En matemáticas , especialmente en las áreas del álgebra abstracta conocida como álgebra universal , teoría de grupos , teoría de anillos y teoría de módulos , un producto subdirecto es una subálgebra de un producto directo que depende completamente de todos sus factores sin ser necesariamente el producto directo completo. . La noción fue introducida por Birkhoff en 1944 y ha demostrado ser una poderosa generalización de la noción de producto directo. [ cita necesaria ]
Definición
Un producto subdirecto es una subálgebra (en el sentido de álgebra universal ) A de un producto directo Π i A i tal que toda proyección inducida (la compuesta p j s : A → A j de una proyección p j : Π i A i → A j con la inclusión subálgebra s : A → Π i A i ) es sobreyectiva .
Una representación directa ( subdirecta ) de un álgebra A es un producto directo (subdirecto) isomorfo a A.
Un álgebra se llama subdirectamente irreducible si no es subdirectamente representable mediante álgebras "más simples". Los irreducibles subdirectos son para subdireccionar el producto de álgebras aproximadamente como los primos son para la multiplicación de números enteros.
Ejemplos
- Cualquier red distributiva L es subdirectamente representable como una subálgebra de una potencia directa de la red distributiva de dos elementos. Esto puede verse como una formulación algebraica de la representabilidad de L como un conjunto de conjuntos cerrados bajo las operaciones binarias de unión e intersección, mediante la interpretación de la potencia directa misma como un conjunto de potencias. En el caso finito, tal representación es directa (es decir, toda la potencia directa) si y sólo si L es una red complementada , es decir, un álgebra de Boole.
- Lo mismo se aplica a cualquier semired cuando se sustituye "semired" por "red distributiva" y "subsemilred" por "subred" en todo el ejemplo anterior. Es decir, cada semired es representable como una potencia subdirecta de la semired de dos elementos.
- La cadena de números naturales junto con el infinito, como álgebra de Heyting , se puede representar subdirectamente como una subálgebra del producto directo de las álgebras de Heyting finitas ordenadas linealmente. La situación con otras álgebras de Heyting se trata con más detalle en el artículo sobre irreducibles subdirectos .
- El grupo de números enteros bajo la suma es subdirectamente representable por cualquier familia (necesariamente infinita) de grupos cíclicos finitos arbitrariamente grandes . En esta representación, 0 es la secuencia de elementos de identidad de los grupos representativos, 1 es una secuencia de generadores elegidos del grupo apropiado, y la suma y negación de enteros son las operaciones de grupo correspondientes en cada grupo aplicadas en forma de coordenadas. La representación es fiel (no hay dos números enteros representados por la misma secuencia) debido al requisito de tamaño, y las proyecciones son correctas porque cada coordenada eventualmente agota su grupo.
- Cada espacio vectorial sobre un campo dado es subdirectamente representable por el espacio unidimensional sobre ese campo, siendo los espacios de dimensión finita directamente representables de esta manera. (Para espacios vectoriales, como para grupos abelianos , el producto directo con un número finito de factores es sinónimo de suma directa con un número finito de factores, de donde el producto subdirecto y la suma subdirecta también son sinónimos para un número finito de factores).
- Los productos subdirectos se utilizan para representar muchos pequeños grupos perfectos en (Holt y Plesken 1989).
Ver también
Referencias
- Birkhoff, Garrett (1944), "Uniones subdirectas en álgebra universal", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 50 (10): 764–768, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 , ISSN 0002-9904, Señor 0010542
- Holt, Derek F.; Plesken, W. (1989), Grupos perfectos , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853559-1, señor 1025760
