Topología

[1]​ Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas.La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.Esto hace referencia a que, en la geometría euclídea, dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc.), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, área, longitud, volumen y otras.Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial.Por un lado, puede llevar a pensar que la topología trata solo de objetos y conceptos geométricos, siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos.En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto.Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido, pues representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.El término topología fue usado por primera vez por Johann Benedict Listing en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie ('Estudios previos a la topología'), publicado en 1847.A los elementos del espacio se les llama puntos, así quesea una función, un vector, un conjunto, un ideal maximal en un anillo conmutativo y unitario.Por otra parte, precisamente la manera en que quede determinada una topología sobre un conjunto (es decir, la elección del criterio que nos permita decidir si un conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carácter "visualizable" o no a ese espacio topológico.En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio topológico o los entornos de un punto.Así, existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, comoUn espacio topológico se dice que cumple el Segundo Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existe alguna base de su topología que tenga cardinalidad numerable.Los entornos abiertos son un tipo de entornos muy útiles (sobre todo en Geometría y Análisis) y muy usados, tanto que en muchas ocasiones se omite el calificativo abierto.El interior puede obtenerse también como la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, y la clausura como la intersección de todos los cerrados que contienen al conjunto.Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto.La topología lo que hace en este problema es aportar las herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de vista conceptual y cualitativo.Otro concepto totalmente fundamental estudiado en esta rama es el de aplicación continua.entre dos espacios topológicos se dice que es continua si dado cualquier conjuntoUn espacio es compacto si para todo recubrimiento por abiertos (familia de abiertos cuya unión contiene al espacio total X) existe subrecubrimiento finito (familia finita de abiertos, formada solo por conjuntos de la familia anterior, cuya unión contiene a X).En un espacio métrico, un conjunto compacto cumple dos condiciones: es "cerrado", es decir contiene a todos sus puntos frontera; y es "acotado", es decir es posible trazar una bola que lo contenga, aunque la recíproca no es necesariamente cierta.Es decir, pueden existir conjuntos cerrados y acotados que no sean compactos.La compacidad es una propiedad muy importante en topología, así como en Geometría y en Análisis Matemático.Las propiedades de separación son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nos indican la "resolución" o "finura del grano" de una topología.De manera más precisa, un conjunto es denso si su clausura topológica es todo el espacio.Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjunto denso y numerable.Para comprender sucintamente estas cuestiones, volvamos a los ejemplos de conjuntos conexos.Según hemos dicho, una rejilla, una bola de hierro o una esponja son conjuntos conexos.