Representación de Gelfand

En matemáticas , la representación de Gelfand en análisis funcional (llamada así por IM Gelfand ) es una de dos cosas:

• una forma de representar álgebras conmutativas de Banach como álgebras de funciones continuas;
• el hecho de que para las álgebras C* conmutativas , esta representación es un isomorfismo isométrico.

En el primer caso, se puede considerar la representación de Gelfand como una generalización de gran alcance de la transformada de Fourier de una función integrable. En este último caso, el teorema de representación de Gelfand-Naimark es una vía en el desarrollo de la teoría espectral para operadores normales y generaliza la noción de diagonalizar una matriz normal .

Comentarios históricos

Una de las aplicaciones originales de Gelfand (y que históricamente motivó gran parte del estudio de las álgebras de Banach ^{[ cita necesaria ]} ) fue dar una prueba mucho más breve y conceptual de un célebre lema de Norbert Wiener (ver la cita a continuación), que caracteriza los elementos. del grupo de álgebras L ¹ ( R ) y cuyas traducciones abarcan subespacios densos en las respectivas álgebras. ${\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}$

El álgebra modelo.

Para cualquier espacio topológico de Hausdorff X localmente compacto , el espacio C ₀ ( X ) de funciones continuas de valores complejos en X que desaparecen en el infinito es, de forma natural, un álgebra C* conmutativa:

• La estructura del álgebra sobre números complejos se obtiene considerando las operaciones puntuales de suma y multiplicación.
• La involución es una conjugación compleja puntual.
• La norma es la norma uniforme sobre funciones.

La importancia de que X sea localmente compacto y Hausdorff es que esto convierte a X en un espacio completamente regular . En tal espacio, cada subconjunto cerrado de X es el conjunto cero común de una familia de funciones continuas de valores complejos en X , lo que permite recuperar la topología de X a partir de C ₀ ( X ).

Tenga en cuenta que C ₀ ( X ) es unital si y solo si X es compacto , en cuyo caso C ₀ ( X ) es igual a C ( X ), el álgebra de todas las funciones continuas de valores complejos en X.

Representación de Gelfand de un álgebra conmutativa de Banach

Sea un álgebra de Banach conmutativa , definida sobre el cuerpo de números complejos. Un homomorfismo de álgebra distinto de cero (un funcional lineal multiplicativo) se denomina carácter de ; el conjunto de todos los caracteres de se denota por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$

Se puede demostrar que cada carácter de es automáticamente continuo y, por tanto, es un subconjunto del espacio de funcionales lineales continuos de ; además, cuando está equipado con la topología relativamente débil-* , resulta ser localmente compacto y Hausdorff. (Esto se desprende del teorema de Banach-Alaoglu ). El espacio es compacto (en la topología recién definida) si ^{[ cita necesaria ]} y solo si el álgebra tiene un elemento identidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

Dado , se define la función por . La definición y la topología del mismo garantizan que sea continuo y desaparezca en el infinito ^{[ cita necesaria ]} , y que el mapa defina un homomorfismo de álgebra que preserva la unidad y disminuye la norma desde a . Este homomorfismo es la representación de Gelfand y es la transformada de Gelfand del elemento . En general, la representación no es ni inyectiva ni sobreyectiva. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle a}$

En el caso de que tenga un elemento de identidad, existe una biyección entre y el conjunto de ideales máximos en (esto se basa en el teorema de Gelfand-Mazur ). Como consecuencia, el núcleo de la representación de Gelfand puede identificarse con el radical de Jacobson de . Así, la representación de Gelfand es inyectiva si y sólo si es (Jacobson) semisimple . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

En el caso en que , el álgebra de grupo de , entonces es homeomorfa y la transformada de Gelfand de es la transformada de Fourier . ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

En el caso de que , no sea un grupo bajo suma, la transformada de Gelfand no es aplicable y, por lo tanto, no es correcto decir que la transformada de Laplace es la transformada de Gelfand en esta álgebra. Sin embargo, es un grupo bajo multiplicación en el que la transformada de Gelfand es la transformada de Mellin . ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

El caso del álgebra C*

Como motivación, considere el caso especial A = C ₀ ( X ). Dado x en X , sea una evaluación puntual en x , es decir . Entonces hay un carácter en A , y se puede demostrar que todos los caracteres de A son de esta forma; un análisis más preciso muestra que podemos identificar Φ _A con X , no sólo como conjuntos sino como espacios topológicos. La representación de Gelfand es entonces un isomorfismo. ${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$ ${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

El espectro de un álgebra C* conmutativa

El espectro o espacio de Gelfand de un álgebra C* conmutativa A , denotado  , consiste en el conjunto de *-homomorfismos distintos de cero desde A hasta los números complejos. Los elementos del espectro se llaman caracteres en A. (Se puede demostrar que todo homomorfismo de álgebra desde A hasta los números complejos es automáticamente un *-homomorfismo , de modo que esta definición del término 'carácter' concuerda con la anterior).

En particular, el espectro de un álgebra C* conmutativa es un espacio de Hausdorff localmente compacto: en el caso unital, es decir, cuando el álgebra C* tiene un elemento unitario multiplicativo 1, todos los caracteres f deben ser unitarios, es decir, f (1). es el complejo número uno. Esto excluye el homomorfismo cero. Entonces  está cerrado bajo convergencia débil-* y el espectro es realmente compacto . En el caso no unitario, el cierre débil-* de  es  ∪ {0}, donde 0 es el homomorfismo cero, y la eliminación de un solo punto de un espacio compacto de Hausdorff produce un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Tenga en cuenta que espectro es una palabra sobrecargada. También se refiere al espectro σ( x ) de un elemento x de un álgebra con unidad 1, es decir el conjunto de números complejos r para los cuales x −  r  1 no es invertible en A. Para álgebras C* unitales, las dos nociones están conectadas de la siguiente manera: σ( x ) es el conjunto de números complejos f ( x ) donde f abarca el espacio de Gelfand de A . Junto con la fórmula del radio espectral , esto muestra que  es un subconjunto de la bola unitaria de A* y, como tal, se le puede dar la topología relativa débil-*. Ésta es la topología de la convergencia puntual. Una red { f _k } _k de elementos del espectro de A converge a f si y solo si para cada x en A , la red de números complejos { f _k ( x )} _k converge a f ( x ).

Si A es un álgebra C* separable , la topología débil* es metrizable en subconjuntos acotados. Por tanto, el espectro de un álgebra C* conmutativa separable puede considerarse como un espacio métrico. Por tanto, la topología se puede caracterizar mediante la convergencia de secuencias.

De manera equivalente, σ( x ) es el rango de γ( x ), donde γ es la representación de Gelfand.

Enunciado del teorema conmutativo de Gelfand-Naimark

Sea A un álgebra C* conmutativa y sea X el espectro de A. Dejar

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

ser la representación de Gelfand definida anteriormente.

Teorema . El mapa de Gelfand γ es un *-isomorfismo isométrico de A a C ₀ ( X ).

Consulte la referencia de Arveson a continuación.

El espectro de un álgebra C* conmutativa también se puede ver como el conjunto de todos los ideales máximos m de A , con la topología casco-núcleo . (Véanse las observaciones anteriores para el caso general del álgebra conmutativa de Banach.) Para cualquier m, el álgebra cociente A/m es unidimensional (según el teorema de Gelfand-Mazur) y, por lo tanto, cualquier a en A da lugar a un complejo- función valorada en Y .

En el caso de álgebras C* con unidad, el mapa de espectro da lugar a un funtor contravariante de la categoría de álgebras C* conmutativas con unidad y homomorfismos * continuos que conservan la unidad, a la categoría de espacios compactos de Hausdorff y mapas continuos. . Este funtor es la mitad de una equivalencia contravariante entre estas dos categorías (su adjunto es el funtor que asigna a cada espacio compacto de Hausdorff X la C*-álgebra C ₀ ( X )). En particular, dados los espacios compactos de Hausdorff X e Y , entonces C ( X ) es isomorfo a C ( Y ) (como un álgebra C*) si y sólo si X es homeomorfo a Y .

El teorema 'completo' de Gelfand-Naimark es el resultado de álgebras C* no conmutativas arbitrarias (abstractas) A , que aunque no es del todo análoga a la representación de Gelfand, proporciona una representación concreta de A como un álgebra de operadores.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes es la existencia de un cálculo funcional continuo para elementos normales en C*-álgebra A : un elemento x es normal si y sólo si x conmuta con su adjunto x* , o de manera equivalente si y sólo si genera un conmutativa C*-álgebra C*( x ). Por el isomorfismo de Gelfand aplicado a C*( x ), esto es *-isomorfo a un álgebra de funciones continuas en un espacio localmente compacto. Esta observación lleva casi inmediatamente a:

Teorema . Sea A un álgebra C* con identidad y x un elemento normal de A . Entonces hay un *-morfismo f → f ( x ) del álgebra de funciones continuas en el espectro σ( x ) en A tal que

• Asigna 1 a la identidad multiplicativa de A ;
• Asigna la función de identidad en el espectro a x .

Esto nos permite aplicar funciones continuas a operadores normales acotados en el espacio de Hilbert.

Referencias

• Arveson, W. (1981). "Una invitación a C*-Algebras" . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Completar álgebras normadas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Wiener, N. (1932). "Teoremas tauberianos". Ana. de Matemáticas . II. 33 (1). Anales de Matemáticas: 1–100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.