Hay muchos tipos de tensores, incluidos escalares y vectores (que son los tensores más simples), vectores duales, aplicaciones multilineales entre espacios vectoriales e incluso algunas operaciones como el producto escalar.Los tensores se definen independientemente de cualquier base, aunque a menudo se hace referencia a ellos por sus componentes en una base relacionada con un sistema de coordenadas particular.En algunas áreas, los campos tensoriales son tan omnipresentes que a menudo se les llama simplemente "tensores".Así como un vector en un espacio n-dimensional está representado por una matriz unidimensional con n componentes con respecto a una determinada base, cualquier tensor con respecto a una base está representado por una matriz multidimensional.Por ejemplo, un operador lineal se representa sobre una base como una matriz bidimensional cuadrada n × n. Los números en la matriz multidimensional se conocen como los componentes escalares del tensor o simplemente sus componentes.Sin embargo, el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.Como ejemplo simple, la matriz de un operador lineal con respecto a una base es un arreglo rectangularLas combinaciones de componentes covariantes y contravariantes con el mismo índice nos permiten expresar invariantes geométricas.Por ejemplo, el hecho de que un vector sea el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas puede ser capturado por las siguientes ecuaciones, usando las fórmulas definidas anteriormente: dondeinmediatamente se puede ver que es geométricamente idéntica en todos los sistemas de coordenadas.. De manera similar, un operador lineal, visto como un objeto geométrico, en realidad no depende de una base: es solo una aplicación lineal que acepta un vector como argumento y produce otro vector.Estos componentes se transforman de forma contravariante, ya que La ley de transformación para un tensor de orden p + q con p índices contravariantes y q índices covariantes queda expresada como, Aquí, los índices con comilla denotan componentes en las nuevas coordenadas, y los índices sin comilla denotan las componentes en las coordenadas antiguas.Se dice que tal tensor es de orden o tipo (p, q).Los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" se utilizan a veces para el mismo concepto.Aquí, el término "orden" u "orden total" se utilizará para la dimensión total de la matriz (o su generalización en otras definiciones), p + q en el ejemplo anterior, y el término "tipo" para el par que da el número de índices contravariantes y covariantes.Un enfoque que es común en la geometría diferencial es definir tensores en relación con un espacio vectorial fijo (de dimensión finita) V, que generalmente se considera un espacio vectorial particular de algún significado geométrico como el espacio tangente a una variedad.Lo anterior supone que V es un espacio vectorial sobre los números reales, ℝ.De manera más general, V se puede tomar sobre cualquier campo F (por ejemplo los números complejos), con F reemplazando a ℝ como el codominio de las aplicaciones multilineales.Aplicando una aplicación multilineal T del tipo (p, q) a una base {ej} paraV y una cobasis canónica {εi} para V∗, se obtiene un arreglo (p + q)-dimensional de componentes.Además, tal matriz se puede realizar como los componentes de alguna aplicación T multilineal.Esta aplicación lineal es un isomorfismo en dimensiones finitas y, a menudo, es conveniente identificar V con su doble dual.Para algunas aplicaciones matemáticas, a veces es útil un enfoque más abstracto.Usando las propiedades del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes satisfacen la ley de transformación para un tensor de tipo (p, q).Por otra parte, la propiedad universal del producto tensorial da una correspondencia 1-a-1 entre tensores definidos de esta manera y tensores definidos como funciones multilineales.Esta correspondencia 1 a 1 se puede archivar de la siguiente manera, porque en el caso de dimensión finita existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual:[7] Los productos tensoriales se pueden definir con gran generalidad, por ejemplo, que involucran módulos arbitrarios sobre un anillo.En principio, se podría definir un "tensor" simplemente como un elemento de cualquier producto tensorial.[10] En muchas aplicaciones, especialmente en geometría diferencial y física, es natural considerar un tensor con componentes que son funciones del punto en un espacio.[1] En este contexto, a menudo se elige una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente.Entonces, en estas redes neuronales se realizan operaciones matemáticas sobre tensores o arreglos multidimensionales.También es de notar que TensorFlow es más eficiente en máquinas de tipo clúster, donde un nodo maestro reparte el cálculo correspondiente al TensorFlow entre varias máquinas, de tal forma que el cálculo sea más eficiente y rápido; esto es conocido como TensorFlow distribuido.
El
tensor de tensiones de Cauchy
de segundo orden(
) describe las fuerzas de tensión experimentadas por un material en un punto dado. El producto
del tensor de tensiones y el vector unidad
, que apunta en una determinada dirección, es un vector que describe las fuerzas de tensión experimentadas por el material en el punto descrito por el tensor de tensiones, en un plano perpendicular a
. La imagen muestra los vectores de tensiones a lo largo de tres direcciones perpendiculares, cada una de ellas representada por una cara del cubo. Dado que el tensor de tensiones describe una aplicación que toma un vector como entrada, y provee un vector como resultado, es que es un tensor de segundo orden.
