Núcleo de Mehler

El núcleo de Mehler es una función de valor complejo que se considera el propagador del oscilador armónico cuántico .

Fórmula de Mehler

Mehler  (1866) definió una función ^[1]

${\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$

y demostró, en notación modernizada, ^[2] que se puede expandir en términos de polinomios de Hermite H (.) basados ​​en la función de peso exp(− x ²) como

${\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}$

Este resultado es útil, en forma modificada, en física cuántica, teoría de probabilidad y análisis armónico.

Versión física

En física, la solución fundamental ( función de Green ) o propagador del hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico se denomina núcleo de Mehler . Proporciona la solución fundamental , la solución más general ^[3] φ ( x , t ) para

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}$

Las funciones propias ortonormales del operador D son las funciones de Hermite ,

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}$

con valores propios correspondientes (-2 n -1), proporcionando soluciones particulares

${\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.}$

La solución general es entonces una combinación lineal de éstas; cuando se ajusta a la condición inicial φ ( x ,0) , la solución general se reduce a

${\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}$

donde el núcleo K tiene la representación separable

${\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.}$

Utilizando la fórmula de Mehler obtenemos:

${\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp \left({4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}\right)}~.}$

Al sustituir esto en la expresión para K con el valor exp(−2 t ) para ρ , el núcleo de Mehler finalmente se lee

${\displaystyle K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp \left(-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+\operatorname {csch} (2t)~xy\right).}$

Cuando t = 0, las variables x e y coinciden, resultando en la fórmula límite necesaria por la condición inicial,

${\displaystyle K(x,y;0)=\delta (x-y)~.}$

Como solución fundamental, el núcleo es aditivo,

${\displaystyle \int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.}$

Esto está relacionado además con la estructura de rotación simpléctica del núcleo K. ^[4 ]

Cuando se utilizan las convenciones físicas habituales para definir el oscilador armónico cuántico en lugar de

${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,}$

y asumiendo escalas naturales de longitud y energía , entonces el núcleo de Mehler se convierte en el propagador de Feynman que se lee ${\displaystyle K_{H}}$

${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K_{H}(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,}$

es decir ${\displaystyle K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).}$

Cuando en la raíz cuadrada inversa se debe reemplazar por y se debe multiplicar por un factor de fase de Maslov adicional ^[5] ${\displaystyle t>\pi }$ ${\displaystyle i\sin t}$ ${\displaystyle |\sin t|}$ ${\displaystyle K_{H}}$

${\displaystyle \exp \left(i\theta _{\rm {Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).}$

Cuando la solución general es proporcional a la transformada de Fourier de las condiciones iniciales ya que ${\displaystyle t=\pi /2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)}$

${\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{H}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int \exp(-ixy)\varphi (y,0)dy=\exp(-i\pi /4){\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}$

y la transformada de Fourier exacta se obtiene así a partir del operador numérico del oscilador armónico cuántico escrito como ^[6]

${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~}$

desde el núcleo resultante

${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itN)\mid y\rangle \equiv K_{N}(x,y;t)=\exp(it/2)K_{H}(x,y;t)=\exp(it/2)K(x,y;it/2)}$

También compensa el factor de fase que sigue surgiendo en y , es decir ${\displaystyle K_{H}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}$

lo que demuestra que el operador numérico puede interpretarse a través del núcleo de Mehler como el generador de transformadas de Fourier fraccionarias para valores arbitrarios de t , y de la transformada de Fourier convencional para el valor particular , con el núcleo de Mehler proporcionando una transformada activa , mientras que la transformada pasiva correspondiente ya está incorporada en el cambio de base del espacio de posición al espacio de momento . Las funciones propias de siguen siendo las funciones de Hermite que, por lo tanto, también son funciones propias de . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Versión de probabilidad

El resultado de Mehler también se puede vincular a la probabilidad. Para ello, las variables deben reescalarse como x → x / √ 2 , y → y / √ 2 , de modo que pasemos de los polinomios de Hermite del "físico" H (.) (con función de peso exp(− x ² )) a los polinomios de Hermite del "probabilista" He (.) (con función de peso exp(− x ² /2)). Entonces, E se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}$

El lado izquierdo aquí es p ( x , y )/ p ( x ) p ( y ) donde p ( x , y ) es la función de densidad de probabilidad gaussiana bivariada para las variables x , y que tienen medias cero y varianzas unitarias:

${\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$

y p ( x ) , p ( y ) son las densidades de probabilidad correspondientes de x e y (ambas normales estándar).

A continuación se presenta la forma del resultado que se cita habitualmente (Kibble 1945) ^[8]

${\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}$

Esta expansión se deriva más fácilmente utilizando la transformada de Fourier bidimensional de p ( x , y ) , que es

${\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.}$

Esto puede ampliarse como

${\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}$

La transformada de Fourier inversa produce inmediatamente la fórmula de expansión anterior.

Este resultado puede extenderse al caso multidimensional. ^{[8] [9] [10]}

Transformada de Fourier fraccionaria

Dado que las funciones de Hermite ψ _n son funciones propias ortonormales de la transformada de Fourier ,

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,}$

En el análisis armónico y el procesamiento de señales , diagonalizan el operador de Fourier,

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$

Por lo tanto, la generalización continua para el ángulo real α se puede definir fácilmente ( Wiener , 1929; ^[11] Condon , 1937 ^[12] ), la transformada de Fourier fraccionaria (FrFT), con núcleo

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$

Se trata de una familia continua de transformadas lineales que generalizan la transformada de Fourier , de modo que, para α = π /2 , se reduce a la transformada de Fourier estándar, y para α = − π /2 a la transformada de Fourier inversa.

La fórmula de Mehler, para ρ = exp(−i α ), proporciona directamente

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.}$

La raíz cuadrada se define de modo que el argumento del resultado se encuentre en el intervalo [− π /2, π /2].

Si α es un múltiplo entero de π , entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. En el límite , el núcleo pasa a una función delta de Dirac en el integrando, δ(x−y) o δ(x+y) , para α un múltiplo par o impar de π , respectivamente. Como [ f ] = f (− x ), [ f ] debe ser simplemente f ( x ) o f (− x ) para α un múltiplo par o impar de π , respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Véase también

• Representación del oscilador § Oscilador armónico y funciones de Hermite
• Calentar el núcleo
• Polinomios de Hermite
• Funciones del cilindro parabólico
• Polinomios de Laguerre § Fórmula de Hardy-Hille

Referencias

1. Mehler, FG (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán) (66): 161–176, ISSN  0075-4102, ERAM  066.1720cj(cf. pág. 174, ecuación (18) y pág. 173, ecuación (13) )
2. Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores. Vol. II , McGraw-Hill(escaneo: p.194 10.13 (22))
3. Pauli, W. , Mecánica ondulatoria: Volumen 5 de las Conferencias Pauli sobre física (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620  ; Véase la sección 44. 
4. La forma cuadrática en su exponente, hasta un factor de −1/2, involucra la matriz simpléctica más simple (unimodular, simétrica) en Sp(2, R ). Es decir,

   ${\displaystyle (x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}~,~}$   dónde

   ${\displaystyle {\mathbf {M} }\equiv \operatorname {csch} (2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,}$

   Por lo que conserva la métrica simpléctica,

   ${\displaystyle {\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.}$

5. Horvathy, Peter (1979). "Fórmula de Feynman extendida para oscilador armónico". Revista internacional de física teórica . 18 (4): 245-250. Código Bibliográfico :1979IJTP...18..245H. doi :10.1007/BF00671761. S2CID  117363885.
6. Wolf, Kurt B. (1979), Transformadas integrales en ciencia e ingeniería , Springer([1] y [2]); ver sección 7.5.10.
7. Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021). "Funciones de Hermite y series de Fourier". Simetría . 13 (5): 853. arXiv : 2007.10406 ​​. Código Bibliográfico :2021Symm...13..853C. doi : 10.3390/sym13050853 .
8. Kibble, WF (1945), "Una extensión de un teorema de Mehler sobre polinomios de Hermite", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 41 (1): 12–15, Bibcode :1945PCPS...41...12K, doi :10.1017/S0305004100022313, MR  0012728, S2CID  121931906
9. Slepian, David (1972), "Sobre la potencia simetrizada de Kronecker de una matriz y extensiones de la fórmula de Mehler para polinomios de Hermite", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 3 (4): 606–616, doi :10.1137/0503060, ISSN  0036-1410, MR  0315173
10. Hörmander, Lars (1995). "Clasificación simpléctica de formas cuadráticas y fórmulas generales de Mehler". Mathematische Zeitschrift . 219 : 413–449. doi :10.1007/BF02572374. S2CID  122233884.
11. Wiener , N (1929), "Polinomios hermíticos y análisis de Fourier", Journal of Mathematics and Physics 8 : 70–73.
12. Condon, EU (1937). "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , 158–164. en línea

• Nicole Berline, Ezra Getzler y Michèle Vergne (2013). Heat Kernels and Dirac Operadores , (Springer: Grundlehren Text Editions) Tapa blanda ISBN 3540200622 
• Louck, JD (1981). "Extensión de la fórmula de Kibble-Slepian para polinomios de Hermite utilizando métodos de operadores bosónicos". Advances in Applied Mathematics . 2 (3): 239–249. doi :10.1016/0196-8858(81)90005-1.
• HM Srivastava y JP Singhal (1972). "Algunas extensiones de la fórmula de Mehler", Proc. Amer. Math. Soc. 31 : 135–141. (en línea)