conocía transformaciones modulares de orden 3, 5, 7 para funciones elípticas desde 1808. [137] [p] [q]
Varios fragmentos matemáticos en su Nachlass indican que conocía partes de la teoría moderna de formas modulares . [120] En su trabajo sobre el AGM multivaluado de dos números complejos, descubrió una conexión profunda entre los infinitos valores del AGM con sus dos "valores más simples". [134] En sus escritos inéditos reconoció e hizo un bosquejo del concepto clave de dominio fundamental para el grupo modular . [139] [140] Uno de los bosquejos de Gauss de este tipo fue un dibujo de una teselación del disco unitario por triángulos hiperbólicos "equiláteros" con todos los ángulos iguales a . [141]
Un ejemplo de la perspicacia de Gauss en los campos del análisis es la críptica observación de que los principios de división del círculo con compás y regla también se pueden aplicar a la división de la curva lemniscata , que inspiró el teorema de Abel sobre la división de lemniscatas. [r] Otro ejemplo es su publicación "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) sobre la determinación del signo de la suma cuadrática de Gauss , en la que resolvió el problema principal introduciendo q-análogos de coeficientes binomiales y manipulándolos mediante varias identidades originales que parecen surgir de su trabajo sobre la teoría de funciones elípticas; sin embargo, Gauss formuló su argumento de una manera formal que no revela su origen en la teoría de funciones elípticas, y solo el trabajo posterior de matemáticos como Jacobi y Hermite ha expuesto el quid de su argumento. [142]
En las "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), proporciona el primer tratamiento sistemático de la función hipergeométrica general , y muestra que muchas de las funciones conocidas en ese momento son casos especiales de la función hipergeométrica. [143] Este trabajo es el primero con una investigación exacta de la convergencia de series infinitas en la historia de las matemáticas. [144] Además, trata de fracciones continuas infinitas que surgen como proporciones de funciones hipergeométricas que ahora se llaman fracciones continuas de Gauss . [145]
En 1823, Gauss ganó el premio de la Sociedad Danesa con un ensayo sobre aplicaciones conformes , que contiene varios desarrollos que pertenecen al campo del análisis complejo. [146] Gauss afirmó que las aplicaciones que preservan el ángulo en el plano complejo deben ser funciones analíticas complejas , y utilizó la posteriormente llamada ecuación de Beltrami para demostrar la existencia de coordenadas isotérmicas en superficies analíticas. El ensayo concluye con ejemplos de aplicaciones conformes en una esfera y un elipsoide de revolución . [147]
Gauss a menudo deducía teoremas de forma inductiva a partir de datos numéricos que había recopilado empíricamente. [77] Como tal, el uso de algoritmos eficientes para facilitar los cálculos fue vital para su investigación, e hizo muchas contribuciones al análisis numérico , como el método de cuadratura gaussiana publicado en 1816. [148]
En una carta privada a Gerling de 1823, [149] describió una solución de un sistema 4X4 de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Seidel , un método iterativo "indirecto" para la solución de sistemas lineales, y lo recomendó sobre el método habitual de "eliminación directa" para sistemas de más de dos ecuaciones. [150]
Gauss inventó un algoritmo para calcular lo que ahora se llama transformadas de Fourier discretas , al calcular las órbitas de Pallas y Juno en 1805, 160 años antes de que Cooley y Tukey encontraran su algoritmo similar Cooley-Tukey FFT . [151] Lo desarrolló como un método de interpolación trigonométrica , pero el artículo Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata se publicó solo póstumamente en 1876, [152] precedido por la primera presentación de Joseph Fourier sobre el tema en 1807. [153]
La primera publicación posterior a la tesis doctoral se ocupó de la determinación de la fecha de Pascua (1800), una cuestión elemental de matemáticas. Gauss pretendía presentar un algoritmo más conveniente para personas sin ningún conocimiento de cronología eclesiástica o incluso astronómica, y así evitó los términos generalmente requeridos de número áureo , epacta , ciclo solar , letra dominical y cualquier connotación religiosa. [154] Los biógrafos especularon sobre la razón por la que Gauss se ocupó de este asunto, pero es probable que sea comprensible por el contexto histórico. La sustitución del calendario juliano por el calendario gregoriano había causado confusión en el Sacro Imperio Romano Germánico desde el siglo XVI, y no se terminó en Alemania hasta 1700, cuando se eliminó la diferencia de once días, pero la diferencia en el cálculo de la fecha de Pascua permaneció entre los territorios protestantes y católicos. Un acuerdo posterior de 1776 igualó la forma confesional de contar; Así, en los estados protestantes como el Ducado de Brunswick, la Pascua de 1777, cinco semanas antes del nacimiento de Gauss, fue la primera en calcularse de la nueva manera. [155] Las dificultades públicas de la sustitución pueden ser el trasfondo histórico de la confusión sobre este asunto en la familia Gauss (véase el capítulo: Anécdotas). Por estar relacionado con las normas de Pascua, pronto se publicó un ensayo sobre la fecha de Pesaj en 1802. [156]
El 1 de enero de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió un nuevo objeto celeste, presumiendo que era el planeta largamente buscado entre Marte y Júpiter según la llamada ley de Titius-Bode , y lo llamó Ceres . [157] Pudo rastrearlo solo por un corto tiempo hasta que desapareció detrás del resplandor del Sol. Las herramientas matemáticas de la época no fueron suficientes para extrapolar una posición a partir de los pocos datos para su reaparición. Gauss abordó el problema y predijo una posición para un posible redescubrimiento en diciembre de 1801. Esto resultó ser preciso con una precisión de medio grado cuando Franz Xaver von Zach el 7 y el 31 de diciembre en Gotha , e independientemente Heinrich Olbers el 1 y el 2 de enero en Bremen , identificaron el objeto cerca de la posición predicha. [158] [s]
El método de Gauss conduce a una ecuación de octavo grado, de la que se conoce una solución, la órbita de la Tierra. La solución buscada se separa entonces de las seis restantes en función de las condiciones físicas. En este trabajo, Gauss utilizó métodos de aproximación integrales que creó para ese fin. [159]
El descubrimiento de Ceres llevó a Gauss a la teoría del movimiento de planetoides perturbados por planetas grandes, finalmente publicada en 1809 como Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum . [160] Introdujo la constante gravitacional gaussiana . [33]
Desde que se descubrieron los nuevos asteroides, Gauss se ocupó de las perturbaciones de sus elementos orbitales . En primer lugar examinó Ceres con métodos analíticos similares a los de Laplace, pero su objeto favorito era Palas , debido a su gran excentricidad e inclinación orbital , por lo que el método de Laplace no funcionó. Gauss utilizó sus propias herramientas: la media aritmético-geométrica , la función hipergeométrica y su método de interpolación. [161] Encontró una resonancia orbital con Júpiter en proporción 18:7 en 1812; Gauss dio este resultado como cifra , y dio el significado explícito solo en cartas a Olbers y Bessel. [162] [163] [t] Después de largos años de trabajo, lo terminó en 1816 sin un resultado que le pareciera suficiente. Esto marcó el final de sus actividades en astronomía teórica. [165]
Un fruto de la investigación de Gauss sobre las perturbaciones de Pallas fue la Determinatio Attractionis... (1818) sobre un método de astronomía teórica que más tarde se conocería como el "método del anillo elíptico". Introdujo una concepción de promedio en la que un planeta en órbita se reemplaza por un anillo ficticio con una densidad de masa proporcional al tiempo que tarda el planeta en seguir los arcos orbitales correspondientes. [166] Gauss presenta el método de evaluación de la atracción gravitatoria de dicho anillo elíptico, que incluye varios pasos; uno de ellos implica una aplicación directa del algoritmo de la media aritmético-geométrica (AGM) para calcular una integral elíptica . [167]
Aunque las contribuciones de Gauss a la astronomía teórica llegaron a su fin, las actividades más prácticas en la astronomía observacional continuaron y lo ocuparon durante toda su carrera. Incluso a principios de 1799, Gauss se ocupó de la determinación de la longitud mediante el uso de la paralaje lunar, para lo cual desarrolló fórmulas más convenientes que las que se usaban comúnmente. [168] Después de su nombramiento como director del observatorio, le dio importancia a las constantes astronómicas fundamentales en correspondencia con Bessel. El propio Gauss proporcionó tablas para la nutación y la aberración, las coordenadas solares y la refracción. [169] Hizo muchas contribuciones a la geometría esférica y, en este contexto, resolvió algunos problemas prácticos sobre la navegación por estrellas . [170] Publicó un gran número de observaciones, principalmente sobre planetas menores y cometas; su última observación fue el eclipse solar del 28 de julio de 1851. [171]
Gauss probablemente utilizó el método de mínimos cuadrados para calcular la órbita de Ceres para minimizar el impacto del error de medición . [88] El método fue publicado por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1805, pero Gauss afirmó en Theoria motus (1809) que lo había estado utilizando desde 1794 o 1795. [172] [173] [174] En la historia de la estadística, este desacuerdo se llama la "disputa de prioridad sobre el descubrimiento del método de mínimos cuadrados". [88] Gauss demostró que el método tiene la varianza de muestreo más baja dentro de la clase de estimadores lineales insesgados bajo el supuesto de errores distribuidos normalmente ( teorema de Gauss-Markov ), en el artículo de dos partes Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823). [175]
En el primer artículo demostró la desigualdad de Gauss (una desigualdad de tipo Chebyshev ) para distribuciones unimodales , y enunció sin prueba otra desigualdad para momentos de cuarto orden (un caso especial de la desigualdad de Gauss-Winckler). [176] Derivó límites inferior y superior para la varianza de la varianza de la muestra . En el segundo artículo, Gauss describió métodos recursivos de mínimos cuadrados . Su trabajo sobre la teoría de errores fue extendido en varias direcciones por el geodesista Friedrich Robert Helmert hasta el modelo de Gauss-Helmert . [177]
Gauss también contribuyó a problemas en la teoría de la probabilidad que no están directamente relacionados con la teoría de errores. Un ejemplo aparece como una nota de diario donde intentó describir la distribución asintótica de las entradas en la expansión de fracción continua de un número aleatorio distribuido uniformemente en (0,1) . Derivó esta distribución, ahora conocida como la distribución de Gauss-Kuzmin , como un subproducto del descubrimiento de la ergodicidad del mapa de Gauss para fracciones continuas . La solución de Gauss es el primer resultado en la teoría métrica de fracciones continuas. [178]
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Gauss se ocupó de problemas geodésicos desde 1799, cuando ayudó a Karl Ludwig von Lecoq con los cálculos durante su estudio en Westfalia . [179] A partir de 1804, aprendió por su cuenta algunas prácticas geodésicas con un sextante en Brunswick, [180] y Göttingen. [181]
Desde 1816, el ex alumno de Gauss , Heinrich Christian Schumacher , entonces profesor en Copenhague , pero que vivía en Altona ( Holstein ) cerca de Hamburgo como director de un observatorio, llevó a cabo una triangulación de la península de Jutlandia desde Skagen en el norte hasta Lauenburg en el sur. [u] Este proyecto fue la base para la producción de mapas, pero también tuvo como objetivo determinar el arco geodésico entre los sitios terminales. Los datos de los arcos geodésicos se utilizaron para determinar las dimensiones del geoide terrestre , y las distancias de arco largas trajeron resultados más precisos. Schumacher le pidió a Gauss que continuara este trabajo más al sur en el Reino de Hannover; Gauss aceptó después de un breve tiempo de vacilación. Finalmente, en mayo de 1820, el rey Jorge IV le dio la orden a Gauss. [182]
Para medir un arco es necesario determinar astronómicamente con precisión al menos dos puntos de la red . Gauss y Schumacher aprovecharon la ocasión favorita de que ambos observatorios, el de Gotinga y el de Altona, en el jardín de la casa de Schumacher, se encontraban casi en la misma longitud . La latitud se midió con ambos instrumentos y con un sector cenital de Ramsden que se transportó a ambos observatorios. [183] [v]
En octubre de 1818 , Gauss y Schumacher habían determinado algunos ángulos entre Lüneburg , Hamburgo y Lauenburg para la conexión geodésica. [184] Durante los veranos de 1821 a 1825, Gauss dirigió personalmente el trabajo de triangulación, desde Turingia en el sur hasta el río Elba en el norte. El triángulo entre Hoher Hagen , Großer Inselsberg en el bosque de Turingia y Brocken en las montañas de Harz fue el más grande que Gauss había medido jamás, con un tamaño máximo de 107 km (66,5 millas). En la escasamente poblada Landesberg de Lüneburg, sin cumbres naturales significativas ni edificios artificiales, tuvo dificultades para encontrar puntos de triangulación adecuados; a veces fue necesario cortar carriles a través de la vegetación. [155] [185]
Para señalar señales, Gauss inventó un nuevo instrumento con espejos móviles y un pequeño telescopio que reflejaba los rayos del sol hacia los puntos de triangulación, y lo llamó heliotropo . [186] Otra construcción adecuada para el mismo propósito fue un sextante con un espejo adicional al que llamó vice heliotropo . [187] Gauss recibió ayuda de soldados del ejército de Hannover, entre ellos su hijo mayor Joseph. Gauss participó en la medición de la línea de base ( Línea de base de Braak ) de Schumacher en el pueblo de Braak cerca de Hamburgo en 1820, y utilizó el resultado para la evaluación de la triangulación de Hannover. [188]
Un resultado adicional fue un mejor valor de aplanamiento del elipsoide terrestre aproximado . [189] [w] Gauss desarrolló la proyección transversal universal de Mercator de la Tierra con forma elipsoidal (lo que llamó proyección conforme ) [191] para representar datos geodésicos en cartas planas.
Cuando se terminó la medición del arco, Gauss comenzó la ampliación de la triangulación hacia el oeste para obtener un estudio de todo el Reino de Hannover con un decreto real del 25 de marzo de 1828. [192] El trabajo práctico fue dirigido por tres oficiales del ejército, entre ellos el teniente Joseph Gauss. La evaluación completa de los datos estuvo en manos de Gauss, quien aplicó sus inventos matemáticos como el método de mínimos cuadrados y el método de eliminación . El proyecto se terminó en 1844, y Gauss envió un informe final del proyecto al gobierno; su método de proyección no fue editado hasta 1866. [193] [194]
En 1828, al estudiar las diferencias de latitud , Gauss definió por primera vez una aproximación física para la figura de la Tierra como la superficie en todas partes perpendicular a la dirección de la gravedad; [195] más tarde su estudiante de doctorado Johann Benedict Listing llamó a esto el geoide . [196]
El estudio geodésico de Hannover alimentó el interés de Gauss por la geometría diferencial y la topología , campos de las matemáticas que tratan con curvas y superficies . Esto lo llevó en 1828 a la publicación de una autobiografía que marca el nacimiento de la geometría diferencial moderna de superficies , ya que se apartó de las formas tradicionales de tratar las superficies como gráficos cartesianos de funciones de dos variables, y que inició la exploración de las superficies desde el punto de vista "interno" de un ser bidimensional obligado a moverse sobre él. Como resultado, el Theorema Egregium ( teorema notable ), estableció una propiedad de la noción de curvatura gaussiana . De manera informal, el teorema dice que la curvatura de una superficie puede determinarse completamente midiendo ángulos y distancias en la superficie, independientemente de la incrustación de la superficie en el espacio tridimensional o bidimensional. [197]
El Teorema Egregium conduce a la abstracción de superficies como variedades doblemente extendidas ; aclara la distinción entre las propiedades intrínsecas de la variedad (la métrica ) y su realización física en el espacio ambiente. Una consecuencia es la imposibilidad de una transformación isométrica entre superficies de diferente curvatura gaussiana. Esto significa prácticamente que una esfera o un elipsoide no se pueden transformar en un plano sin distorsión, lo que causa un problema fundamental en el diseño de proyecciones para mapas geográficos. [197] Una parte de este ensayo está dedicada a un estudio profundo de las geodésicas . En particular, Gauss demuestra el teorema local de Gauss-Bonnet sobre triángulos geodésicos y generaliza el teorema de Legendre sobre triángulos esféricos a triángulos geodésicos sobre superficies arbitrarias con curvatura continua; descubrió que los ángulos de un triángulo geodésico "suficientemente pequeño" se desvían de los de un triángulo plano de los mismos lados de una manera que depende solo de los valores de la curvatura de la superficie en los vértices del triángulo, independientemente del comportamiento de la superficie en el interior del triángulo. [198]
Las memorias de Gauss de 1828 carecen del concepto de curvatura geodésica . Sin embargo, en un manuscrito inédito, muy probablemente escrito entre 1822 y 1825, introdujo el término "curvatura lateral" (en alemán: "Seitenkrümmung") y demostró su invariancia bajo transformaciones isométricas, un resultado que fue obtenido más tarde por Ferdinand Minding y publicado por él en 1830. Este artículo de Gauss contiene el núcleo de su lema sobre la curvatura total, pero también su generalización, encontrada y demostrada por Pierre Ossian Bonnet en 1848 y conocida como teorema de Gauss-Bonnet . [199]
En vida de Gauss, se estaba llevando a cabo una vívida discusión sobre el postulado de las paralelas en la geometría euclidiana . [200] Se hicieron numerosos esfuerzos para demostrarlo en el marco de los axiomas euclidianos, mientras que algunos matemáticos discutieron la posibilidad de sistemas geométricos sin él. [201] Gauss pensó en los conceptos básicos de la geometría desde los años 1790, pero en la década de 1810 se dio cuenta de que una geometría no euclidiana sin el postulado de las paralelas podría resolver el problema. [202] [200] En una carta a Franz Taurinus de 1824, presentó un breve y comprensible esquema de lo que llamó una " geometría no euclidiana ", [203] pero prohibió firmemente a Taurinus hacer cualquier uso de ella. [202] Se atribuye a Gauss haber sido el primero en descubrir y estudiar la geometría no euclidiana, incluso acuñando el término también. [204] [203] [205]
Las primeras publicaciones sobre geometría no euclidiana en la historia de las matemáticas fueron escritas por Nikolai Lobachevsky en 1829 y Janos Bolyai en 1832. [201] En los años siguientes, Gauss escribió sus ideas sobre el tema, pero no las publicó, evitando así influir en la discusión científica contemporánea. [202] [206] Gauss elogió las ideas de Janos Bolyai en una carta a su padre y amigo de la universidad Farkas Bolyai [207] afirmando que estas eran congruentes con sus propios pensamientos de algunas décadas. [202] [208] Sin embargo, no está del todo claro en qué medida precedió a Lobachevsky y Bolyai, ya que sus comentarios en la carta son solo vagos y oscuros. [201]
Sartorius mencionó el trabajo de Gauss sobre geometría no euclidiana por primera vez en 1856, pero solo la edición de los artículos de la izquierda en el Volumen VIII de las Obras completas (1900) mostró las ideas de Gauss sobre ese tema, en un momento en que la geometría no euclidiana aún había dejado de ser objeto de una discusión controvertida. [202]
Gauss también fue un pionero de la topología o Geometria Situs , como se la llamó en vida. La primera demostración del teorema fundamental del álgebra en 1799 contenía un argumento esencialmente topológico; cincuenta años después, desarrolló aún más el argumento topológico en su cuarta demostración de este teorema. [209]
En 1804, durante su trabajo astronómico, tuvo otro encuentro con las nociones topológicas, cuando determinó los límites de la región de la esfera celeste en la que podían aparecer cometas y asteroides, y que denominó "Zodiaco". Descubrió que si las órbitas de la Tierra y del cometa están vinculadas , entonces, por razones topológicas, el Zodíaco es la esfera entera. En 1848, en el contexto del descubrimiento del asteroide 7 Iris , publicó una discusión cualitativa adicional del Zodíaco. [210]
En las cartas de Gauss de 1820-1830, reflexionó intensamente sobre temas muy afines a la Geometria Situs y, poco a poco, se fue dando cuenta de las dificultades semánticas de este campo. Los fragmentos de este período revelan que intentó clasificar las «figuras de tracto», que son curvas planas cerradas con un número finito de autointersecciones transversales, que también pueden ser proyecciones planares de nudos . [211] Para ello, ideó un esquema simbólico, el código de Gauss , que en cierto sentido capturaba los rasgos característicos de las figuras de tracto. [212] [213]
En un fragmento de 1833, Gauss definió el número de enlace de dos curvas espaciales mediante una determinada integral doble, y al hacerlo proporcionó por primera vez una formulación analítica de un fenómeno topológico. En la misma línea, lamentó el poco progreso realizado en Geometria Situs, y remarcó que uno de sus problemas centrales será "contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o infinitas". Sus cuadernos de notas de ese período revelan que también estaba pensando en otros objetos topológicos como las trenzas y los enredos . [210]
La influencia de Gauss en años posteriores en el campo emergente de la topología, que él tenía en alta estima, se produjo a través de comentarios ocasionales y comunicaciones orales a Mobius y Listing. [214]
Gauss aplicó el concepto de números complejos para resolver problemas bien conocidos de una manera nueva y concisa. Por ejemplo, en una breve nota de 1836 sobre los aspectos geométricos de las formas ternarias y su aplicación a la cristalografía, [215] enunció el teorema fundamental de la axonometría , que dice cómo representar un cubo 3D en un plano 2D con total precisión, a través de números complejos. [216] Describió las rotaciones de esta esfera como la acción de ciertas transformaciones fraccionarias lineales en el plano complejo extendido, [217] y dio una prueba del teorema geométrico de que las alturas de un triángulo siempre se encuentran en un único ortocentro . [218]
Gauss se interesó por el " Pentagramma mirificum " de John Napier –un cierto pentagrama esférico– durante varias décadas; [219] lo abordó desde varios puntos de vista y gradualmente adquirió una comprensión completa de sus aspectos geométricos, algebraicos y analíticos. [220] En particular, en 1843 enunció y demostró varios teoremas que conectaban funciones elípticas, pentágonos esféricos de Napier y pentágonos de Poncelet en el plano. [221]
Además, contribuyó con una solución al problema de construir la elipse de área más grande dentro de un cuadrilátero dado , [222] [223] y descubrió un resultado sorprendente sobre el cálculo del área de los pentágonos . [224] [225]
Gauss había estado interesado en el magnetismo desde 1803. [226] Después de que Alexander von Humboldt visitara Gotinga en 1826, ambos científicos comenzaron una investigación intensiva sobre el geomagnetismo , en parte de forma independiente, en parte en cooperación productiva. [227] En 1828, Gauss fue invitado de Humboldt durante la conferencia de la Sociedad de Científicos Naturales y Médicos Alemanes en Berlín, donde conoció al físico Wilhelm Weber . [228]
Cuando Weber obtuvo la cátedra de física en Göttingen como sucesor de Johann Tobias Mayer por recomendación de Gauss en 1831, ambos iniciaron una fructífera colaboración, que condujo a un nuevo conocimiento del magnetismo con una representación de la unidad de magnetismo en términos de masa, carga y tiempo. [229] Fundaron la Asociación Magnética (en alemán: Magnetischer Verein ), un grupo de trabajo internacional de varios observatorios, que apoyó las mediciones del campo magnético de la Tierra en muchas regiones del mundo con métodos iguales en fechas acordadas en los años 1836 a 1841. [230]
En 1836, Humboldt sugirió el establecimiento de una red mundial de estaciones geomagnéticas en los dominios británicos con una carta al duque de Sussex , entonces presidente de la Royal Society; propuso que las medidas magnéticas se tomaran en condiciones estandarizadas utilizando sus métodos. [231] [232] Junto con otros instigadores, esto condujo a un programa global conocido como " Cruzada magnética " bajo la dirección de Edward Sabine . Las fechas, horas e intervalos de las observaciones se determinaron de antemano, y se utilizó el tiempo medio de Gotinga como estándar. [233] 61 estaciones en los cinco continentes participaron en este programa global. Gauss y Weber fundaron una serie para la publicación de los resultados, se editaron seis volúmenes entre 1837 y 1843. La partida de Weber a Leipzig en 1843 como efecto tardío del asunto de los Siete de Gotinga marcó el final de la actividad de la Magnetic Association. [230]
Siguiendo el ejemplo de Humboldt, Gauss ordenó que se construyera un observatorio magnético en el jardín del observatorio, pero los científicos diferían sobre el equipo instrumental; Gauss prefería instrumentos estacionarios, que pensaba que darían resultados más precisos, mientras que Humboldt estaba acostumbrado a instrumentos móviles. Gauss estaba interesado en la variación temporal y espacial de la declinación, inclinación e intensidad magnéticas, pero discriminó el concepto de intensidad magnética de Humboldt en términos de intensidad "horizontal" y "vertical". Junto con Weber, desarrolló métodos para medir los componentes de intensidad del campo magnético y construyó un magnetómetro adecuado para medir valores absolutos de la fuerza del campo magnético de la Tierra, no más relativos que dependían del aparato. [230] [234] La precisión del magnetómetro era aproximadamente diez veces mayor que la de los instrumentos anteriores. Con este trabajo, Gauss fue el primero en derivar una cantidad no mecánica a partir de cantidades mecánicas básicas. [233]
Gauss elaboró una Teoría General del Magnetismo Terrestre (1839), en la que creía que describía la naturaleza de la fuerza magnética; según Felix Klein, este trabajo es una presentación de observaciones mediante el uso de armónicos esféricos en lugar de una teoría física. [235] La teoría predijo la existencia de exactamente dos polos magnéticos en la Tierra, por lo que la idea de Hansteen de cuatro polos magnéticos se volvió obsoleta, [236] y los datos permitieron determinar su ubicación con bastante buena precisión. [237]
Gauss influyó en el comienzo de la geofísica en Rusia, cuando Adolph Theodor Kupffer , uno de sus antiguos alumnos, fundó un observatorio magnético en San Petersburgo , siguiendo el ejemplo del observatorio de Gotinga, y de manera similar, Ivan Simonov en Kazán . [236]
Los descubrimientos de Hans Christian Ørsted sobre el electromagnetismo y de Michael Faraday sobre la inducción electromagnética atrajeron la atención de Gauss hacia estos asuntos. [238] Gauss y Weber encontraron reglas para circuitos eléctricos ramificados , que luego fueron descubiertas de manera independiente y publicadas por primera vez por Gustav Kirchhoff y que recibieron su nombre de leyes de circuitos de Kirchhoff , [239] e hicieron investigaciones sobre el electromagnetismo. Construyeron el primer telégrafo electromecánico en 1833, y el propio Weber conectó el observatorio con el instituto de física en el centro de la ciudad de Göttingen, [y] pero no les importó ningún desarrollo posterior de esta invención con fines comerciales. [240] [241]
Los principales intereses teóricos de Gauss en el electromagnetismo se reflejaron en sus intentos de formular leyes cuantitativas que rigen la inducción electromagnética. En los cuadernos de notas de estos años, registró varias formulaciones innovadoras; descubrió la idea de la función potencial vectorial (redescubierta independientemente por Franz Ernst Neumann en 1845), y en enero de 1835 escribió una "ley de inducción" equivalente a la ley de Faraday , que establecía que la fuerza electromotriz en un punto dado en el espacio es igual a la tasa instantánea de cambio (con respecto al tiempo) de esta función. [242] [243]
Gauss intentó encontrar una ley unificadora para los efectos a larga distancia de la electrostática , la electrodinámica , el electromagnetismo y la inducción , comparable a la ley de gravitación de Newton, [244] pero su intento terminó en un "trágico fracaso". [233]
Desde que Isaac Newton demostró teóricamente que la Tierra y las estrellas en rotación adoptan formas no esféricas, el problema de la atracción de los elipsoides ganó importancia en la astronomía matemática. En su primera publicación sobre la teoría del potencial, la "Theoria attractionis..." (1813), Gauss proporcionó una expresión en forma cerrada para la atracción gravitatoria de un elipsoide triaxial homogéneo en cada punto del espacio. [245] En contraste con la investigación previa de Maclaurin , Laplace y Lagrange, la nueva solución de Gauss trató la atracción de manera más directa en la forma de una integral elíptica. En el proceso, también demostró y aplicó algunos casos especiales del llamado teorema de Gauss en el análisis vectorial . [246]
En los teoremas generales sobre las fuerzas de atracción y repulsión que actúan en proporciones recíprocas de distancias cuadráticas (1840), Gauss dio la base de una teoría del potencial magnético , basada en Lagrange, Laplace y Poisson; [235] parece bastante improbable que conociera los trabajos previos de George Green sobre este tema. [238] Sin embargo, Gauss nunca pudo dar ninguna razón para el magnetismo, ni una teoría del magnetismo similar al trabajo de Newton sobre la gravitación, que permitiera a los científicos predecir efectos geomagnéticos en el futuro. [233]
Los cálculos de Gauss permitieron al fabricante de instrumentos Johann Georg Repsold en Hamburgo construir un nuevo sistema de lentes acromáticas en 1810. Un problema principal, entre otras dificultades, era el conocimiento impreciso del índice de refracción y la dispersión de los tipos de vidrio utilizados. [247] En un breve artículo de 1817, Gauss abordó el problema de la eliminación de la aberración cromática en lentes dobles y calculó los ajustes de la forma y los coeficientes de refracción necesarios para minimizarla. Su trabajo fue notado por el óptico Carl August von Steinheil , quien en 1860 introdujo el doblete acromático de Steinheil , basado en parte en los cálculos de Gauss. [248] Muchos resultados en óptica geométrica solo están dispersos en las correspondencias y notas a mano de Gauss. [249]
En las Investigaciones dióptricas (1840), Gauss dio el primer análisis sistemático sobre la formación de imágenes bajo una aproximación paraxial ( óptica gaussiana ). [250] Caracterizó los sistemas ópticos bajo una aproximación paraxial solo por sus puntos cardinales , [251] y derivó la fórmula de la lente gaussiana , aplicable sin restricciones con respecto al espesor de las lentes. [252] [253]
El primer trabajo de Gauss en mecánica se centró en la rotación de la Tierra . Cuando su amigo de la universidad Benzenberg llevó a cabo experimentos para determinar la desviación de las masas que caen de la perpendicular en 1802, lo que hoy se conoce como un efecto de la fuerza de Coriolis , le pidió a Gauss un cálculo basado en la teoría de los valores para compararlos con los experimentales. Gauss elaboró un sistema de ecuaciones fundamentales para el movimiento, y los resultados se correspondieron suficientemente con los datos de Benzenberg, quien añadió las consideraciones de Gauss como apéndice a su libro sobre experimentos de caída. [254]
Después de que Foucault demostrara públicamente la rotación de la Tierra con su experimento del péndulo en 1851, Gerling le pidió a Gauss más explicaciones. Esto instigó a Gauss a diseñar un nuevo aparato para la demostración con una longitud de péndulo mucho más corta que la de Foucault. Las oscilaciones se observaron con un telescopio de lectura, con una escala vertical y un espejo fijado al péndulo. Se describe en la correspondencia Gauss-Gerling, y Weber realizó algunos experimentos con este aparato en 1853, pero no se publicaron datos. [255] [256]
El principio de mínima restricción de Gauss de 1829 fue establecido como un concepto general para superar la división de la mecánica en estática y dinámica, combinando el principio de D'Alembert con el principio de trabajo virtual de Lagrange , y mostrando analogías con el método de mínimos cuadrados . [257]
En 1828, Gauss fue nombrado director de la Junta de Pesas y Medidas del Reino de Hannover. Se encargó de la creación de patrones de longitud y medidas. El propio Gauss se ocupó de las medidas, que requerían mucho tiempo, y dio órdenes detalladas para la preparación mecánica. [155] En la correspondencia con Schumacher, que también estaba trabajando en este asunto, describió nuevas ideas para balanzas de alta precisión. [258] En 1841 presentó al gobierno los informes finales sobre el pie y la libra de Hannover . Este trabajo adquirió importancia más que regional por la orden de una ley de 1836 que conectaba las medidas de Hannover con las inglesas. [155]
Se han publicado varias historias sobre su genio temprano. La madre de Carl Friedrich Gauss nunca había registrado la fecha de su nacimiento, recordando únicamente que había nacido un miércoles, ocho días antes de la Fiesta de la Ascensión , que se celebra 39 días después de Pascua. Gauss resolvió más tarde este enigma sobre su fecha de nacimiento en el contexto de encontrar la fecha de Pascua , derivando métodos para calcular la fecha tanto en años pasados como futuros. [259]
En su memorial sobre Gauss, Wolfgang Sartorius von Waltershausen cuenta una historia sobre Gauss, un niño de tres años que corrigió un error matemático de su padre. La historia más popular, también contada por Sartorius, habla de un ejercicio escolar: el maestro Büttner y su ayudante Martin Bartels ordenaron a los estudiantes sumar una serie aritmética . De un centenar de alumnos, Gauss fue el primero en resolver el problema correctamente por un margen significativo. [260] [8] Aunque (o porque) Sartorius no dio detalles, con el tiempo se han creado muchas versiones de esta historia, con cada vez más detalles sobre la naturaleza de la serie –la más frecuente es el problema clásico de sumar todos los números enteros del 1 al 100– y las circunstancias en el aula. [261] [z]
El primer reconocimiento a Gauss como miembro de una sociedad científica le fue otorgado en 1802 por la Academia Rusa de Ciencias . [263] Se otorgaron otras membresías (correspondientes, extranjeras o de pleno derecho) de la Academia de Ciencias de Göttingen (1802/1807), [264] la Academia Francesa de Ciencias (1804/1820), [265] la Royal Society de Londres (1804), [266] la Real Academia Prusiana de Berlín (1810), [267] la Academia Nacional de Ciencias de Verona (1810), [268] la Royal Society de Edimburgo (1820), [269] la Academia Bávara de Ciencias de Múnich (1820), [270] la Real Academia Danesa de Copenhague (1821), [271] la Real Sociedad Astronómica de Londres (1821), [272] la Real Academia Sueca de Ciencias (1821), [271] la Academia Americana de Artes y Ciencias de Boston (1822), [273] la Real Sociedad Bohemia de Ciencias en Praga (1833), [274] la Real Academia de Ciencias, Letras y Bellas Artes de Bélgica (1841/1845), [275] la Real Sociedad de Ciencias en Uppsala (1843), [274] la Real Academia Irlandesa en Dublín (1843), [274] el Real Instituto de los Países Bajos (1845/1851), [276] la Real Academia Española de Ciencias en Madrid (1850), [277] la Sociedad Geográfica Rusa (1851), [278] la Academia Imperial de Ciencias en Viena (1848), [278] la Sociedad Filosófica Americana (1853), [279] la Sociedad Filosófica de Cambridge , [278] y la Real Sociedad Holandesa de Ciencias en Haarlem. [280] [281]
Tanto la Universidad de Kazán como la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga lo nombraron miembro honorario en 1848. [280]
Gauss recibió el Premio Lalande de la Academia Francesa de Ciencias en 1809 por la teoría de los planetas y los medios para determinar sus órbitas a partir de sólo tres observaciones, [282] el premio de la Academia Danesa de Ciencias en 1823 por sus memorias sobre la proyección conforme, [274] y la Medalla Copley de la Royal Society en 1838 por "sus inventos e investigaciones matemáticas en magnetismo". [281] [283] [33]
Gauss fue nombrado Caballero de la Legión de Honor francesa en 1837, [284] y fue tomado como uno de los primeros miembros de la Orden Prusiana Pour le Mérite (clase civil) cuando se estableció en 1842. [285] Recibió la Orden de la Corona de Westfalia (1810), [281] la Orden Danesa de Dannebrog (1817), [281] la Real Orden Güelfa de Hannover (1815), [281] la Orden Sueca de la Estrella Polar (1844), [286] la Orden de Enrique el León (1849), [286] y la Orden Maximiliana de Baviera para la Ciencia y el Arte (1853). [278]
Los reyes de Hannover le concedieron los títulos honoríficos de " Hofrath " (1816) [51] y "Geheimer Hofrath" [aa] (1845). En 1949, con motivo del aniversario de su doctorado, obtuvo la ciudadanía honoraria de las ciudades de Brunswick y Göttingen. [278] Poco después de su muerte, el rey Jorge V de Hannover le otorgó una medalla con la inscripción en el reverso dedicada "al príncipe de los matemáticos". [287]
La "Gauss-Gesellschaft Göttingen" ("Sociedad Gauss de Göttingen") fue fundada en 1964 para investigar la vida y obra de Carl Friedrich Gauss y personas relacionadas y edita las Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft ( Comunicaciones de la Sociedad Gauss ). [288]
La Academia de Ciencias y Humanidades de Göttingen ofrece una colección completa de las cartas conocidas de y para Carl Friedrich Gauss a las que se puede acceder en línea. [34] El patrimonio literario es conservado y proporcionado por la Biblioteca Estatal y Universitaria de Göttingen . [289] También se pueden encontrar materiales escritos de Carl Friedrich Gauss y miembros de su familia en el archivo municipal de Brunswick. [290]
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