módulo semisimple

Suma directa de módulos irreducibles

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que puede entenderse fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como anillo semisimple artiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos de grupos finitos sobre campos de característica cero , son anillos semisimples. Un anillo artiniano se entiende inicialmente a través de su cociente semisimple más grande. La estructura de los anillos semisimples de Artin se comprende bien mediante el teorema de Artin-Wedderburn , que exhibe estos anillos como productos directos finitos de anillos de matriz .

Para obtener un análogo de la misma noción en teoría de grupos, consulte Representación semisimple .

Definición

Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Para un módulo M , lo siguiente es equivalente:

1. M es semisimple; es decir, una suma directa de módulos irreducibles.
2. M es la suma de sus submódulos irreducibles.
3. Cada submódulo de M es un sumando directo : para cada submódulo N de M , existe un complemento P tal que M = N ⊕ P.

Para la prueba de las equivalencias, consulte Representación semisimple § Caracterizaciones equivalentes .

El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un campo, es decir, un espacio vectorial . Por otro lado, el anillo Z de los números enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo, ya que el submódulo 2 Z no es una suma directa.

Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indecomponibles .

Sea A un álgebra sobre un campo K . Entonces se dice que un módulo izquierdo M sobre A es absolutamente semisimple si, para cualquier extensión de campo F de K , F ⊗ _K M es un módulo semisimple sobre F ⊗ _K A .

Propiedades

• Si M es semisimple y N es un submódulo , entonces N y M / N también son semisimples.
• Una suma directa arbitraria de módulos semisimples es semisimple.
• Un módulo M es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.

Anillos de endomorfismo

• Un módulo semisimple M sobre un anillo R también se puede considerar como un homomorfismo de anillo de R al anillo de endomorfismos de grupo abeliano de M. La imagen de este homomorfismo es un anillo semiprimitivo , y todo anillo semiprimitivo es isomorfo a dicha imagen.
• El anillo de endomorfismo de un módulo semisimple no sólo es semiprimitivo, sino también regular de von Neumann . ^[1]

Anillos semisimples

Se dice que un anillo es semisimple (izquierda) si es semisimple como un módulo izquierdo sobre sí mismo. ^[2] Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho y viceversa. Por tanto, la distinción izquierda/derecha es innecesaria y se puede hablar de anillos semisimples sin ambigüedad.

Un anillo semisimple puede caracterizarse en términos de álgebra homológica : es decir, un anillo R es semisimple si y sólo si cualquier secuencia corta exacta de R -módulos izquierdos (o derechos) se divide. Es decir, para una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

existe s  : C → B tal que la composición g ∘ s  : C → C es la identidad. El mapa s se conoce como sección. De esto se deduce que

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

o en términos más exactos

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

En particular, cualquier módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo . Dado que "proyectivo" implica "plano", un anillo semisimple es un anillo regular de von Neumann .

Los anillos semisimples son de particular interés para los algebristas. Por ejemplo, si el anillo base R es semisimple, entonces todos los módulos R serían automáticamente semisimples. Además, cada módulo R simple (izquierdo) es isomorfo a un ideal izquierdo mínimo de R , es decir, R es un anillo de Kasch izquierdo .

Los anillos semisimples son tanto artinianos como noetherianos . De las propiedades anteriores, un anillo es semisimple si y sólo si es artiniano y su radical de Jacobson es cero.

Si un anillo semisimple artiniano contiene un campo como subanillo central , se llama álgebra semisimple .

Ejemplos

• Para un anillo conmutativo , son equivalentes las cuatro propiedades siguientes: ser un anillo semisimple ; ser artiniano y reducido ; ^[3] siendo un anillo noetheriano reducido de dimensión Krull 0; y ser isomorfo a un producto directo finito de campos.
• Si K es un campo y G es un grupo finito de orden n , entonces el anillo de grupo K [ G ] es semisimple si y sólo si la característica de K no divide a n . Este es el teorema de Maschke , un resultado importante en la teoría de la representación de grupos .
• Según el teorema de Wedderburn-Artin , un anillo unital R es semisimple si y solo si es (isomorfo a) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , donde cada Di es un anillo de división y cada n _i es un entero positivo, y M _{n (} D ) denota el anillo de n -por- n matrices con entradas en D .
• Un ejemplo de un anillo no unitario semisimple es M _∞ ( K ), las matrices infinitas de filas finitas, finitas de columnas sobre un campo K .

anillos simples

Hay que tener en cuenta que a pesar de la terminología, no todos los anillos simples son semisimples . El problema es que el anillo puede ser "demasiado grande", es decir, no (izquierda/derecha) Artiniano. De hecho, si R es un anillo simple con un ideal mínimo izquierda/derecha, entonces R es semisimple.

Ejemplos clásicos de anillos simples, pero no semisimples, son las álgebras de Weyl , como la Q -álgebra .

${\displaystyle A=\mathbf {Q} {\left[x,y\right]}/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}$

que es un dominio simple no conmutativo . Estos y muchos otros buenos ejemplos se analizan con más detalle en varios textos de teoría de anillos no conmutativos, incluido el capítulo 3 del texto de Lam, en el que se describen como anillos simples no artinianos. La teoría del módulo de las álgebras de Weyl está bien estudiada y difiere significativamente de la de los anillos semisimples.

Jacobson semisimple

Un anillo se llama Jacobson semisimple (o J-semisimple o semiprimitivo ) si la intersección de los ideales máximos izquierdos es cero, es decir, si el radical de Jacobson es cero. Todo anillo que es semisimple como módulo sobre sí mismo tiene radical de Jacobson cero, pero no todos los anillos con radical de Jacobson cero son semisimples como módulo sobre sí mismo. Un anillo J-semisimple es semisimple si y sólo si es un anillo artiniano , por lo que los anillos semisimples a menudo se denominan anillos semisimples artinianos para evitar confusiones.

Por ejemplo, el anillo de números enteros, Z , es J-semisimple, pero no semisimple artiniano.

Ver también

• Zócalo
• Álgebra semisimple

Citas

1. Lam 2001, pag. 62
2. Sengupta 2012, pag. 125
3. Bourbaki 2012, pag. 133, VIII

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Cap. 8 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2ª ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 131 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, señor  1838439
• Lang, Serge (2002), Álgebra (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
• Pierce, RS (1982), Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4757-0165-4
• Sengupta, Ámbar (2012). "Representaciones Inducidas". Representar grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. págs. 235–248. doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. OCLC  769756134.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )