En álgebra , un anillo semiprimitivo o anillo semisimple de Jacobson o anillo J-semisimple es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero . Este es un tipo de anillo más general que un anillo semisimple , pero donde los módulos simples aún brindan suficiente información sobre el anillo. Los anillos como el anillo de los números enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es simplemente un anillo semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos de anillos primitivos , que se describen mediante el teorema de densidad de Jacobson .
Un anillo se llama semiprimitivo o semisimple de Jacobson si su radical de Jacobson es el ideal cero .
Un anillo es semiprimitivo si y sólo si tiene un módulo izquierdo semisimple fiel . La propiedad semiprimitiva es simétrica izquierda-derecha, por lo que un anillo es semiprimitivo si y sólo si tiene un módulo derecho semisimple fiel.
Un anillo es semiprimitivo si y sólo si es un producto subdirecto de anillos primitivos izquierdos.
Un anillo conmutativo es semiprimitivo si y sólo si es un producto subdirecto de campos (Lam 1995, p. 137).
Un anillo artiniano izquierdo es semiprimitivo si y sólo si es semisimple (Lam 2001, p. 54). Estos anillos a veces se denominan artinianos semisimples (Kelarev 2002, p. 13).
El propio Jacobson ha definido un anillo como "semisimple" si y sólo si es un producto subdirecto de anillos simples (Jacobson 1989, p. 203). Sin embargo, esta es una noción más estricta, ya que el anillo de endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión infinitamente numerable es semiprimitivo, pero no un producto subdirecto de anillos simples (Lam 1995, p. 42).