En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , los módulos simples sobre un anillo R son los módulos (izquierdos o derechos) sobre R que son distintos de cero y no tienen submódulos propios distintos de cero . De manera equivalente, un módulo M es simple si y solo si cada submódulo cíclico generado por un elemento distinto de cero de M es igual a M. Los módulos simples forman bloques de construcción para los módulos de longitud finita y son análogos a los grupos simples en la teoría de grupos .
En este artículo, se supondrá que todos los módulos son módulos unitarios derechos sobre un anillo R.
Los módulos Z son lo mismo que los grupos abelianos , por lo que un módulo Z simple es un grupo abeliano que no tiene subgrupos propios distintos de cero. Estos son los grupos cíclicos de orden primo .
Si I es un ideal correcto de R , entonces I es simple como un módulo correcto si y sólo si I es un ideal correcto mínimo distinto de cero: Si M es un submódulo propio distinto de cero de I , entonces también es un ideal correcto , entonces no soy mínimo. Por el contrario , si I no es mínimo, entonces hay un ideal derecho distinto de cero J contenido propiamente en I. J es un submódulo derecho de I , por lo que I no es simple.
Si I es un ideal recto de R , entonces el módulo cociente R / I es simple si y sólo si I es un ideal recto máximo : si M es un submódulo propio distinto de cero de R / I , entonces la preimagen de M bajo el El mapa de cocientes R → R / I es un ideal correcto que no es igual a R y que contiene adecuadamente a I . Por tanto, I no es máximo. Por el contrario, si I no es máximo, entonces existe un ideal derecho J que contiene propiamente a I. El mapa de cociente R / I → R / J tiene un núcleo distinto de cero que no es igual a R / I y, por lo tanto, R / I no es simple.
Cada módulo R simple es isomorfo a un cociente R / m donde m es un ideal máximo derecho de R . [1] Según el párrafo anterior, cualquier cociente R / m es un módulo simple. Por el contrario, supongamos que M es un módulo R simple . Entonces, para cualquier elemento x distinto de cero de M , el submódulo cíclico xR debe ser igual a M. Arregle tal x . La afirmación de que xR = M es equivalente a la sobreyectividad del homomorfismo R → M que envía r a xr . El núcleo de este homomorfismo es un ideal correcto I de R , y un teorema estándar establece que M es isomorfo a R / I . Según el párrafo anterior, encontramos que I es un ideal de máxima derecha. Por tanto, M es isomorfo a un cociente de R por un ideal recto máximo.
Si k es un campo y G es un grupo , entonces una representación de grupo de G es un módulo izquierdo sobre el anillo de grupo k [ G ] (para obtener más detalles, consulte la página principal sobre esta relación ). [2] Los módulos k [ G ] simples también se conocen como representaciones irreducibles . Un objetivo principal de la teoría de la representación es comprender las representaciones irreductibles de grupos.
Los módulos simples son precisamente los módulos de longitud 1; Esta es una reformulación de la definición.
Todo módulo simple es indescomponible , pero lo contrario, en general, no es cierto.
Todo módulo simple es cíclico , es decir, está generado por un elemento.
No todos los módulos tienen un submódulo simple; Considere, por ejemplo, el módulo Z Z a la luz del primer ejemplo anterior.
Sean M y N módulos (izquierdo o derecho) sobre el mismo anillo, y sea f : M → N un homomorfismo de módulo. Si M es simple, entonces f es homomorfismo cero o inyectivo porque el núcleo de f es un submódulo de M. Si N es simple, entonces f es homomorfismo cero o sobreyectiva porque la imagen de f es un submódulo de N. Si M = N , entonces f es un endomorfismo de M , y si M es simple, entonces las dos afirmaciones anteriores implican que f es un homomorfismo cero o un isomorfismo. En consecuencia, el anillo de endomorfismo de cualquier módulo simple es un anillo de división . Este resultado se conoce como lema de Schur .
Lo contrario del lema de Schur no es cierto en general. Por ejemplo, el módulo Z Q no es simple, pero su anillo de endomorfismo es isomorfo al campo Q.
Si M es un módulo que tiene un submódulo propio N distinto de cero , entonces hay una secuencia corta y exacta
Un enfoque común para probar un hecho sobre M es demostrar que el hecho es verdadero para el término central de una secuencia corta exacta cuando es verdadero para los términos izquierdo y derecho, y luego probar el hecho para N y M / N . Si N tiene un submódulo propio distinto de cero, entonces este proceso se puede repetir. Esto produce una cadena de submódulos.
Para probar el hecho de esta manera, se necesitan condiciones en esta secuencia y en los módulos M i / M i + 1 . Una condición particularmente útil es que la longitud de la secuencia sea finita y que cada módulo cociente Mi / Mi + 1 sea simple. En este caso, la secuencia se denomina serie de composición para M . Para probar un enunciado inductivamente utilizando series de composición, primero se prueba el enunciado para módulos simples, que forman el caso base de la inducción, y luego se demuestra que el enunciado sigue siendo verdadero bajo una extensión de un módulo por un módulo simple. Por ejemplo, el lema de ajuste muestra que el anillo de endomorfismo de un módulo indescomponible de longitud finita es un anillo local , de modo que se cumple el teorema fuerte de Krull-Schmidt y la categoría de módulos de longitud finita es una categoría de Krull-Schmidt .
El teorema de Jordan-Hölder y el teorema de refinamiento de Schreier describen las relaciones entre todas las series de composición de un solo módulo. El grupo de Grothendieck ignora el orden en una serie de composiciones y considera cada módulo de longitud finita como una suma formal de módulos simples. En anillos semisimples , esto no es una pérdida ya que cada módulo es un módulo semisimple y, por lo tanto, una suma directa de módulos simples. La teoría de caracteres ordinaria proporciona un mejor control aritmético y utiliza módulos C G simples para comprender la estructura de grupos finitos G. La teoría de la representación modular utiliza caracteres de Brauer para ver los módulos como sumas formales de módulos simples, pero también está interesada en cómo esos módulos simples se unen dentro de series de composición. Esto se formaliza estudiando el functor Ext y describiendo la categoría del módulo de varias maneras, incluidos los carcaj (cuyos nodos son los módulos simples y cuyos bordes son series de composición de módulos no semisimples de longitud 2) y la teoría de Auslander-Reiten, donde el gráfico asociado tiene un vértice para cada módulo indescomponible.
Un avance importante en la teoría de módulos simples fue el teorema de densidad de Jacobson . El teorema de densidad de Jacobson establece:
En particular, cualquier anillo primitivo puede verse como (es decir, isomorfo a) un anillo de D -operadores lineales en algún D -espacio.
Una consecuencia del teorema de densidad de Jacobson es el teorema de Wedderburn; es decir, que cualquier anillo simple artiniano derecho es isomorfo a un anillo de matriz completo de n por n matrices sobre un anillo de división para algunos n . Esto también puede establecerse como corolario del teorema de Artin-Wedderburn .
