En álgebra , el teorema de Wedderburn-Artin es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples . El teorema establece que un anillo semisimple (artiniano) [a] R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos matriciales n i -por- n i sobre anillos de división D i , para algunos números enteros n i , ambos determinados de forma única a la permutación del índice i . En particular, cualquier anillo artiniano simple izquierdo o derecho es isomorfo a un anillo de matriz n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. [1]
Sea R un anillo semisimple (artiniano) . Entonces, el teorema de Wedderburn-Artin establece que R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos matriciales n i -por- n i sobre anillos de división Di , para algunos números enteros n i , los cuales están determinados de forma única hasta la permutación del índice. i .
También existe una versión del teorema de Wedderburn-Artin para álgebras sobre un campo k . Si R es una k -álgebra semisimple de dimensión finita , entonces cada Di en la declaración anterior es un álgebra de división de dimensión finita sobre k . El centro de cada Di no necesita ser k ; podría ser una extensión finita de k .
Tenga en cuenta que si R es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división E , no es necesario que D esté contenido en E. Por ejemplo, los anillos matriciales sobre números complejos son álgebras simples de dimensión finita sobre números reales .
Existen varias demostraciones del teorema de Wedderburn-Artin. [2] [3] Uno moderno común [4] adopta el siguiente enfoque.
Supongamos que el anillo es semisimple. Entonces el módulo derecho es isomorfo a una suma directa finita de módulos simples (que son lo mismo que los ideales mínimos derechos de ). Escribe esta suma directa como
donde son módulos derechos simples mutuamente no isomorfos , el i ésimo aparece con multiplicidad . Esto da un isomorfismo de anillos de endomorfismo .
y podemos identificarnos con un anillo de matrices
donde el anillo de endomorfismo es un anillo de división según el lema de Schur , porque es simple. Ya que concluimos
Aquí utilizamos los módulos correctos porque ; si usáramos los módulos de la izquierda, sería isomorfo al álgebra opuesta de , pero la demostración aún se realizaría. Para ver esta prueba en un contexto más amplio, consulte Descomposición de un módulo . Para la prueba de un caso especial importante, véase Anillo artiniano simple .
Dado que un álgebra de dimensión finita sobre un campo es artiniano, el teorema de Wedderburn-Artin implica que cada álgebra simple de dimensión finita sobre un campo es isomorfa a un anillo de matriz n por n sobre algún álgebra de división de dimensión finita D sobre , donde tanto n como D están determinados de forma única. [1] Esto fue demostrado por Joseph Wedderburn . Emil Artin luego generalizó este resultado al caso de anillos artinianos simples izquierdo o derecho .
Dado que el único álgebra de división de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado es el campo mismo, el teorema de Wedderburn-Artin tiene fuertes consecuencias en este caso. Sea R un anillo semisimple que es un álgebra de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado . Entonces R es un producto finito donde son números enteros positivos y es el álgebra de matrices sobre .
Además, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar álgebras simples centrales de dimensión finita sobre un campo al problema de clasificar álgebras de división central de dimensión finita sobre : es decir, álgebras de división sobre cuyo centro es . Implica que cualquier álgebra simple central de dimensión finita es isomorfa a un álgebra matricial donde hay un álgebra de división central de dimensión finita .
