En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet ) es una fórmula fundamental que vincula la curvatura de una superficie con su topología subyacente .
En la aplicación más simple, el caso de un triángulo en un plano , la suma de sus ángulos es 180 grados. [1] El teorema de Gauss-Bonnet extiende esto a formas más complicadas y superficies curvas, conectando las geometrías locales y globales.
El teorema recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss , quien desarrolló una versión pero nunca la publicó, y de Pierre Ossian Bonnet , quien publicó un caso especial en 1848. [ no verificado en el cuerpo ]
Supóngase que M es una variedad riemanniana bidimensional compacta con borde ∂ M . Sea K la curvatura gaussiana de M , y sea k g la curvatura geodésica de ∂ M . Entonces [2] [3]
donde dA es el elemento del área de la superficie y ds es el elemento de línea a lo largo del límite de M . Aquí, χ ( M ) es la característica de Euler de M .
Si el límite ∂ M es suave por partes , entonces interpretamos la integral ∫ ∂ M k g ds como la suma de las integrales correspondientes a lo largo de las porciones suaves del límite, más la suma de los ángulos en los que las porciones suaves giran en las esquinas del límite.
Muchas pruebas estándar utilizan el teorema de tangentes de giro, que establece aproximadamente que el número de vueltas de una curva de Jordan es exactamente ±1. [2]
Supongamos que M es el hemisferio norte recortado de una esfera de radio R. Su característica de Euler es 1. En el lado izquierdo del teorema, tenemos y , porque el límite es el ecuador y el ecuador es una geodésica de la esfera. Entonces .
Por otra parte, supongamos que aplanamos el hemisferio para convertirlo en un disco. Esta transformación es un homeomorfismo, por lo que la característica de Euler sigue siendo 1. Sin embargo, en el lado izquierdo del teorema ahora tenemos y , porque una circunferencia no es una geodésica del plano. Entonces .
Por último, tomemos una esfera octante, también homeomorfa a los casos anteriores. Entonces . Ahora casi en todas partes a lo largo del borde, que es un triángulo geodésico. Pero tenemos tres esquinas en ángulo recto, por lo que .
El teorema se aplica en particular a superficies compactas sin borde, en cuyo caso la integral
se puede omitir. Establece que la curvatura gaussiana total de dicha superficie cerrada es igual a 2 π veces la característica de Euler de la superficie. Nótese que para superficies compactas orientables sin límite, la característica de Euler es igual a 2 − 2 g , donde g es el género de la superficie: Cualquier superficie compacta orientable sin límite es topológicamente equivalente a una esfera con algunas asas adjuntas, y g cuenta el número de asas.
Si se dobla y deforma la superficie M , su característica de Euler, al ser una invariante topológica, no cambiará, mientras que las curvaturas en algunos puntos sí lo harán. El teorema establece, de manera un tanto sorprendente, que la integral total de todas las curvaturas permanecerá igual, sin importar cómo se realice la deformación. Por ejemplo, si se tiene una esfera con una "abolladura", entonces su curvatura total es 4 π (la característica de Euler de una esfera es 2), sin importar cuán grande o profunda sea la abolladura.
La compacidad de la superficie es de importancia crucial. Consideremos, por ejemplo, el disco unitario abierto , una superficie de Riemann no compacta sin borde, con curvatura 0 y con característica de Euler 1: la fórmula de Gauss-Bonnet no funciona. Sin embargo, es válida para el disco unitario cerrado compacto, que también tiene característica de Euler 1, debido a la integral de borde agregada con valor 2 π .
Como aplicación, un toro tiene una característica de Euler de 0, por lo que su curvatura total también debe ser cero. Si el toro lleva la métrica riemanniana ordinaria de su incrustación en R 3 , entonces el interior tiene una curvatura gaussiana negativa, el exterior tiene una curvatura gaussiana positiva y la curvatura total es, de hecho, 0. También es posible construir un toro identificando los lados opuestos de un cuadrado, en cuyo caso la métrica riemanniana en el toro es plana y tiene una curvatura constante de 0, lo que nuevamente da como resultado una curvatura total de 0. No es posible especificar una métrica riemanniana en el toro con una curvatura gaussiana positiva o negativa en todas partes.
A veces la fórmula de Gauss-Bonnet se enuncia como
donde T es un triángulo geodésico . Aquí definimos un "triángulo" en M como una región simplemente conectada cuyo límite consta de tres geodésicas . Podemos entonces aplicar GB a la superficie T formada por el interior de ese triángulo y el límite por partes del triángulo.
La curvatura geodésica de las geodésicas limítrofes es 0 y la característica de Euler de T es 1.
Por lo tanto, la suma de los ángulos de giro del triángulo geodésico es igual a 2 π menos la curvatura total dentro del triángulo. Como el ángulo de giro en una esquina es igual a π menos el ángulo interior, podemos reformular esto de la siguiente manera: [4]
En el caso del plano (donde la curvatura gaussiana es 0 y las geodésicas son líneas rectas), recuperamos la fórmula familiar para la suma de los ángulos de un triángulo ordinario. En la esfera estándar, donde la curvatura es en todas partes 1, vemos que la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos es siempre mayor que π .
Una serie de resultados anteriores en geometría esférica y geometría hiperbólica, descubiertos durante los siglos anteriores, fueron considerados casos especiales de Gauss-Bonnet.
En trigonometría esférica y trigonometría hiperbólica , el área de un triángulo es proporcional a la cantidad en la que sus ángulos interiores no suman 180°, o equivalentemente, a la cantidad (inversa) en la que sus ángulos exteriores no suman 360°.
El área de un triángulo esférico es proporcional a su exceso, según el teorema de Girard : la cantidad en la que sus ángulos interiores suman más de 180°, que es igual a la cantidad en la que sus ángulos exteriores suman menos de 360°.
El área de un triángulo hiperbólico , por el contrario, es proporcional a su defecto , según lo establecido por Johann Heinrich Lambert .
El teorema de Descartes sobre el defecto angular total de un poliedro es el análogo poliédrico: establece que la suma del defecto en todos los vértices de un poliedro que es homeomorfo a la esfera es 4 π . De manera más general, si el poliedro tiene la característica de Euler χ = 2 − 2 g (donde g es el género, es decir, "número de agujeros"), entonces la suma del defecto es 2 πχ . Este es el caso especial de Gauss-Bonnet, donde la curvatura se concentra en puntos discretos (los vértices).
Pensando en la curvatura como una medida , en lugar de como una función, el teorema de Descartes es Gauss-Bonnet, donde la curvatura es una medida discreta , y Gauss-Bonnet para medidas generaliza tanto Gauss-Bonnet para variedades suaves como el teorema de Descartes.
Existen varios análogos combinatorios del teorema de Gauss-Bonnet. Enunciamos el siguiente. Sea M una pseudovariedad bidimensional finita . Sea χ ( v ) el número de triángulos que contienen el vértice v . Entonces
donde la primera suma abarca los vértices en el interior de M , la segunda suma abarca los vértices del límite y χ ( M ) es la característica de Euler de M .
Se pueden obtener fórmulas similares para pseudovariedades bidimensionales cuando reemplazamos triángulos con polígonos superiores. Para polígonos de n vértices, debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior con norte/n - 2 y 2 n/n - 2 , respectivamente. Por ejemplo, para los cuadriláteros debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior por 2 y 4, respectivamente. Más específicamente, si M es una variedad digital bidimensional cerrada, el género resulta [5]
donde M i indica el número de puntos de superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie. Esta es la fórmula más simple del teorema de Gauss-Bonnet en el espacio digital tridimensional.
El teorema de Chern (según Shiing-Shen Chern 1945) es la generalización bidimensional n de GB (véase también homomorfismo de Chern-Weil ).
El teorema de Riemann-Roch también puede verse como una generalización de GB a variedades complejas .
Una generalización de largo alcance que incluye todos los teoremas mencionados anteriormente es el teorema del índice de Atiyah-Singer .
Una generalización a 2-variedades que no necesitan ser compactas es la desigualdad de Cohn-Vossen .
En la novela Diáspora de Greg Egan , dos personajes discuten la derivación de este teorema.
El teorema se puede utilizar directamente como sistema para controlar la escultura; por ejemplo, en el trabajo de Edmund Harriss en la colección del University of Arkansas Honors College . [6]
