En álgebra , la teoría de Auslander-Reiten estudia la teoría de representación de los anillos artinianos utilizando técnicas como las secuencias de Auslander-Reiten (también llamadas secuencias casi divididas ) y los temblores de Auslander-Reiten . La teoría de Auslander-Reiten fue introducida por Maurice Auslander e Idun Reiten (1975) y desarrollada por ellos en varios artículos posteriores.
Para artículos de estudio sobre la teoría de Auslander-Reiten, consulte Auslander (1982), Gabriel (1980), Reiten (1982) y el libro Auslander, Reiten & Smalø (1997). Muchos de los artículos originales sobre la teoría de Auslander-Reiten se reimprimen en Auslander (1999a, 1999b).
Secuencias casi divididas
Supongamos que R es un álgebra de Artin. Una secuencia
- 0→ A → B → C → 0
de módulos izquierdos generados finitamente sobre R se denomina secuencia casi dividida (o secuencia de Auslander-Reiten ) si tiene las siguientes propiedades:
- La secuencia no está dividida.
- C es indescomponible y cualquier homomorfismo de un módulo indescomponible a C que no sea un isomorfismo se factoriza a través de B .
- A es indescomponible y cualquier homomorfismo de A a un módulo indescomponible que no sea un isomorfismo se factoriza a través de B .
Para cualquier módulo izquierdo C generado finitamente que sea indescomponible pero no proyectivo, existe una secuencia casi dividida como la anterior, que es única hasta el isomorfismo. De manera similar, para cualquier módulo izquierdo A generado finitamente que sea indescomponible pero no inyectivo, hay una secuencia casi dividida como la anterior, que es única hasta el isomorfismo.
El módulo A en la secuencia casi dividida es isomorfo a D Tr C , el dual de la transpuesta de C.
Ejemplo
Supongamos que R es el anillo k [ x ]/( x n ) para un campo k y un número entero n ≥1. Los módulos indescomponibles son isomorfos a uno de k [ x ]/( x m ) para 1≤ m ≤ n , y el único proyectivo tiene m = n . Las secuencias casi divididas son isomorfas a
![{\displaystyle 0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1}) \rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para 1 ≤ metro < norte . El primer morfismo lleva a ( xa , a ) y el segundo lleva ( b , c ) a b − xc .
Carcaj Auslander-Reiten
El carcaj de Auslander-Reiten de un álgebra de Artin tiene un vértice para cada módulo indescomponible y una flecha entre los vértices si existe un morfismo irreducible entre los módulos correspondientes. Tiene una aplicación τ = D Tr llamada traslación de los vértices no proyectivos a los vértices no inyectivos, donde D es el dual y Tr la transpuesta .
Referencias
- Auslander, Maurice (1982), "Un enfoque funtorial de la teoría de la representación", Representaciones de álgebras (Puebla, 1980) , Lecture Notes in Math., vol. 944, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 105-179, doi :10.1007/BFb0094058, ISBN 978-3-540-11577-9, señor 0672116
- Auslander, Maurice (1987), "El qué, dónde y por qué de secuencias casi divididas", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1 (Berkeley, California, 1986) , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 338–345, MR 0934232, archivado desde el original el 2 de febrero de 2014 , consultado el 30 de abril de 2013.
- Auslander, Maurice; Reiten, Idún; Smalø, Sverre O. (1997) [1995], Teoría de la representación de álgebras de Artin, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 36, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-59923-8, señor 1314422
- Auslander, Maurice (1999a), Reiten, Idun; Smalø, Sverre O.; Solberg, Øyvind (eds.), Obras seleccionadas de Maurice Auslander. Parte 1, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0998-3, señor 1674397
- Auslander, Maurice (1999b), Reiten, Idun; Smalø, Sverre O.; Solberg, Øyvind (eds.), Obras seleccionadas de Maurice Auslander. Parte 2, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1000-2, señor 1674401
- Auslander, Maurice; Reiten, Idun (1975), "Teoría de la representación de las álgebras de Artin. III. Secuencias casi divididas", Communications in Algebra , 3 (3): 239–294, doi :10.1080/00927877508822046, ISSN 0092-7872, MR 0379599
- Gabriel, Peter (1980), "Secuencias de Auslander-Reiten y álgebras de representación finita", en Dlab, Vlastimil; Gabriel, Peter (eds.), Teoría de la representación, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ontario, 1979) , Lecture Notes in Math., vol. 831, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 1–71, doi :10.1007/BFb0089778, ISBN 978-3-540-10263-2, SEÑOR 0607140
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Secuencia casi dividida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Reiten, Idun (1982), "El uso de secuencias casi divididas en la teoría de representación de álgebras de Artin", Representaciones de álgebras (Puebla, 1980) , Lecture Notes in Math., vol. 944, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 29-104, doi :10.1007/BFb0094057, ISBN 978-3-540-11577-9, señor 0672115
enlaces externos
![{\displaystyle 0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1}) \rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37f1db38927b14823355faf387e9ee1232a65cc)