Álgebra semisimple

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, un álgebra semisimple es un álgebra artiniana asociativa sobre un cuerpo que tiene radical de Jacobson trivial (solo el elemento cero del álgebra está en el radical de Jacobson). Si el álgebra es de dimensión finita, esto es equivalente a decir que se puede expresar como un producto cartesiano de subálgebras simples .

Definición

El radical de Jacobson de un álgebra sobre un cuerpo es el ideal que consiste en todos los elementos que anulan todo módulo izquierdo simple. El radical contiene todos los ideales nilpotentes y, si el álgebra es de dimensión finita, el radical en sí mismo es un ideal nilpotente. Se dice entonces que un álgebra de dimensión finita es semisimple si su radical contiene solo el elemento cero.

Un álgebra A se llama simple si no tiene ideales propios y A ² = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0}. Como sugiere la terminología, las álgebras simples son semisimples. Los únicos ideales posibles de un álgebra simple A son A y {0}. Por lo tanto, si A es simple, entonces A no es nilpotente. Como A ² es un ideal de A y A es simple, A ² = A . Por inducción, A ⁿ = A para cada entero positivo n , es decir, A no es nilpotente.

Cualquier subálgebra autoadjunta A de matrices n × n con elementos complejos es semisimple. Sea Rad( A ) el radical de A . Supóngase que una matriz M está en Rad( A ). Entonces M*M se encuentra en algunos ideales nilpotentes de A , por lo tanto ( M*M ) ^k = 0 para algún entero positivo k . Por semidefinición positiva de M*M , esto implica que M*M = 0. Por lo tanto, M x es el vector cero para todo x , es decir , M = 0.

Si { A _i } es una colección finita de álgebras simples, entonces su producto cartesiano A=Π A _i es semisimple. Si ( a _i ) es un elemento de Rad( A ) y e ₁ es la identidad multiplicativa en A ₁ (todas las álgebras simples poseen una identidad multiplicativa), entonces ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a ₁ , 0..., 0) se encuentra en algún ideal nilpotente de Π A _i . Esto implica, para todo b en A ₁ , a ₁ b es nilpotente en A ₁ , es decir, a ₁ ∈ Rad( A ₁ ). Por lo tanto , a ₁ = 0. De manera similar, a _i = 0 para todos los demás i .

Es menos evidente a partir de la definición que lo inverso de lo anterior también es cierto, es decir, cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es isomorfa a un producto cartesiano de un número finito de álgebras simples.

Caracterización

Sea A un álgebra semisimple de dimensión finita, y

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A}$

sea ​​una serie de composición de A , entonces A es isomorfo al siguiente producto cartesiano:

${\displaystyle A\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}\times ...\times J_{n}/J_{n-1}\times A/J_{n}}$

donde cada uno

${\displaystyle J_{i+1}/J_{i}\,}$

Es un álgebra simple.

La prueba puede esbozarse de la siguiente manera. Primero, invocando el supuesto de que A es semisimple, se puede demostrar que J ₁ es un álgebra simple (por lo tanto, unital). Por lo tanto, J ₁ es una subálgebra unital y un ideal de J ₂ . Por lo tanto, se puede descomponer

${\displaystyle J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}.}$

Por la maximalidad de J ₁ como ideal en J ₂ y también la semisimplicidad de A , el álgebra

${\displaystyle J_{2}/J_{1}\,}$

es simple. Proceder por inducción de manera similar prueba la afirmación. Por ejemplo, J ₃ es el producto cartesiano de álgebras simples

${\displaystyle J_{3}\simeq J_{2}\times J_{3}/J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}.}$

El resultado anterior se puede reformular de otra manera. Para un álgebra semisimple A = A ₁ ×...× A _n expresada en términos de sus factores simples, considere las unidades e _i ∈ A _i . Los elementos E _i = (0,..., e _i ,...,0) son elementos idempotentes en A y se encuentran en el centro de A . Además, E _i A = A _i , E _i E _j = 0 para i ≠ j , y Σ E _i = 1, la identidad multiplicativa en A .

Por lo tanto, para cada álgebra semisimple A , existen idempotentes { E _i } en el centro de A , tales que

1. E _i E _j = 0 para i ≠ j (tal conjunto de idempotentes se llama ortogonal central ),
2. Σ E _i = 1,
3. A es isomorfo al producto cartesiano de álgebras simples E ₁ A ×...× E _n A .

Clasificación

Un teorema de Joseph Wedderburn clasifica completamente las álgebras semisimples de dimensión finita sobre un cuerpo . Cualquier álgebra de este tipo es isomorfa a un producto finito donde los son números naturales, las son álgebras de división sobre , y es el álgebra de matrices sobre . Este producto es único hasta la permutación de los factores. ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ ${\displaystyle D_{i}}$

Este teorema fue generalizado posteriormente por Emil Artin a los anillos semisimples. Este resultado más general se denomina teorema de Wedderburn-Artin .

Referencias

1. Anthony Knapp (2007). Álgebra avanzada, cap. II: Teoría de anillos de Wedderburn-Artin (PDF) . Springer Verlag.

Enciclopedia Springer de Matemáticas