Transformada de Fourier

Transformada matemática que expresa una función del tiempo como función de la frecuencia

Un ejemplo de aplicación de la transformada de Fourier es la determinación de los tonos constituyentes en una forma de onda musical . Esta imagen es el resultado de aplicar una transformada de Q constante (una transformada relacionada con Fourier ) a la forma de onda de un acorde de piano en do mayor . Los primeros tres picos de la izquierda corresponden a las frecuencias de la frecuencia fundamental del acorde (do, mi, sol). Los picos más pequeños restantes son armónicos de frecuencia más alta de los tonos fundamentales. Un algoritmo de detección de tonos podría utilizar la intensidad relativa de estos picos para inferir qué notas presionó el pianista.

En física , ingeniería y matemáticas , la transformada de Fourier ( FT ) es una transformada integral que toma una función como entrada y genera otra función que describe el grado en el que varias frecuencias están presentes en la función original. La salida de la transformada es una función de frecuencia de valor complejo . El término transformada de Fourier se refiere tanto a esta función de valor complejo como a la operación matemática . Cuando es necesario hacer una distinción, la salida de la operación a veces se denomina representación del dominio de frecuencia de la función original. La transformada de Fourier es análoga a descomponer el sonido de un acorde musical en las intensidades de sus tonos constituyentes .

La transformada de Fourier relaciona el dominio del tiempo, en rojo, con una función en el dominio de la frecuencia, en azul. Las frecuencias componentes, extendidas a todo el espectro de frecuencias, se muestran como picos en el dominio de la frecuencia.

La sinusoide roja se puede describir por la amplitud de pico (1), la relación pico a pico (2), el valor eficaz (3) y la longitud de onda (4). Las sinusoides roja y azul tienen una diferencia de fase de θ .

Las funciones que se localizan en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se extienden a lo largo del dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como el principio de incertidumbre. El caso crítico de este principio es la función gaussiana , de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y la estadística , así como en el estudio de los fenómenos físicos que exhiben una distribución normal (por ejemplo, la difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo las transformadas de seno y coseno (que corresponden a los componentes imaginarios y reales de la transformada de Fourier moderna) en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor .

La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann impropia , lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. ^{[nota 1]} Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac , que se puede tratar formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. ^{[nota 2]}

La transformada de Fourier también se puede generalizar a funciones de varias variables en el espacio euclidiano , enviando una función del 'espacio de posición' tridimensional a una función del momento tridimensional (o una función del espacio y el tiempo a una función del momento cuatridimensional ). Esta idea hace que la transformada de Fourier espacial sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar soluciones de ondas como funciones de la posición o del momento y, a veces, de ambos. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier son de valor complejo y, posiblemente, de valor vectorial . ^{[nota 3]} Es posible una generalización aún mayor a funciones sobre grupos , que, además de la transformada de Fourier original sobre R o R ⁿ , incluye notablemente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = Z ), la transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = Z mod N ) y la serie de Fourier o transformada de Fourier circular (grupo = S 1 , el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea rutinariamente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.

Definición

La transformada de Fourier es un proceso de análisis que descompone una función de valor complejo en sus frecuencias constituyentes y sus amplitudes. El proceso inverso es la síntesis , que recrea a partir de su transformada. ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle f(x)}$

Podemos empezar con una analogía, la serie de Fourier , que analiza en un intervalo acotado para algún número real positivo Las frecuencias constituyentes son un conjunto discreto de armónicos en frecuencias cuya amplitud y fase están dadas por la fórmula de análisis: La serie de Fourier real es la fórmula de síntesis: En un intervalo ilimitado, las frecuencias constituyentes son un continuo : ^{[1] [2] [3]} y se reemplaza por una función : ^[4] ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$$ ${\displaystyle P\to \infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle c_{n}}$

Transformada de Fourier

Evaluando la ecuación 1 para todos los valores de se obtiene la función en el dominio de la frecuencia . La integral puede divergir en algunas frecuencias. (ver § Transformada de Fourier para funciones periódicas) Pero converge para todas las frecuencias cuando decae con todas las derivadas como : . (Ver función de Schwartz ). Por el lema de Riemann-Lebesgue , la función transformada también decae con todas las derivadas. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

El número complejo , en coordenadas polares, transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia. La interpretación intuitiva de la ecuación 1 es que el efecto de multiplicar por es restar de cada componente de frecuencia de la función ^{[nota 4].} Solo el componente que estaba en frecuencia puede producir un valor distinto de cero de la integral infinita, porque (al menos formalmente) todos los demás componentes desplazados son oscilatorios y se integran a cero. (ver § Ejemplo) ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

La fórmula de síntesis correspondiente es:

Transformada inversa

La ecuación 2 es una representación de una suma ponderada de funciones exponenciales complejas. ${\displaystyle f(x)}$

Esto también se conoce como el teorema de inversión de Fourier y se introdujo por primera vez en la teoría analítica del calor de Fourier . ^{[5] [6] [7] [8]}

Las funciones y se denominan pares de transformadas de Fourier . ^[9]   Una notación común para designar pares de transformadas es : ^[10]   por ejemplo   ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Definición de funciones integrables de Lebesgue

Hasta ahora, hemos estado tratando con funciones de Schwartz, que decaen rápidamente en el infinito, con todas las derivadas. Esto excluye muchas funciones de importancia práctica de la definición, como la función rect . Una función medible se llama (Lebesgue) integrable si la integral de Lebesgue de su valor absoluto es finita: Dos funciones mesurables son equivalentes si son iguales excepto en un conjunto de medida cero. El conjunto de todas las clases de equivalencia de funciones integrables se denota . Entonces: ^[11] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

Definición  :  La transformada de Fourier de una función integrable de Lebesgue se define mediante la fórmula Eq.1 . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

La ecuación integral 1 está bien definida para todos debido al supuesto . (Se puede demostrar que la función está acotada y es uniformemente continua en el dominio de la frecuencia y, además, por el lema de Riemann-Lebesgue , es cero en el infinito). ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

Sin embargo, la clase de funciones integrables de Lebesgue no es ideal desde el punto de vista de la transformada de Fourier porque no existe una caracterización fácil de la imagen y, por lo tanto, no existe una caracterización fácil de la transformada inversa.

Unitaridad y definición de funciones integrables al cuadrado

Si bien la ecuación 1 define la transformada de Fourier para funciones (de valores complejos) en , es fácil ver que no está bien definida para otras clases de integrabilidad, la más importante es . Para las funciones en , y con las convenciones de la ecuación 1 , la transformada de Fourier es un operador unitario con respecto al producto interno de Hilbert en , restringido al subespacio denso de funciones integrables. Por lo tanto, admite una extensión continua única a un operador unitario en , también llamado transformada de Fourier. Esta extensión es importante en parte porque la transformada de Fourier preserva el espacio de modo que, a diferencia del caso de , la transformada de Fourier y la transformada inversa están en el mismo pie de igualdad, siendo transformaciones del mismo espacio de funciones para sí mismo. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Es importante destacar que, para las funciones en , la transformada de Fourier ya no está dada por la Ec.1 (interpretada como una integral de Lebesgue). Por ejemplo, la función está en pero no en , por lo que la integral Ec.1 diverge. En tales casos, la transformada de Fourier se puede obtener explícitamente regularizando la integral y luego pasándola a un límite. En la práctica, la integral a menudo se considera como una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue propiamente dicha, pero a veces para la convergencia es necesario utilizar un límite débil o un valor principal en lugar de los límites (puntuales) implícitos en una integral impropia. Titchmarsh (1986) y Dym & McKean (1985) dan cada uno tres formas rigurosas de extender la transformada de Fourier a funciones integrables al cuadrado utilizando este procedimiento. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Las convenciones elegidas en este artículo son las del análisis armónico , y se caracterizan como las únicas convenciones tales que la transformada de Fourier es a la vez unitaria en L ² y un homomorfismo algebraico de L ¹ a L ^∞ , sin renormalizar la medida de Lebesgue. ^[12]

Frecuencia angular (ω)

Cuando la variable independiente ( ) representa el tiempo (que suele denotarse con ), la variable de transformada ( ) representa la frecuencia (que suele denotarse con ). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos , la frecuencia se mide en hercios . La transformada de Fourier también se puede escribir en términos de frecuencia angular , cuyas unidades son radianes por segundo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

La sustitución en la ecuación 1 produce esta convención, donde la función se vuelve a etiquetar A diferencia de la definición de la ecuación 1 , la transformada de Fourier ya no es una transformación unitaria y hay menos simetría entre las fórmulas para la transformada y su inversa. Esas propiedades se restauran dividiendo el factor de manera uniforme entre la transformada y su inversa, lo que conduce a otra convención: Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de la transformada directa y la inversa. Los signos deben ser opuestos. ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

Ampliación de la definición

Para , la transformada de Fourier se puede definir mediante la interpolación de Marcinkiewicz . ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

La transformada de Fourier se puede definir en dominios distintos de la línea real. La transformada de Fourier en el espacio euclidiano y la transformada de Fourier en grupos abelianos locales se analizan más adelante en este artículo.

La transformada de Fourier también se puede definir para distribuciones templadas , duales del espacio de funciones decrecientes rápidamente ( funciones de Schwartz ). Una función de Schwartz es una función suave que decae en el infinito, junto con todas sus derivadas. El espacio de funciones de Schwartz se denota por , y su dual es el espacio de distribuciones templadas. Es fácil ver, al derivar bajo la integral y aplicar el lema de Riemann-Lebesgue, que la transformada de Fourier de una función de Schwartz (definida por la fórmula Eq.1 ) es nuevamente una función de Schwartz. La transformada de Fourier de una distribución templada se define por dualidad: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Existen muchas otras caracterizaciones de la transformada de Fourier. Por ejemplo, se utiliza el teorema de Stone-von Neumann : la transformada de Fourier es el único entrelazador unitario para las representaciones simpléctica y euclidiana de Schrödinger del grupo de Heisenberg .

Fondo

Historia

En 1822, Fourier afirmó (véase Joseph Fourier § La teoría analítica del calor ) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. ^[13] Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para proporcionar la base para las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

Fig.1 Cuando la función se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginaria y real gira alrededor del origen. Su parte real es una onda coseno. ${\displaystyle A\cdot e^{i2\pi \xi t}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Sinusoides complejos

En general, los coeficientes son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (ver fórmula de Euler ): ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

El producto con ( Eq.2 ) tiene estas formas: ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$

Es de destacar la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar, y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante una aplicación de la fórmula de Euler.

Frecuencia negativa

La fórmula de Euler introduce la posibilidad de negativa   Y la ecuación 1 está definida . Solo ciertas transformadas de valor complejo tienen transformadas (ver Señal analítica . Un ejemplo simple es ) Pero la frecuencia negativa es necesaria para caracterizar todas las demás transformadas de valor complejo que se encuentran en el procesamiento de señales , ecuaciones diferenciales parciales , radar , óptica no lineal , mecánica cuántica y otras. ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

Para una ecuación de valor real, la ecuación 1 tiene la propiedad de simetría (ver § Conjugación a continuación). Esta redundancia permite que la ecuación 2 se distinga de   Pero, por supuesto, no puede decirnos el signo real de porque y son indistinguibles solo en la línea de números reales. ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

Transformada de Fourier para funciones periódicas

La transformada de Fourier de una función periódica no se puede definir utilizando directamente la fórmula integral. Para que la integral en la ecuación 1 se defina, la función debe ser absolutamente integrable . En su lugar, es común utilizar series de Fourier . Es posible ampliar la definición para incluir funciones periódicas al considerarlas como distribuciones templadas .

Esto permite ver una conexión entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier para funciones periódicas que tienen una serie de Fourier convergente . Si es una función periódica , con período , que tiene una serie de Fourier convergente, entonces: donde son los coeficientes de la serie de Fourier de , y es la función delta de Dirac . En otras palabras, la transformada de Fourier es una función de peine de Dirac cuyos dientes se multiplican por los coeficientes de la serie de Fourier. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

Muestreo de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función integrable se puede muestrear a intervalos regulares de longitud arbitraria. Estas muestras se pueden deducir de un ciclo de una función periódica que tiene coeficientes de serie de Fourier proporcionales a esas muestras mediante la fórmula de suma de Poisson : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$ $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

La integrabilidad de garantiza la convergencia de la suma periódica. Por lo tanto, las muestras se pueden determinar mediante el análisis de series de Fourier: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

Cuando tiene un soporte compacto , tiene un número finito de términos dentro del intervalo de integración. Cuando no tiene un soporte compacto, la evaluación numérica de requiere una aproximación, como reducir o truncar el número de términos. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplo

Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la integral de la transformada de Fourier mide si una frecuencia está presente en una función particular. La primera imagen representa la función que es una onda coseno de 3  Hz (el primer término) formada por una función envolvente gaussiana (el segundo término) que enciende y apaga suavemente la onda. Las siguientes 2 imágenes muestran el producto que debe integrarse para calcular la transformada de Fourier a +3 Hz. La parte real del integrando tiene un valor promedio no negativo, porque los signos alternos de y oscilan a la misma velocidad y en fase, mientras que y oscilan a la misma velocidad pero con fase ortogonal. El valor absoluto de la transformada de Fourier a +3 Hz es 0,5, que es relativamente grande. Cuando se suma a la transformada de Fourier a -3 Hz (que es idéntica porque comenzamos con una señal real), encontramos que la amplitud del componente de frecuencia de 3 Hz es 1. ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

Función original, que tiene un fuerte componente de 3 Hz. Partes real e imaginaria del integrando de su transformada de Fourier a +3 Hz.

Sin embargo, cuando se intenta medir una frecuencia que no está presente, tanto el componente real como el imaginario de la integral varían rápidamente entre valores positivos y negativos. Por ejemplo, la curva roja busca 5 Hz. El valor absoluto de su integral es casi cero, lo que indica que casi no había ningún componente de 5 Hz en la señal. La situación general suele ser más complicada que esto, pero heurísticamente así es como la transformada de Fourier mide qué cantidad de una frecuencia individual está presente en una función. ${\displaystyle f(t).}$

• 
  Partes real e imaginaria del integrando para su transformada de Fourier a +5 Hz.
• 
  Magnitud de su transformada de Fourier, con +3 y +5 Hz etiquetados.

Para reforzar un punto anterior, la razón de la respuesta en   Hz es que     y     son indistinguibles. La transformada de     tendría solo una respuesta, cuya amplitud es la integral de la envolvente suave:   mientras   que es   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

Propiedades de la transformada de Fourier

Sean y representen funciones integrables Lebesgue-medibles en la recta real que satisfacen: Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como y respectivamente. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

Propiedades básicas

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: ^[14]

Linealidad

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

Cambio de hora

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

Cambio de frecuencia

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

Escala de tiempo

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$El caso conduce a la propiedad de inversión temporal : ${\displaystyle a=-1}$ $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

Simetría

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}}$$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real es la función simétrica conjugada . Por el contrario, una transformada simétrica conjugada implica un dominio de tiempo de valor real. ${\displaystyle (f_{_{RE}}+f_{_{RO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.}$
• La transformada de una función de valor imaginario es la función antisimétrica conjugada y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},}$
• La transformada de una función simétrica conjugada es la función de valor real y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},}$
• La transformada de una función antisimétrica conjugada es la función de valor imaginario y la recíproca es verdadera. ${\displaystyle (f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})}$ ${\displaystyle i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},}$

Conjugación

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$(Nota: el ∗ denota conjugación compleja ).

En particular, si es real , entonces es incluso simétrica (también conocida como función hermítica ): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

Y si es puramente imaginario, entonces es impar simétrico : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

Parte real e imaginaria del tiempo

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

Componente de frecuencia cero

Sustituyendo en la definición, obtenemos: ${\displaystyle \xi =0}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

La integral de sobre su dominio se conoce como valor promedio o polarización continua de la función. ${\displaystyle f}$

Invertibilidad y periodicidad

En condiciones adecuadas en la función , se puede recuperar a partir de su transformada de Fourier . De hecho, denotando el operador de transformada de Fourier por , por lo que , entonces para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: , que puede interpretarse como "tiempo invertido". Dado que el tiempo invertido es biperiódico, aplicar esto dos veces produce , por lo que el operador de transformada de Fourier es cuatriperiódico, y de manera similar, la transformada de Fourier inversa se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: . En particular, la transformada de Fourier es invertible (en condiciones adecuadas). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

Más precisamente, definiendo el operador de paridad tal que , tenemos: Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad casi en todas partes ?) y definiendo la igualdad de operadores – es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y el espacio de operadores en cuestión. Estas no son verdaderas para todas las funciones, pero son verdaderas bajo varias condiciones, que son el contenido de las varias formas del teorema de inversión de Fourier . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano de 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión, y de hecho esta analogía se puede hacer precisa. Mientras que la transformada de Fourier se puede interpretar simplemente como cambiar el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada de Fourier inversa cambiándolos de nuevo, más geométricamente se puede interpretar como una rotación de 90° en el dominio del tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el eje x y la frecuencia como el eje y ), y la transformada de Fourier se puede generalizar a la transformada de Fourier fraccionaria , que implica rotaciones de otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a las transformaciones canónicas lineales , que se pueden visualizar como la acción del grupo lineal especial SL ₂ ( R ) en el plano de tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre, a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , en el análisis de tiempo-frecuencia .

Unidades

La variable de frecuencia debe tener unidades inversas a las unidades del dominio de la función original (normalmente denominadas t o x ). Por ejemplo, si t se mide en segundos, ξ debería estar en ciclos por segundo o hercios . Si la escala de tiempo está en unidades de 2 π segundos, normalmente se utiliza otra letra griega ω para representar la frecuencia angular (donde ω = 2π ξ ) en unidades de radianes por segundo. Si se utiliza x para unidades de longitud, entonces ξ debe estar en longitud inversa, por ejemplo, números de onda . Es decir, hay dos versiones de la línea real: una que es el rango de t y se mide en unidades de t , y la otra que es el rango de ξ y se mide en unidades inversas a las unidades de t . Estas dos versiones distintas de la línea real no se pueden equiparar entre sí. Por tanto, la transformada de Fourier va de un espacio de funciones a un espacio de funciones diferente: funciones que tienen un dominio de definición diferente.

En general, ξ debe tomarse siempre como una forma lineal en el espacio de su dominio, es decir, que la segunda línea real es el espacio dual de la primera línea real. Véase el artículo sobre álgebra lineal para una explicación más formal y para más detalles. Este punto de vista se vuelve esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría generales , incluido el caso de las series de Fourier.

El hecho de que no exista una única forma preferida (a menudo se dice "ninguna forma canónica") de comparar las dos versiones de la línea real que intervienen en la transformada de Fourier (fijar las unidades en una línea no fuerza la escala de las unidades en la otra) es la razón de la plétora de convenciones rivales sobre la definición de la transformada de Fourier. Las diversas definiciones resultantes de las distintas opciones de unidades difieren en varias constantes.

En otras convenciones, la transformada de Fourier tiene i en el exponente en lugar de − i , y viceversa para la fórmula de inversión. Esta convención es común en la física moderna ^[15] y es la predeterminada para Wolfram Alpha, y no significa que la frecuencia se haya vuelto negativa, ya que no existe una definición canónica de positividad para la frecuencia de una onda compleja. Simplemente significa que es la amplitud de la onda     en lugar de la onda   (la primera, con su signo menos, se ve a menudo en la dependencia del tiempo para soluciones de ondas planas sinusoidales de la ecuación de onda electromagnética , o en la dependencia del tiempo para funciones de onda cuántica ). Muchas de las identidades que involucran la transformada de Fourier siguen siendo válidas en esas convenciones, siempre que todos los términos que involucran explícitamente i lo tengan reemplazado por − i . En ingeniería eléctrica, la letra j se usa típicamente para la unidad imaginaria en lugar de i porque i se usa para corriente. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

Al utilizar unidades adimensionales , los factores constantes podrían ni siquiera estar escritos en la definición de la transformada. Por ejemplo, en teoría de la probabilidad , la función característica Φ de la función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X de tipo continuo se define sin un signo negativo en la exponencial, y como las unidades de x se ignoran, tampoco hay 2 π : $${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

(En teoría de probabilidad y en estadística matemática, se prefiere el uso de la transformada de Fourier-Stieltjes, porque muchas variables aleatorias no son de tipo continuo y no poseen una función de densidad, y uno debe tratar no funciones sino distribuciones , es decir, medidas que poseen "átomos".)

Desde el punto de vista más elevado de los caracteres de grupo , que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de transformada de Fourier de una función en un grupo abeliano localmente compacto .

Continuidad uniforme y el lema de Riemann-Lebesgue

La función rectangular es integrable según Lebesgue .

La función sinc , que es la transformada de Fourier de la función rectangular, es acotada y continua, pero no integrable según el método de Lebesgue.

La transformada de Fourier puede definirse en algunos casos para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables tienen varias propiedades importantes.

La transformada de Fourier f̂ de cualquier función integrable f es uniformemente continua y ^[16] $${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

Por el lema de Riemann-Lebesgue , ^[11] $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

Sin embargo, no es necesario que sean integrables. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable según el método de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de manera análoga a las series armónicas alternas , al converger a una suma sin ser absolutamente convergentes . ${\displaystyle {\hat {f}}}$

En general, no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando tanto f como son integrables, la igualdad inversa se cumple para casi todo x . Como resultado, la transformada de Fourier es inyectiva en L 1 ( R ) . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

Teorema de Plancherel y teorema de Parseval

Página principal: Teorema de Plancherel

Sean f ( x ) y g ( x ) integrables, y sean f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) sus transformadas de Fourier. Si f ( x ) y g ( x ) también son integrables al cuadrado , entonces la fórmula de Parseval es la siguiente: ^[17]

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$donde la barra denota conjugación compleja .

El teorema de Plancherel , que se desprende de lo anterior, establece que ^[18] $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en L ² ( R ) . En L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R ) , esta extensión concuerda con la transformada de Fourier original definida en L ¹ ( R ) , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a L ¹ ( R ) + L ² ( R ) (y en consecuencia a L ^p ( R ) para 1 ≤ p ≤ 2 ). El teorema de Plancherel tiene la interpretación en las ciencias de que la transformada de Fourier preserva la energía de la cantidad original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró solo para series de Fourier, y fue demostrado por primera vez por Lyapunov. Pero la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, y aunque en el contexto de la transformada de Fourier fue demostrada por Plancherel, todavía se suele hacer referencia a ella como la fórmula de Parseval, o la relación de Parseval, o incluso el teorema de Parseval.

Véase la dualidad de Pontryagin para una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

Fórmula de suma de Poisson

La fórmula de suma de Poisson (PSF) es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada de Fourier continua de la función. La fórmula de suma de Poisson dice que para funciones suficientemente regulares f , $${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$$

Tiene una variedad de formas útiles que se derivan de la básica mediante la aplicación de las propiedades de escala y desplazamiento temporal de la transformada de Fourier. La fórmula tiene aplicaciones en ingeniería, física y teoría de números . El dual en el dominio de la frecuencia de la fórmula de suma de Poisson estándar también se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto .

La suma de Poisson se asocia generalmente con la física de los medios periódicos, como la conducción de calor en un círculo. La solución fundamental de la ecuación del calor en un círculo se llama función theta . Se utiliza en la teoría de números para demostrar las propiedades de transformación de las funciones theta, que resultan ser un tipo de forma modular , y está conectada de manera más general con la teoría de las formas automórficas donde aparece en un lado de la fórmula de traza de Selberg .

Diferenciación

Supóngase que f ( x ) es una función diferenciable absolutamente continua, y tanto f como su derivada f′ son integrables. Entonces la transformada de Fourier de la derivada está dada por De manera más general, la transformada de Fourier de la n ésima derivada f ^{( n )} está dada por $${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$$ $${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$$

Análogamente, , por lo que ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

Aplicando la transformada de Fourier y utilizando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden transformarse en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla general " f ( x ) es suave si y solo si f̂ ( ξ ) cae rápidamente a 0 para | ξ | → ∞ ." Utilizando las reglas análogas para la transformada de Fourier inversa, también se puede decir " f ( x ) cae rápidamente a 0 para | x | → ∞ si y solo si f̂ ( ξ ) es suave."

Teorema de convolución

La transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones. Si f ( x ) y g ( x ) son funciones integrables con transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) (bajo otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si: donde ∗ denota la operación de convolución, entonces: $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

En la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) , es común interpretar g ( x ) como la respuesta al impulso de un sistema LTI con entrada f ( x ) y salida h ( x ) , ya que al sustituir el impulso unitario por f ( x ) se obtiene h ( x ) = g ( x ) . En este caso, ĝ ( ξ ) representa la respuesta en frecuencia del sistema.

Por el contrario, si f ( x ) puede descomponerse como el producto de dos funciones integrables al cuadrado p ( x ) y q ( x ) , entonces la transformada de Fourier de f ( x ) está dada por la convolución de las respectivas transformadas de Fourier p̂ ( ξ ) y q̂ ( ξ ) .

Teorema de correlación cruzada

De manera análoga, se puede demostrar que si h ( x ) es la correlación cruzada de f ( x ) y g ( x ) : entonces la transformada de Fourier de h ( x ) es: $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

Como caso especial, la autocorrelación de la función f ( x ) es: para lo cual $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

Funciones propias

La transformada de Fourier es una transformada lineal que tiene funciones propias que obedecen a ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

Se obtiene un conjunto de funciones propias observando que la ecuación diferencial homogénea conduce a funciones propias de la transformada de Fourier siempre que la forma de la ecuación permanezca invariable bajo la transformada de Fourier. ^{[nota 5]} En otras palabras, cada solución y su transformada de Fourier obedecen a la misma ecuación. Suponiendo la unicidad de las soluciones, cada solución debe ser, por tanto, una función propia de la transformada de Fourier. La forma de la ecuación permanece invariable bajo la transformada de Fourier si se puede expandir en una serie de potencias en la que para todos los términos el mismo factor de cualquiera de los dos surge de los factores introducidos por las reglas de diferenciación al aplicar la transformada de Fourier a la ecuación diferencial homogénea porque este factor puede entonces cancelarse. La opción más simple permitida conduce a la distribución normal estándar . ^[19] $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

De manera más general, también se encuentra un conjunto de funciones propias observando que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria con constante y siendo una función par no constante permanece invariante en forma al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más simple lo proporciona que es equivalente a considerar la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico . ^[20] Las soluciones correspondientes proporcionan una elección importante de una base ortonormal para L 2 ( R ) y están dadas por las funciones de Hermite del "físico" . De manera equivalente, se puede utilizar donde He _n ( x ) son los polinomios de Hermite del "probabilista" , definidos como $${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que $${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de funciones propias para la transformada de Fourier en L ² ( R ) . ^{[14] [21]} Sin embargo, esta elección de funciones propias no es única. Debido a que solo hay cuatro valores propios diferentes de la transformada de Fourier (las raíces cuartas de la unidad ±1 y ± i ) y cualquier combinación lineal de funciones propias con el mismo valor propio da otra función propia. ^[22] Como consecuencia de esto, es posible descomponer L ² ( R ) como una suma directa de cuatro espacios H ₀ , H ₁ , H ₂ y H ₃ donde la transformada de Fourier actúa sobre He _k simplemente por multiplicación por i ^k . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite ψ _n proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier se puede representar mediante una suma de términos ponderada por los valores propios anteriores, y estas sumas se pueden sumar explícitamente: $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue propuesto por primera vez por Norbert Wiener . ^[23] Entre otras propiedades, las funciones de Hermite decrecen exponencialmente rápido tanto en el dominio de la frecuencia como en el del tiempo, y por lo tanto se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, a saber, la transformada de Fourier fraccionaria utilizada en el análisis de tiempo-frecuencia. ^[24] En física , esta transformada fue introducida por Edward Condon . ^[25] Este cambio de funciones de base se hace posible porque la transformada de Fourier es una transformada unitaria cuando se utilizan las convenciones correctas. En consecuencia, bajo las condiciones adecuadas se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto a través de ^[26] ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

El operador es el operador numérico del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[27] [28]} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

Puede interpretarse como el generador de transformadas de Fourier fraccionarias para valores arbitrarios de t , y de la transformada de Fourier continua convencional para el valor particular con el núcleo de Mehler implementando la transformada activa correspondiente . Las funciones propias de son las funciones de Hermite que, por lo tanto, también son funciones propias de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Al extender la transformada de Fourier a las distribuciones, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada de Fourier.

Conexión con el grupo de Heisenberg

El grupo de Heisenberg es un grupo determinado de operadores unitarios en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones complejas integrables al cuadrado f en la recta real, generadas por las traslaciones ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) y multiplicación por e ^{i 2π ξx} , ( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x ) . Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (de grupo) es que es la multiplicación por la constante (independiente de x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de ternas ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) , con la ley de grupo $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$$

Denotemos el grupo de Heisenberg por H ₁ . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de H ₁ en un espacio de Hilbert, que denotamos por ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R )) . Definamos el automorfismo lineal de R ² por de modo que J ² = − I . Esta J se puede extender a un automorfismo único de H ₁ : $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias ρ y ρ ∘ j son unitariamente equivalentes, por lo que existe un entrelazador único W ∈ U ( L ² ( R )) tal que Este operador W es la transformada de Fourier. $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. ^[29] Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, W ² , es un entrelazador asociado con J ² = − I , y por lo tanto tenemos que ( W ² f )( x ) = f (− x ) es el reflejo de la función original f .

Dominio complejo

La integral de la transformada de Fourier se puede estudiar para valores complejos de su argumento ξ . Dependiendo de las propiedades de f , es posible que no converja fuera del eje real en absoluto, o que converja a una función analítica compleja para todos los valores de ξ = σ + iτ , o algo intermedio. ^[30] $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

El teorema de Paley-Wiener dice que f es suave (es decir, n veces diferenciable para todos los enteros positivos n ) y con soporte compacto si y solo si f̂ ( σ + iτ ) es una función holomorfa para la que existe una constante a > 0 tal que para cualquier entero n ≥ 0 , para alguna constante C . (En este caso, f se soporta en [− a , a ] .) Esto se puede expresar diciendo que f̂ es una función entera que es rápidamente decreciente en σ (para τ fijo ) y de crecimiento exponencial en τ (uniformemente en σ ). ^[31] $${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$

(Si f no es suave, sino solo L ² , la afirmación sigue siendo válida siempre que n = 0 . ^[32] ) El espacio de tales funciones de una variable compleja se denomina espacio de Paley-Wiener. Este teorema se ha generalizado a grupos de Lie semisimples . ^[33]

Si f se apoya en la semirrecta t ≥ 0 , entonces se dice que f es "causal" porque la función de respuesta al impulso de un filtro físicamente realizable debe tener esta propiedad, ya que ningún efecto puede preceder a su causa. Paley y Wiener demostraron que entonces f̂ se extiende a una función holomorfa en el semiplano inferior complejo τ < 0 que tiende a cero cuando τ tiende a infinito. ^[34] La inversa es falsa y no se sabe cómo caracterizar la transformada de Fourier de una función causal. ^[35]

Transformada de Laplace

La transformada de Fourier f̂ ( ξ ) está relacionada con la transformada de Laplace F ( s ) , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros .

Puede suceder que una función f para la cual la integral de Fourier no converge en absoluto al eje real, tenga sin embargo una transformada de Fourier compleja definida en alguna región del plano complejo .

Por ejemplo, si f ( t ) es de crecimiento exponencial, es decir, para algunas constantes C , a ≥ 0 , entonces ^[36] convergente para todos los 2π τ < − a , es la transformada de Laplace de dos lados de f . $${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$

La versión más habitual ("unilateral") de la transformada de Laplace es $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

Si f también es causal y analítica, entonces: Por lo tanto, extender la transformada de Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformada de Laplace como un caso especial en el caso de funciones causales, pero con el cambio de variable s = i 2π ξ . ${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

Desde otro punto de vista, quizás más clásico, la transformada de Laplace, por su forma, implica un término regulador exponencial adicional que le permite converger fuera de la línea imaginaria donde se define la transformada de Fourier. Como tal, puede converger para series e integrales exponencialmente divergentes como máximo, mientras que la descomposición de Fourier original no puede, lo que permite el análisis de sistemas con elementos divergentes o críticos. Dos ejemplos particulares del procesamiento de señales lineales son la construcción de redes de filtros pasatodo a partir de peines críticos y filtros de mitigación mediante la cancelación exacta de polos y ceros en el círculo unitario. Estos diseños son comunes en el procesamiento de audio, donde se busca una respuesta de fase altamente no lineal, como en la reverberación.

Además, cuando se buscan respuestas de impulsos extendidas de tipo pulso para el trabajo de procesamiento de señales, la forma más fácil de producirlas es tener un circuito que produzca una respuesta temporal divergente y luego cancelar su divergencia mediante una respuesta compensatoria opuesta y retardada. En este caso, solo el circuito de retardo intermedio admite una descripción clásica de Fourier, que es fundamental. Ambos circuitos laterales son inestables y no admiten una descomposición convergente de Fourier. Sin embargo, sí admiten una descripción del dominio de Laplace, con semiplanos de convergencia idénticos en el plano complejo (o en el caso discreto, el plano Z), en el que sus efectos se cancelan.

En las matemáticas modernas, la transformada de Laplace se engloba tradicionalmente en los métodos de Fourier, y ambos se engloban en la idea mucho más general y abstracta del análisis armónico .

Inversión

Aún con , si es analítica compleja para a ≤ τ ≤ b , entonces ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$$por el teorema integral de Cauchy . Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede utilizar la integración a lo largo de diferentes líneas, paralelas al eje real. ^[37]

Teorema: Si f ( t ) = 0 para t < 0 , y | f ( t ) | < Ce ^{a | t |} para algunas constantes C , a > 0 , entonces para cualquier τ < − ⁠ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$$a/2π⁠ .

Este teorema implica la fórmula de inversión de Mellin para la transformación de Laplace, ^[36] para cualquier b > a , donde F ( s ) es la transformada de Laplace de f ( t ) . $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$$

Las hipótesis pueden debilitarse, como en los resultados de Carleson y Hunt, a f ( t ) e ^{− at} siendo L ¹ , siempre que f tenga una variación acotada en un entorno cerrado de t (cf. prueba de Dini ), que el valor de f en t se tome como la media aritmética de los límites izquierdo y derecho, y que las integrales se tomen en el sentido de los valores principales de Cauchy. ^[38]

También están disponibles versiones L ^{2 de estas fórmulas de inversión. [39]}

Transformada de Fourier en el espacio euclidiano

La transformada de Fourier se puede definir en cualquier número arbitrario de dimensiones n . Al igual que en el caso unidimensional, existen muchas convenciones. Para una función integrable f ( x ) , este artículo toma la definición: donde x y ξ son vectores n -dimensionales , y x · ξ es el producto escalar de los vectores. Alternativamente, ξ se puede considerar como perteneciente al espacio vectorial dual , en cuyo caso el producto escalar se convierte en la contracción de x y ξ , generalmente escrita como ⟨ x , ξ ⟩ . $${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

Todas las propiedades básicas mencionadas anteriormente son válidas para la transformada de Fourier n -dimensional, al igual que el teorema de Plancherel y el de Parseval. Cuando la función es integrable, la transformada de Fourier sigue siendo uniformemente continua y se cumple el lema de Riemann-Lebesgue . ^[11]

Principio de incertidumbre

En términos generales, cuanto más concentrada esté f ( x ) , más dispersa debe estar su transformada de Fourier f̂ ( ξ ) . En particular, la propiedad de escala de la transformada de Fourier puede verse como si dijera: si comprimimos una función en x , su transformada de Fourier se extiende en ξ . No es posible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.

El equilibrio entre la compactación de una función y su transformada de Fourier se puede formalizar en forma de un principio de incertidumbre al considerar una función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica en el dominio de tiempo-frecuencia : desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la transformada de Fourier es una rotación de 90° en el dominio de tiempo-frecuencia y preserva la forma simpléctica .

Supongamos que f ( x ) es una función integrable e integrable al cuadrado . Sin pérdida de generalidad, supongamos que f ( x ) está normalizada: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$$

Del teorema de Plancherel se deduce que f̂ ( ξ ) también está normalizado.

La dispersión alrededor de x = 0 se puede medir por la dispersión alrededor de cero ^[40] definida por $${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$$

En términos de probabilidad, este es el segundo momento de | f ( x ) | ² alrededor de cero.

El principio de incertidumbre establece que, si f ( x ) es absolutamente continua y las funciones x · f ( x ) y f ′ ( x ) son integrables al cuadrado, entonces ^[14] $${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.}$$

La igualdad se alcanza sólo en el caso en que σ > 0 es arbitrario y C ₁ = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$$⁴ √ 2/√σ​⁠ de modo que f está L ² -normalizada. ^[14] En otras palabras, donde f es una función gaussiana (normalizada)con varianza σ ² /2 π , centrada en cero, y su transformada de Fourier es una función gaussiana con varianza σ ⁻² /2 π .

De hecho, esta desigualdad implica que: para cualquier x ₀ , ξ ₀ ∈ R . ^[41] $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$$

En mecánica cuántica , las funciones de onda de momento y posición son pares de transformadas de Fourier, hasta un factor de la constante de Planck . Si se tiene en cuenta esta constante, la desigualdad anterior se convierte en el enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg . ^[42]

Un principio de incertidumbre más fuerte es el principio de incertidumbre de Hirschman , que se expresa como: donde H ( p ) es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad p ( x ) : donde los logaritmos pueden estar en cualquier base que sea consistente. La igualdad se alcanza para una gaussiana, como en el caso anterior. $${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$$

Transformadas de seno y coseno

La formulación original de Fourier de la transformada no utilizaba números complejos, sino senos y cosenos. Los estadísticos y otros aún utilizan esta forma. Una función absolutamente integrable f para la que se cumple la inversión de Fourier se puede desarrollar en términos de frecuencias genuinas (evitando las frecuencias negativas, que a veces se consideran difíciles de interpretar físicamente ^[43] ) λ por $${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$$

Esto se denomina expansión como integral trigonométrica o expansión integral de Fourier. Las funciones de coeficientes a y b se pueden encontrar utilizando variantes de la transformada de coseno de Fourier y la transformada de seno de Fourier (las normalizaciones, nuevamente, no están estandarizadas): y $${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$$ $${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$$

La literatura más antigua se refiere a las dos funciones de transformación, la transformada del coseno de Fourier, a , y la transformada del seno de Fourier, b .

La función f se puede recuperar a partir de la transformada del seno y del coseno utilizando identidades trigonométricas. Esto se conoce como fórmula integral de Fourier. ^{[36] [44] [45] [46]} $${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$$

Armónicos esféricos

Sea el conjunto de polinomios armónicos homogéneos de grado k en R ⁿ denotado por A _k . El conjunto A _k consiste en los armónicos esféricos sólidos de grado k . Los armónicos esféricos sólidos juegan un papel similar en dimensiones superiores a los polinomios de Hermite en dimensión uno. Específicamente, si f ( x ) = e ^{−π| x | 2} P ( x ) para algún P ( x ) en A _k , entonces f̂ ( ξ ) = i ^{− k} f ( ξ ) . Sea el conjunto H _k la clausura en L ² ( R ⁿ ) de combinaciones lineales de funciones de la forma f (| x |) P ( x ) donde P ( x ) está en A _k . El espacio L ² ( R ⁿ ) es entonces una suma directa de los espacios H _k y la transformada de Fourier mapea cada espacio H _k a sí mismo y es posible caracterizar la acción de la transformada de Fourier en cada espacio H _k . ^[11]

Sea f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (con P ( x ) en A _k ), entonces donde $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$$ $${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$$

Aquí J _{( n + 2 k − 2)/2} denota la función de Bessel de primer tipo con orden ⁠n + 2k −2/2⁠ . Cuando k = 0 esto da una fórmula útil para la transformada de Fourier de una función radial. ^[47] Esta es esencialmente la transformada de Hankel . Además, hay una recursión simple que relaciona los casos n + 2 y n ^[48] que permite calcular, por ejemplo, la transformada de Fourier tridimensional de una función radial a partir de la unidimensional.

Problemas de restricción

En dimensiones superiores resulta interesante estudiar problemas de restricción para la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función integrable es continua y la restricción de esta función a cualquier conjunto está definida. Pero para una función integrable al cuadrado la transformada de Fourier podría ser una clase general de funciones integrables al cuadrado. Como tal, la restricción de la transformada de Fourier de una función L ² ( R ⁿ ) no puede definirse en conjuntos de medida 0. Sigue siendo un área de estudio activa la comprensión de los problemas de restricción en L ^p para 1 < p < 2 . En algunos casos es posible definir la restricción de una transformada de Fourier a un conjunto S , siempre que S tenga una curvatura distinta de cero. El caso en el que S es la esfera unitaria en R ⁿ es de particular interés. En este caso, el teorema de restricción de Tomas- Stein establece que la restricción de la transformada de Fourier a la esfera unitaria en R ⁿ es un operador acotado en L ^p siempre que 1 ≤ p ≤ ⁠2n + 2/n +3⁠ .

Una diferencia notable entre la transformada de Fourier en una dimensión y en dimensiones superiores se refiere al operador de suma parcial. Consideremos una colección creciente de conjuntos medibles E _R indexados por R ∈ (0,∞) : como bolas de radio R centradas en el origen, o cubos de lado 2 R . Para una función integrable dada f , consideremos la función f _R definida por: $${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Supongamos además que f ∈ L ^p ( R ⁿ ) . Para n = 1 y 1 < p < ∞ , si uno toma E _R = (− R , R ) , entonces f _R converge a f en L ^p cuando R tiende a infinito, por la acotación de la transformada de Hilbert . Ingenuamente, uno puede esperar que lo mismo sea cierto para n > 1 . En el caso de que E _R se tome como un cubo con una longitud de lado R , entonces la convergencia todavía se mantiene. Otro candidato natural es la bola euclidiana E _R = { ξ  : | ξ | < R } . Para que este operador de suma parcial converja, es necesario que el multiplicador para la bola unitaria esté acotado en L ^p ( R ⁿ ) . Para n ≥ 2 es un célebre teorema de Charles Fefferman que el multiplicador para la bola unitaria nunca está acotado a menos que p = 2 . ^[23] De hecho, cuando p ≠ 2 , esto demuestra que no sólo f _R puede no converger a f en L ^p , sino que para algunas funciones f ∈ L ^p ( R ⁿ ) , f _R ni siquiera es un elemento de L ^p .

Transformada de Fourier en espacios funcionales

Enyopagespacios

Enyo¹

La definición de la transformada de Fourier por la fórmula integral es válida para funciones integrables de Lebesgue f ; es decir, f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) . $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

La transformada de Fourier F  : L ¹ ( R ⁿ ) → L ^∞ ( R ⁿ ) es un operador acotado . Esto se desprende de la observación que muestra que su norma de operador está acotada por 1. De hecho, es igual a 1, lo que se puede ver, por ejemplo, a partir de la transformada de la función rect. La imagen de L ¹ es un subconjunto del espacio C ₀ ( R ⁿ ) de funciones continuas que tienden a cero en el infinito (el lema de Riemann-Lebesgue ), aunque no es el espacio entero. De hecho, no existe una caracterización simple de la imagen. $${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$$

Enyo²

Dado que las funciones suaves con soporte compacto son integrables y densas en L ² ( R ⁿ ) , el teorema de Plancherel permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generales en L ² ( R ⁿ ) mediante argumentos de continuidad. La transformada de Fourier en L ² ( R ⁿ ) ya no está dada por una integral de Lebesgue ordinaria, aunque puede calcularse mediante una integral impropia , es decir, para una función L ² f , donde el límite se toma en el sentido de L ² . ^{[49] [50]} ) $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier en L ¹ se trasladan a L ² , mediante un argumento limitante adecuado.

Además, F  : L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ) es un operador unitario . ^[51] Para que un operador sea unitario es suficiente demostrar que es biyectivo y preserva el producto interno, por lo que en este caso estos se siguen del teorema de inversión de Fourier combinado con el hecho de que para cualquier f , g ∈ L ² ( R ⁿ ) tenemos $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$$

En particular, la imagen de L ² ( R ⁿ ) está bajo la transformada de Fourier.

En otrosyo^pag

La definición de la transformada de Fourier se puede extender a funciones en L ^p ( R ⁿ ) para 1 ≤ p ≤ 2 descomponiendo dichas funciones en una parte de cola gruesa en L ² más una parte de cuerpo grueso en L ¹ . En cada uno de estos espacios, la transformada de Fourier de una función en L ^p ( R ⁿ ) está en L ^q ( R ⁿ ) , donde q = ⁠pag/p -1⁠ es el conjugado de Hölder de p (por la desigualdad de Hausdorff–Young ). Sin embargo, excepto para p = 2 , la imagen no se caracteriza fácilmente. Las extensiones posteriores se vuelven más técnicas. La transformada de Fourier de funciones en L ^p para el rango 2 < p < ∞ requiere el estudio de distribuciones. ^[16] De hecho, se puede demostrar que hay funciones en L ^p con p > 2 de modo que la transformada de Fourier no está definida como una función. ^[11]

Distribuciones templadas

Se podría considerar ampliar el dominio de la transformada de Fourier de L ¹ + L ² al considerar funciones generalizadas o distribuciones. Una distribución en R ⁿ es una funcional lineal continua en el espacio C _c ( R ⁿ ) de funciones suaves con soporte compacto, equipada con una topología adecuada. La estrategia es entonces considerar la acción de la transformada de Fourier en C _c ( R ⁿ ) y pasar a distribuciones por dualidad. El obstáculo para hacer esto es que la transformada de Fourier no asigna C _c ( R ⁿ ) a C _c ( R ⁿ ) . De hecho, la transformada de Fourier de un elemento en C _c ( R ⁿ ) no puede desaparecer en un conjunto abierto; vea la discusión anterior sobre el principio de incertidumbre. El espacio correcto aquí es el espacio ligeramente más grande de funciones de Schwartz . La transformada de Fourier es un automorfismo en el espacio de Schwartz, como un espacio vectorial topológico, y por lo tanto induce un automorfismo en su dual, el espacio de distribuciones templadas. ^[11] Las distribuciones templadas incluyen todas las funciones integrables mencionadas anteriormente, así como funciones de buen comportamiento de crecimiento polinomial y distribuciones de soporte compacto.

Para la definición de la transformada de Fourier de una distribución temperada, sean f y g funciones integrables, y sean f̂ y ĝ sus transformadas de Fourier respectivamente. Entonces la transformada de Fourier obedece a la siguiente fórmula de multiplicación, ^[11] $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$$

Toda función integrable f define (induce) una distribución T _f por la relación para todas las funciones de Schwartz φ . Por lo tanto, tiene sentido definir la transformada de Fourier T̂ _f de T _f por para todas las funciones de Schwartz φ . Extendiendo esto a todas las distribuciones templadas T se obtiene la definición general de la transformada de Fourier. $${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)}$$

Las distribuciones se pueden diferenciar y la compatibilidad mencionada anteriormente de la transformada de Fourier con la diferenciación y la convolución sigue siendo válida para las distribuciones templadas.

Generalizaciones

Transformada de Fourier-Stieltjes

La transformada de Fourier de una medida de Borel finita μ en R ⁿ está dada por: ^[52] $${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .}$$

Esta transformación continúa disfrutando de muchas de las propiedades de la transformada de Fourier de funciones integrables. Una diferencia notable es que el lema de Riemann-Lebesgue falla para las medidas. ^[16] En el caso de que dμ = f ( x ) dx , entonces la fórmula anterior se reduce a la definición habitual para la transformada de Fourier de f . En el caso de que μ sea la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X , la transformada de Fourier-Stieltjes está estrechamente relacionada con la función característica , pero las convenciones típicas en la teoría de la probabilidad toman e ^iξx en lugar de e ^{− i 2π ξx} . ^[14] En el caso en que la distribución tenga una función de densidad de probabilidad, esta definición se reduce a la transformada de Fourier aplicada a la función de densidad de probabilidad, nuevamente con una elección diferente de constantes.

La transformada de Fourier puede utilizarse para caracterizar las medidas. El teorema de Bochner caracteriza qué funciones pueden surgir como transformada de Fourier-Stieltjes de una medida positiva en el círculo. ^[16]

Además, la función delta de Dirac , aunque no es una función, es una medida finita de Borel. Su transformada de Fourier es una función constante (cuyo valor específico depende de la forma de la transformada de Fourier utilizada).

Grupos abelianos localmente compactos

La transformada de Fourier puede generalizarse a cualquier grupo abeliano localmente compacto. Un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano que es al mismo tiempo un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto de modo que la operación de grupo es continua. Si G es un grupo abeliano localmente compacto, tiene una medida invariante de traslación μ , llamada medida de Haar . Para un grupo abeliano localmente compacto G , el conjunto de representaciones unitarias irreducibles, es decir, unidimensionales, se denominan sus caracteres . Con su estructura de grupo natural y la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología inducida por la topología compacta-abierta en el espacio de todas las funciones continuas desde hasta el grupo del círculo ), el conjunto de caracteres Ĝ es en sí mismo un grupo abeliano localmente compacto, llamado dual de Pontryagin de G . Para una función f en L ¹ ( G ) , su transformada de Fourier se define por ^[16] ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$$

El lema de Riemann-Lebesgue se cumple en este caso: f̂ ( ξ ) es una función que se desvanece en el infinito en Ĝ .

La transformada de Fourier en T = R/Z es un ejemplo; aquí T es un grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Haar μ en T puede considerarse como la medida de Lebesgue en [0,1). Considere la representación de T en el plano complejo C que es un espacio vectorial complejo unidimensional. Hay un grupo de representaciones (que son irreducibles ya que C es unidimensional) donde para . ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

El carácter de tal representación, que es la traza de para cada y , es él mismo. En el caso de la representación del grupo finito, la tabla de caracteres del grupo G son filas de vectores tales que cada fila es el carácter de una representación irreducible de G , y estos vectores forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase que se asignan de G a C por el lema de Schur. Ahora el grupo T ya no es finito sino todavía compacto, y conserva la ortonormalidad de la tabla de caracteres. Cada fila de la tabla es la función de y el producto interno entre dos funciones de clase (todas las funciones son funciones de clase ya que T es abeliano) se define como con el factor normalizador . La secuencia es una base ortonormal del espacio de funciones de clase . ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

Para cualquier representación V de un grupo finito G , se puede expresar como el intervalo ( son las irreps de G ), tal que . De manera similar para y , . El dual de Pontriagin es y para , es su transformada de Fourier para . ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

Transformada de Gelfand

La transformada de Fourier también es un caso especial de la transformada de Gelfand . En este contexto particular, está estrechamente relacionada con el mapa de dualidad de Pontryagin definido anteriormente.

Dado un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto abeliano G , como antes consideramos el espacio L ¹ ( G ) , definido usando una medida de Haar. Con la convolución como multiplicación, L ¹ ( G ) es un álgebra de Banach abeliana . También tiene una involución * dada por $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$$

Tomando la completitud con respecto a la mayor norma C * posible se obtiene su álgebra C * envolvente , llamada álgebra C * ( G ) de G . (Cualquier norma C * en L ¹ ( G ) está limitada por la norma L ^{1 , por} lo tanto, existe su supremo.)

Dada cualquier C * -álgebra abeliana A , la transformada de Gelfand da un isomorfismo entre A y C ₀ ( A ^) , donde A ^ son los funcionales lineales multiplicativos, es decir, representaciones unidimensionales, en A con la topología débil-*. La función está dada simplemente por Resulta que los funcionales lineales multiplicativos de C *( G ) , después de una identificación adecuada, son exactamente los caracteres de G , y la transformada de Gelfand, cuando se restringe al subconjunto denso L ¹ ( G ) es la transformada de Fourier-Pontryagin. $${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$$

Grupos compactos no abelianos

La transformada de Fourier también se puede definir para funciones en un grupo no abeliano, siempre que el grupo sea compacto . Si se elimina el supuesto de que el grupo subyacente es abeliano, las representaciones unitarias irreducibles no siempre necesitan ser unidimensionales. Esto significa que la transformada de Fourier en un grupo no abeliano toma valores como operadores del espacio de Hilbert. ^[53] La transformada de Fourier en grupos compactos es una herramienta importante en la teoría de la representación ^[54] y el análisis armónico no conmutativo .

Sea G un grupo topológico compacto de Hausdorff . Sea Σ la colección de todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita , junto con una elección definida de representación U ^{( σ )} en el espacio de Hilbert H _σ de dimensión finita d _σ para cada σ ∈ Σ . Si μ es una medida de Borel finita en G , entonces la transformada de Fourier-Stieltjes de μ es el operador en H _σ definido por donde U ^{( σ )} es la representación compleja-conjugada de U ^{( σ )} que actúa sobre H _σ . Si μ es absolutamente continuo con respecto a la medida de probabilidad invariante por la izquierda λ en G , representada como para algún f ∈ L 1 ( λ ) , uno identifica la transformada de Fourier de f con la transformada de Fourier-Stieltjes de μ . $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$$ $${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$$

La aplicación define un isomorfismo entre el espacio de Banach M ( G ) de medidas finitas de Borel (ver espacio rca ) y un subespacio cerrado del espacio de Banach C _∞ (Σ) que consiste en todas las secuencias E = ( E _σ ) indexadas por Σ de operadores lineales (acotados) E _σ  : H _σ → H _σ para los cuales la norma es finita. El " teorema de convolución " afirma que, además, este isomorfismo de los espacios de Banach es de hecho un isomorfismo isométrico de C*-álgebras en un subespacio de C _∞ (Σ) . La multiplicación en M ( G ) se da por convolución de medidas y la involución * definida por y C _∞ (Σ) tiene una estructura natural de C * -álgebra como operadores del espacio de Hilbert. $${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$$ $${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$$ $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$$

Se cumple el teorema de Peter-Weyl y se deduce una versión de la fórmula de inversión de Fourier ( teorema de Plancherel ): si f ∈ L ² ( G ) , entonces donde la suma se entiende como convergente en el sentido de L ² . $${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$$

La generalización de la transformada de Fourier a la situación no conmutativa también ha contribuido en parte al desarrollo de la geometría no conmutativa . ^{[ cita requerida ]} En este contexto, una generalización categórica de la transformada de Fourier a grupos no conmutativos es la dualidad de Tannaka-Krein , que reemplaza el grupo de caracteres por la categoría de representaciones. Sin embargo, esto pierde la conexión con las funciones armónicas.

Alternativas

En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con resolución temporal perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero no información de tiempo: la magnitud de la transformada de Fourier en un punto es cuánto contenido de frecuencia hay, pero la ubicación solo está dada por la fase (argumento de la transformada de Fourier en un punto), y las ondas estacionarias no están localizadas en el tiempo: una onda sinusoidal continúa hasta el infinito, sin decaer. Esto limita la utilidad de la transformada de Fourier para analizar señales que están localizadas en el tiempo, en particular transitorios , o cualquier señal de extensión finita.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis de tiempo-frecuencia , se utilizan transformadas de tiempo-frecuencia o distribuciones de tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene alguna información de tiempo y alguna información de frecuencia – por el principio de incertidumbre, existe un equilibrio entre estos. Estos pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, tales como la transformada de Fourier de tiempo corto , la transformada de Fourier fraccionaria , la transformada de Fourier de Synchrosqueezing, ^[55] u otras funciones para representar señales, como en las transformadas wavelet y las transformadas chirplet , siendo el análogo wavelet de la transformada de Fourier (continua) la transformada wavelet continua . ^[24]

Aplicaciones

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, resultan más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso, la solución del problema original se recupera utilizando la transformada de Fourier inversa.

Las operaciones lineales que se realizan en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, ^{[nota 6]} por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (véase Teorema de convolución ). Después de realizar las operaciones deseadas, se puede volver a realizar la transformación del resultado al dominio del tiempo. El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre los dominios de la frecuencia y el tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene profundas conexiones con muchas áreas de las matemáticas modernas.

Análisis de ecuaciones diferenciales

Quizás el uso más importante de la transformada de Fourier es resolver ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de las ecuaciones de la física matemática del siglo XIX pueden ser tratadas de esta manera. Fourier estudió la ecuación del calor, que en una dimensión y en unidades adimensionales es El ejemplo que daremos, un poco más difícil, es la ecuación de onda en una dimensión, $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$$

Como siempre, el problema no es encontrar una solución: hay infinitas. El problema es el llamado "problema de frontera": encontrar una solución que satisfaga las "condiciones de frontera". $${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$$

Aquí, f y g son funciones dadas. Para la ecuación del calor, solo se puede requerir una condición de contorno (normalmente la primera). Pero para la ecuación de onda, todavía hay infinitas soluciones y que satisfacen la primera condición de contorno. Pero cuando se imponen ambas condiciones, solo hay una solución posible.

Es más fácil encontrar la transformada de Fourier ŷ de la solución que encontrar la solución directamente. Esto se debe a que la transformada de Fourier convierte la diferenciación en multiplicación por la variable dual de Fourier, y por lo tanto una ecuación diferencial parcial aplicada a la función original se transforma en multiplicación por funciones polinómicas de las variables duales aplicadas a la función transformada. Una vez que se determina ŷ , podemos aplicar la transformada de Fourier inversa para encontrar y .

El método de Fourier es el siguiente. En primer lugar, hay que tener en cuenta que cualquier función de las formas satisface la ecuación de onda. Estas se denominan soluciones elementales. $${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$$

En segundo lugar, tenga en cuenta que, por lo tanto, cualquier integral satisface la ecuación de onda para a ₊ , a ₋ , b ₊ , b ₋ arbitrarios . Esta integral puede interpretarse como una combinación lineal continua de soluciones para la ecuación lineal. $${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

Ahora bien, esto se parece a la fórmula para la síntesis de Fourier de una función. De hecho, se trata de la transformada de Fourier inversa real de a _± y b _± en la variable x .

El tercer paso es examinar cómo encontrar las funciones de coeficientes desconocidas específicas a _± y b _± que harán que y satisfaga las condiciones de contorno. Nos interesan los valores de estas soluciones en t = 0 . Por lo tanto, fijaremos t = 0 . Suponiendo que se satisfacen las condiciones necesarias para la inversión de Fourier, podemos encontrar las transformadas de seno y coseno de Fourier (en la variable x ) de ambos lados y obtener y $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$$

De manera similar, tomando la derivada de y con respecto a t y luego aplicando las transformaciones de Fourier de seno y coseno se obtiene y $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$$

Éstas son cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas a _± y b _± , en términos de las transformadas de Fourier del seno y del coseno de las condiciones de contorno, que se resuelven fácilmente mediante álgebra elemental, siempre que se puedan encontrar dichas transformadas.

En resumen, elegimos un conjunto de soluciones elementales, parametrizadas por ξ , de las cuales la solución general sería una combinación lineal (continua) en forma de integral sobre el parámetro ξ . Pero esta integral estaba en forma de integral de Fourier. El siguiente paso fue expresar las condiciones de contorno en términos de estas integrales, e igualarlas a las funciones dadas f y g . Pero estas expresiones también tomaron la forma de integral de Fourier debido a las propiedades de la transformada de Fourier de una derivada. El último paso fue explotar la inversión de Fourier aplicando la transformada de Fourier a ambos lados, obteniendo así expresiones para las funciones coeficiente a _± y b _± en términos de las condiciones de contorno dadas f y g .

Desde un punto de vista más elevado, el procedimiento de Fourier se puede reformular de forma más conceptual. Puesto que hay dos variables, utilizaremos la transformación de Fourier tanto en x como en t en lugar de operar como lo hizo Fourier, que sólo transformó en las variables espaciales. Nótese que ŷ debe considerarse en el sentido de una distribución puesto que y ( x , t ) no va a ser L ¹ : como onda, persistirá a través del tiempo y por tanto no es un fenómeno transitorio. Pero estará acotado y por tanto su transformada de Fourier se puede definir como una distribución. Las propiedades operacionales de la transformada de Fourier que son relevantes para esta ecuación son que lleva la diferenciación en x a la multiplicación por i 2π ξ y la diferenciación con respecto a t a la multiplicación por i 2π f donde f es la frecuencia. Entonces la ecuación de onda se convierte en una ecuación algebraica en ŷ : Esto es equivalente a requerir ŷ ( ξ , f ) = 0 a menos que ξ = ± f . De inmediato, esto explica por qué la elección de soluciones elementales que hicimos anteriormente funcionó tan bien: obviamente f̂ = δ ( ξ ± f ) serán soluciones. Aplicando la inversión de Fourier a estas funciones delta, obtenemos las soluciones elementales que elegimos anteriormente. Pero desde el punto de vista superior, uno no elige soluciones elementales, sino que considera el espacio de todas las distribuciones que se apoyan en la cónica (degenerada) ξ ² − f ² = 0 . $${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$$

También podemos considerar las distribuciones soportadas en la cónica que están dadas por distribuciones de una variable en la línea ξ = f más distribuciones en la línea ξ = − f como sigue: si Φ es cualquier función de prueba, donde s ₊ , y s ₋ , son distribuciones de una variable. $${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$$

Entonces la inversión de Fourier da, para las condiciones de contorno, algo muy similar a lo que teníamos más concretamente arriba (pongamos Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π( xξ + tf )} , que es claramente de crecimiento polinomial): y $${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$$

Ahora, como antes, al aplicar la transformación de Fourier de una variable en la variable x a estas funciones de x se obtienen dos ecuaciones en las dos distribuciones desconocidas s _± (que pueden tomarse como funciones ordinarias si las condiciones de contorno son L ¹ o L ² ).

Desde un punto de vista de cálculo, el inconveniente es que primero hay que calcular las transformadas de Fourier de las condiciones de contorno, luego ensamblar la solución a partir de ellas y luego calcular una transformada de Fourier inversa. Las fórmulas en forma cerrada son poco frecuentes, excepto cuando existe alguna simetría geométrica que se pueda aprovechar, y los cálculos numéricos son difíciles debido a la naturaleza oscilatoria de las integrales, que hace que la convergencia sea lenta y difícil de estimar. Para los cálculos prácticos, a menudo se utilizan otros métodos.

El siglo XX ha visto la extensión de estos métodos a todas las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinómicos y, al extender la noción de transformación de Fourier para incluir operadores integrales de Fourier, también algunas ecuaciones no lineales.

Espectroscopia por transformada de Fourier

La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y en otros tipos de espectroscopia , por ejemplo, la infrarroja ( FTIR ). En RMN, se adquiere una señal de decaimiento por inducción libre (FID) con forma exponencial en el dominio del tiempo y se transforma por Fourier en una forma de línea de Lorentz en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier también se utiliza en imágenes por resonancia magnética (IRM) y espectrometría de masas .

Mecánica cuántica

La transformada de Fourier es útil en mecánica cuántica de al menos dos maneras diferentes. Para empezar, la estructura conceptual básica de la mecánica cuántica postula la existencia de pares de variables complementarias , conectadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg . Por ejemplo, en una dimensión, la variable espacial q de, digamos, una partícula, solo puede medirse mediante el " operador de posición " de la mecánica cuántica a costa de perder información sobre el momento p de la partícula. Por lo tanto, el estado físico de la partícula puede describirse mediante una función, llamada "la función de onda", de q o mediante una función de p, pero no mediante una función de ambas variables. La variable p se llama variable conjugada de q . En mecánica clásica, el estado físico de una partícula (existente en una dimensión, para simplificar la exposición) se daría asignando valores definidos a p y q simultáneamente. Por lo tanto, el conjunto de todos los estados físicos posibles es el espacio vectorial real bidimensional con un eje p y un eje q llamado espacio de fases .

En cambio, la mecánica cuántica elige una polarización de este espacio en el sentido de que elige un subespacio de la mitad de la dimensión, por ejemplo, el eje q solamente, pero en lugar de considerar únicamente puntos, toma el conjunto de todas las "funciones de onda" de valor complejo en este eje. No obstante, elegir el eje p es una polarización igualmente válida, que produce una representación diferente del conjunto de estados físicos posibles de la partícula. Ambas representaciones de la función de onda están relacionadas por una transformada de Fourier, de modo que o, equivalentemente, $${\displaystyle \phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$$ $${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\phi (p)e^{ipq/h}.}$$

Los estados físicamente realizables son L ² , y por lo tanto, según el teorema de Plancherel , sus transformadas de Fourier también son L ² . (Tenga en cuenta que como q está en unidades de distancia y p está en unidades de momento, la presencia de la constante de Planck en el exponente hace que el exponente sea adimensional , como debería ser).

Por lo tanto, la transformada de Fourier puede utilizarse para pasar de una forma de representar el estado de la partícula, mediante una función de onda de posición, a otra forma de representar el estado de la partícula: mediante una función de onda de momento. Son posibles infinitas polarizaciones diferentes, y todas son igualmente válidas. Poder transformar estados de una representación a otra mediante la transformada de Fourier no sólo es conveniente, sino que también es la razón subyacente del principio de incertidumbre de Heisenberg.

El otro uso de la transformada de Fourier, tanto en la mecánica cuántica como en la teoría cuántica de campos , es resolver la ecuación de onda aplicable. En la mecánica cuántica no relativista, la ecuación de Schrödinger para una función de onda variable en el tiempo en una dimensión, no sujeta a fuerzas externas, es $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

Esta ecuación es igual a la del calor, excepto por la presencia de la unidad imaginaria i . Se pueden utilizar métodos de Fourier para resolver esta ecuación.

En presencia de un potencial, dado por la función de energía potencial V ( x ) , la ecuación se convierte en $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

Las "soluciones elementales", como las llamamos anteriormente, son los llamados "estados estacionarios" de la partícula, y el algoritmo de Fourier, como se describió anteriormente, todavía se puede utilizar para resolver el problema de valor límite de la evolución futura de ψ dados sus valores para t = 0. Ninguno de estos enfoques es de mucha utilidad práctica en mecánica cuántica. Los problemas de valor límite y la evolución temporal de la función de onda no tienen mucho interés práctico: son los estados estacionarios los más importantes.

En la mecánica cuántica relativista, la ecuación de Schrödinger se convierte en una ecuación de onda, como era habitual en la física clásica, con la excepción de que se consideran ondas de valor complejo. Un ejemplo sencillo, en ausencia de interacciones con otras partículas o campos, es la ecuación unidimensional libre de Klein-Gordon-Schrödinger-Fock, esta vez en unidades adimensionales, $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$$

Desde el punto de vista matemático, esto es lo mismo que la ecuación de onda de la física clásica resuelta anteriormente (pero con una onda de valor complejo, lo que no supone ninguna diferencia en los métodos). Esto es de gran utilidad en la teoría cuántica de campos: cada componente de Fourier independiente de una onda puede tratarse como un oscilador armónico independiente y luego cuantificarse, un procedimiento conocido como "segunda cuantificación". Los métodos de Fourier se han adaptado para tratar también interacciones no triviales.

Finalmente, el operador numérico del oscilador armónico cuántico puede interpretarse, por ejemplo a través del núcleo de Mehler , como el generador de la transformada de Fourier . ^[27] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Procesamiento de señales

La transformada de Fourier se utiliza para el análisis espectral de series temporales. Sin embargo, en el campo del procesamiento estadístico de señales no se suele aplicar la transformada de Fourier a la señal en sí. Incluso si una señal real es transitoria, en la práctica se ha comprobado que es aconsejable modelar una señal mediante una función (o, alternativamente, un proceso estocástico) que sea estacionaria en el sentido de que sus propiedades características sean constantes en todo momento. La transformada de Fourier de una función de este tipo no existe en el sentido habitual y se ha comprobado que para el análisis de señales resulta más útil utilizar en su lugar la transformada de Fourier de su función de autocorrelación.

La función de autocorrelación R de una función f está definida por $${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$$

Esta función es una función del desfase temporal τ que transcurre entre los valores de f que se van a correlacionar.

Para la mayoría de las funciones f que ocurren en la práctica, R es una función par acotada del desfase temporal τ y para señales ruidosas típicas resulta ser uniformemente continua con un máximo en τ = 0 .

La función de autocorrelación, más propiamente llamada función de autocovarianza a menos que esté normalizada de alguna manera apropiada, mide la fuerza de la correlación entre los valores de f separados por un desfase temporal. Esta es una forma de buscar la correlación de f con su propio pasado. Es útil incluso para otras tareas estadísticas además del análisis de señales. Por ejemplo, si f ( t ) representa la temperatura en el momento t , se espera una fuerte correlación con la temperatura en un desfase temporal de 24 horas.

Posee una transformada de Fourier, $${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$$

Esta transformada de Fourier se denomina función de densidad espectral de potencia de f . (A menos que primero se filtren todos los componentes periódicos de f , esta integral divergirá, pero es fácil filtrar dichas periodicidades).

El espectro de potencia, como lo indica esta función de densidad P , mide la cantidad de varianza que aporta la frecuencia ξ a los datos . En las señales eléctricas, la varianza es proporcional a la potencia promedio (energía por unidad de tiempo), por lo que el espectro de potencia describe cuánto contribuyen las diferentes frecuencias a la potencia promedio de la señal. Este proceso se denomina análisis espectral de series temporales y es análogo al análisis de varianza habitual de datos que no son series temporales ( ANOVA ).

El conocimiento de qué frecuencias son "importantes" en este sentido es fundamental para el diseño adecuado de filtros y para la evaluación adecuada de aparatos de medición. También puede ser útil para el análisis científico de los fenómenos responsables de la producción de los datos.

El espectro de potencia de una señal también se puede medir de forma aproximada y directa midiendo la potencia promedio que queda en una señal después de filtrar todas las frecuencias fuera de una banda estrecha.

También se realiza un análisis espectral de las señales visuales. El espectro de potencia ignora todas las relaciones de fase, lo que resulta adecuado para muchos propósitos, pero para las señales de vídeo también se deben emplear otros tipos de análisis espectral, utilizando la transformada de Fourier como herramienta.

Otras notaciones

Otras notaciones comunes para incluyen: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$$

En las ciencias y la ingeniería también es común hacer sustituciones como estas: $${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\hat {f}}\rightarrow X.}$$

Por lo tanto, el par de transformación puede convertirse en ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

Una desventaja de la notación de letras mayúsculas es que cuando se expresa una transformación como o , se vuelve más difícil y ${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f'}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

En algunos contextos, como la física de partículas, se puede usar el mismo símbolo tanto para una función como para su transformada de Fourier, y ambas se distinguen solo por su argumento. Es decir, se referiría a la transformada de Fourier debido al argumento del momento, mientras que se referiría a la función original debido al argumento posicional. Aunque se pueden usar tildes como en para indicar transformadas de Fourier, también se pueden usar para indicar una modificación de una cantidad con una forma más invariante de Lorentz , como , por lo que se debe tener cuidado. De manera similar, a menudo denota la transformada de Hilbert de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

La interpretación de la función compleja f̂ ( ξ ) puede facilitarse expresándola en forma de coordenadas polares en términos de las dos funciones reales A ( ξ ) y φ ( ξ ) donde: es la amplitud y es la fase (ver función arg ). $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$$ $${\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}$$ $${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}$$

Luego, la transformada inversa se puede escribir: que es una recombinación de todos los componentes de frecuencia de f ( x ) . Cada componente es una sinusoide compleja de la forma e ^{2π ixξ} cuya amplitud es A ( ξ ) y cuyo ángulo de fase inicial (en x = 0 ) es φ ( ξ ) . $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$$

La transformada de Fourier puede considerarse como una aplicación en espacios de funciones. Esta aplicación se denota aquí como F y F ( f ) se utiliza para denotar la transformada de Fourier de la función f . Esta aplicación es lineal, lo que significa que F también puede verse como una transformación lineal en el espacio de funciones e implica que la notación estándar en álgebra lineal de aplicar una transformación lineal a un vector (aquí la función f ) se puede utilizar para escribir F f en lugar de F ( f ) . Dado que el resultado de aplicar la transformada de Fourier es nuevamente una función, podemos estar interesados ​​en el valor de esta función evaluada en el valor ξ para su variable, y esto se denota como F f ( ξ ) o como ( F f )( ξ ) . Nótese que en el primer caso, se entiende implícitamente que F se aplica primero a f y luego la función resultante se evalúa en ξ , no al revés.

En matemáticas y en diversas ciencias aplicadas, a menudo es necesario distinguir entre una función f y el valor de f cuando su variable es igual a x , denotado f ( x ) . Esto significa que una notación como F ( f ( x )) formalmente puede interpretarse como la transformada de Fourier de los valores de f en x . A pesar de este defecto, la notación anterior aparece con frecuencia, a menudo cuando se debe transformar una función particular o una función de una variable particular. Por ejemplo, a veces se utiliza para expresar que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc , o se utiliza para expresar la propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier. $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$$

Tenga en cuenta que el último ejemplo sólo es correcto bajo el supuesto de que la función transformada es una función de x , no de x ₀ .

Como se mencionó anteriormente, la función característica de una variable aleatoria es la misma que la transformada de Fourier-Stieltjes de su medida de distribución, pero en este contexto es típico adoptar una convención diferente para las constantes. Normalmente, la función característica se define $${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$$

Al igual que en el caso de la convención de "frecuencia angular no unitaria" mencionada anteriormente, el factor de 2 π no aparece ni en la constante de normalización ni en el exponente. A diferencia de cualquiera de las convenciones que aparecen anteriormente, esta convención toma el signo opuesto en el exponente.

Métodos de cálculo

El método de cálculo adecuado depende en gran medida de cómo se representa la función matemática original y de la forma deseada de la función de salida. En esta sección, consideramos tanto funciones de una variable continua como funciones de una variable discreta (es decir, pares ordenados de valores y ). Para valores discretos , la integral de transformada se convierte en una suma de senos, que sigue siendo una función continua de frecuencia ( o ). Cuando los senos están relacionados armónicamente (es decir, cuando los valores están espaciados en múltiplos enteros de un intervalo), la transformada se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$

Transformadas de Fourier discretas y transformadas de Fourier rápidas

El método de cálculo moderno más común es el muestreo de la DTFT en valores de frecuencia igualmente espaciados. En Transformada de Fourier de tiempo discreto § Muestreo de la DTFT se describen procedimientos eficientes, según la resolución de frecuencia necesaria . La transformada de Fourier discreta (DFT), que se utiliza allí, suele calcularse mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Integración analítica de funciones de forma cerrada

Las tablas de transformadas de Fourier de forma cerrada , como § Funciones integrables al cuadrado, unidimensionales y § Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto , se crean evaluando matemáticamente la integral (o suma) del análisis de Fourier en otra función de forma cerrada de frecuencia ( o ). ^[56] Cuando es matemáticamente posible, esto proporciona una transformación para un continuo de valores de frecuencia. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$

Muchos sistemas de álgebra computacional, como Matlab y Mathematica , que son capaces de realizar integración simbólica , son capaces de calcular transformadas de Fourier analíticamente. Por ejemplo, para calcular la transformada de Fourier de cos(6π t ) e ^{−π t 2} se podría ingresar el comando integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infen Wolfram Alpha . ^{[nota 7]}

Integración numérica de funciones continuas en forma cerrada

El muestreo discreto de la transformada de Fourier también se puede realizar mediante la integración numérica de la definición en cada valor de frecuencia para el cual se desea la transformada. ^{[57] [58] [59]} El enfoque de integración numérica funciona en una clase mucho más amplia de funciones que el enfoque analítico.

Integración numérica de una serie de pares ordenados

Si la función de entrada es una serie de pares ordenados, la integración numérica se reduce a una simple suma sobre el conjunto de pares de datos. ^[60] La DTFT es un subcaso común de esta situación más general.

Tablas de transformadas de Fourier importantes

Las siguientes tablas registran algunas transformadas de Fourier en forma cerrada. Para las funciones f ( x ) y g ( x ), denotamos sus transformadas de Fourier por f̂ y ĝ . Solo se incluyen las tres convenciones más comunes. Puede ser útil notar que la entrada 105 proporciona una relación entre la transformada de Fourier de una función y la función original, que puede verse como una relación entre la transformada de Fourier y su inversa.

Relaciones funcionales, unidimensionales

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Funciones integrables al cuadrado, unidimensionales

Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Campbell y Foster (1948), Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Distribuciones unidimensionales

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Funciones bidimensionales

Fórmulas generalesnorte-funciones dimensionales

Véase también

• Procesamiento de señales analógicas
• Tira de Beevers-Lipson
• Transformada de Q constante
• Transformada de Fourier discreta
• * Matriz DFT
• Transformada rápida de Fourier
• Operador integral de Fourier
• Teorema de inversión de Fourier
• Multiplicador de Fourier
• Serie de Fourier
• Transformada senoidal de Fourier
• Transformada de Fourier-Deligne
• Transformada de Fourier-Mukai
• Transformada de Fourier fraccionaria
• Transformada indirecta de Fourier
• Transformada integral
  • Transformación de Hankel
  • Transformación de Hartley
• Transformada de Laplace
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación canónica lineal
• Lista de transformadas relacionadas con Fourier
• Transformación de Mellin
• Transformación multidimensional
• NGC 4622 , especialmente la imagen NGC 4622 transformada de Fourier m = 2 .
• Operador no local
• Transformada cuántica de Fourier
• Transformada cuadrática de Fourier
• Transformada de Fourier de corta duración
• Densidad espectral
  • Estimación de la densidad espectral
• Integración simbólica
• Transformada de Fourier dispersiva de estiramiento temporal
• Transformar (matemáticas)

Notas

1. Dependiendo de la aplicación, un enfoque integral de Lebesgue , distributivo u otro puede ser el más apropiado.
2. Vretblad (2000) proporciona una sólida justificación para estos procedimientos formales sin profundizar demasiado en el análisis funcional o la teoría de distribuciones .
3. En la mecánica cuántica relativista , se encuentran transformadas de Fourier de funciones de onda multicomponentes con valores vectoriales. En la teoría cuántica de campos , las transformadas de Fourier de funciones del espacio-tiempo con valores operadores se utilizan con frecuencia; véase, por ejemplo, Greiner y Reinhardt (1996).
4. Una posible fuente de confusión es la propiedad de desplazamiento de frecuencia, es decir, la transformada de la función es   El valor de esta función en     es, lo que significa que una frecuencia se ha desplazado a cero (véase también Frecuencia negativa ). ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
5. El operador se define reemplazando por en la expansión de Taylor de ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
6. Hasta un factor constante imaginario cuya magnitud depende de la convención de transformada de Fourier que se utilice.
7. El comando directo fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)también funcionaría para Wolfram Alpha, aunque las opciones para la convención (ver Transformada de Fourier § Otras convenciones) deben cambiarse a una opción diferente a la predeterminada, que en realidad es equivalente a integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf.
8. En Gelfand & Shilov 1964, p. 363, con las convenciones no unitarias de esta tabla, la transformada de se da como es de la cual se sigue esto, con . ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

Citas

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49. De manera más general, se puede tomar una secuencia de funciones que están en la intersección de L ¹ y L ² y que converge a f en la norma L ² , y definir la transformada de Fourier de f como el límite L ² de las transformadas de Fourier de estas funciones.
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Enlaces externos

• Medios relacionados con la transformación de Fourier en Wikimedia Commons
• Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Transformada de Fourier". MundoMatemático .
• Transformada de Fourier en cristalografía