[2] Los índices son meros marcadores de posición, no están relacionados con ninguna base y, en particular, no son numéricos.
Por tanto, no deben confundirse con los índices utilizados en el cálculo de Ricci.
Considérese, por ejemplo, un tensor covariante de orden 2
que se pueden representar como un par de ranuras: La notación de índice abstracta es simplemente un etiquetado de las ranuras con letras latinas, que no tienen ningún significado aparte de su designación como etiquetas de las ranuras (es decir, no son numéricas): Una contracción tensorial (o traza) entre dos tensores se representa mediante la repetición de una etiqueta de índice, donde una etiqueta es contravariante (un "superíndice" correspondiente al factor
) y una etiqueta es covariante (un "subíndice" correspondiente al factor
Así, por ejemplo, es la traza de un tensor
, como Ahora, se etiqueta cada factor en este producto tensorial con una letra latina en una posición elevada (superíndice) para cada factor
De esta manera, se escribe el producto como o simplemente Las dos últimas expresiones denotan el mismo objeto que la primera.
Los tensores de este tipo se denotan mediante una notación similar, como por ejemplo: En general, siempre que se presentan un factor contravariante y un factor covariante en un producto tensorial de espacios, se produce una aplicación de "contracción" (o "traza") asociado.
Así, la primera aplicación de trazas viene dada por y la segunda por Para cualquier producto tensorial en un solo espacio vectorial, existen aplicaciones de trenzado asociadas.
Por ejemplo, la aplicación de trenzado intercambia los dos factores tensoriales (de modo que su acción sobre tensores simples viene dada por
En general, las aplicaciones de trenzado están en correspondencia uno a uno con elementos del grupo simétrico, y actúan permutando los factores tensoriales.
para denotar la aplicación de trenzado asociada a la permutación
(representada como un producto de permutaciones cíclicas disjuntas).
Las aplicaciones de trenzado son importantes en geometría diferencial, por ejemplo, para expresar la identidad de Bianchi.
En un producto tensorial particular, se fija un orden de los índices abstractos (normalmente se trata de un orden lexicográfico).
Entonces, el trenzado se representa en la notación permutando las etiquetas de los índices.
Así, por ejemplo, con el tensor de Riemann la identidad de Bianchi se convierte en Un tensor general puede estar antisimetrizado o simetrizado, y existe una notación correspondiente.
Se antisimetriza el tensor de tipo (0,3)
De manera similar, se puede simetrizar