Lema de Goursat

El lema de Goursat , llamado así en honor al matemático francés Édouard Goursat , es un teorema algebraico sobre los subgrupos del producto directo de dos grupos .

Puede enunciarse de forma más general en una variedad de Goursat (y, en consecuencia, también se cumple en cualquier variedad de Maltsev ), de la que se recupera una versión más general del lema de la mariposa de Zassenhaus . En esta forma, el lema de Goursat también implica el lema de la serpiente .

Grupos

El lema de Goursat para grupos puede enunciarse de la siguiente manera.

Sean , grupos, y sea un subgrupo de tal que las dos proyecciones y son sobreyectivas (es decir, es un producto subdirecto de y ). Sea el núcleo de y el núcleo de . Se puede identificar como un subgrupo normal de , y como un subgrupo normal de . Entonces la imagen de en es el gráfico de un isomorfismo . Se obtiene entonces una biyección entre: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle p_{1}:H\to G}$ ${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/N\times G'/N'}$ ${\displaystyle G/N\cong G'/N'}$

1. Subgrupos de los cuales se proyectan sobre ambos factores, ${\displaystyle G\times G'}$
2. Tripletas con normal en , normal en e isomorfismo de sobre . ${\displaystyle (N,N',f)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G'/N'}$

Una consecuencia inmediata de esto es que el producto subdirecto de dos grupos puede describirse como un producto de fibra y viceversa.

Nótese que si es cualquier subgrupo de (las proyecciones y no necesitan ser sobreyectivas), entonces las proyecciones de sobre y son sobreyectivas. Entonces se puede aplicar el lema de Goursat a . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle p_{1}:H\to G}$ ${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p_{1}(H)}$ ${\displaystyle p_{2}(H)}$ ${\displaystyle H\leq p_{1}(H)\times p_{2}(H)}$

Para justificar la prueba, considere la porción en , para cualquier . Por la sobreyectividad de la función de proyección a , este tiene una intersección no trivial con . Entonces, esencialmente, esta intersección representa exactamente una clase lateral particular de . De hecho, si tenemos elementos con y , siendo entonces un grupo, obtenemos que , y por lo tanto, . Se deduce que y están en la misma clase lateral de . Por lo tanto, la intersección de con cada porción "horizontal" isomorfa a es exactamente una clase lateral particular de en . Por un argumento idéntico, la intersección de con cada porción "vertical" isomorfa a es exactamente una clase lateral particular de en . ${\displaystyle S=\{g\}\times G'}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle (g,a),(g,b)\in S\cap H}$ ${\displaystyle a\in pN'\subset G'}$ ${\displaystyle b\in qN'\subset G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in H}$ ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}$ ${\displaystyle (g,a)}$ ${\displaystyle (g,b)}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G'\in G\times G'}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\in G\times G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Todas las clases laterales de están presentes en el grupo y, según el argumento anterior, existe una correspondencia exacta 1:1 entre ellas. La prueba a continuación muestra además que la función es un isomorfismo. ${\displaystyle N,N'}$ ${\displaystyle H}$

Prueba

Antes de continuar con la prueba , se demuestra que , y son normales en y , respectivamente. Es en este sentido que y pueden identificarse como normales en G y G' , respectivamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ ${\displaystyle \{e\}\times G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N'}$

Como es un homomorfismo , su núcleo N es normal en H . Además, dado , existe , ya que es sobreyectiva. Por lo tanto, es normal en G , a saber: ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle h=(g,g')\in H}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}(N)}$

${\displaystyle gp_{1}(N)=p_{1}(h)p_{1}(N)=p_{1}(hN)=p_{1}(Nh)=p_{1}(N)g}$.

De ello se deduce que es normal ya que ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$

${\displaystyle (g,e')N=(g,e')(p_{1}(N)\times \{e'\})=gp_{1}(N)\times \{e'\}=p_{1}(N)g\times \{e'\}=(p_{1}(N)\times \{e'\})(g,e')=N(g,e')}$.

La prueba de que es normal procede de manera similar. ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle \{e\}\times G'}$

Dada la identificación de con , podemos escribir y en lugar de y , . De manera similar, podemos escribir y , . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (G\times \{e'\})/N}$ ${\displaystyle (g,e')N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G'/N'}$ ${\displaystyle g'N'}$ ${\displaystyle g'\in G'}$

Pasemos a la prueba. Consideremos la función definida por . La imagen de bajo esta función es . Como es sobreyectiva, esta relación es el gráfico de una función bien definida prevista para cada , esencialmente una aplicación de la prueba de la línea vertical . ${\displaystyle H\to G/N\times G'/N'}$ ${\displaystyle (g,g')\mapsto (gN,g'N')}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{(gN,g'N')\mid (g,g')\in H\}}$ ${\displaystyle H\to G/N}$ ${\displaystyle G/N\to G'/N'}$ ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N\implies g_{1}'N'=g_{2}'N'}$ ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$

Puesto que (más propiamente, ), tenemos . Por lo tanto , de donde , es decir, . ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N}$ ${\displaystyle (g_{1},e')N=(g_{2},e')N}$ ${\displaystyle (g_{2}^{-1}g_{1},e')\in N\subset H}$ ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')=(g_{2},g_{2}')^{-1}(g_{1},g_{1}')(g_{2}^{-1}g_{1},e')^{-1}\in H}$ ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')\in N'}$ ${\displaystyle g_{1}'N'=g_{2}'N'}$

Además, para cada tenemos . Se deduce que esta función es un homomorfismo de grupo. ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$ ${\displaystyle (g_{1}g_{2},g_{1}'g_{2}')\in H}$

Por simetría, es el gráfico de un homomorfismo bien definido . Estos dos homomorfismos son claramente inversos entre sí y, por lo tanto, son de hecho isomorfismos. ${\displaystyle \{(g'N',gN)\mid (g,g')\in H\}}$ ${\displaystyle G'/N'\to G/N}$

Variedades de Goursat

Como consecuencia del teorema de Goursat, se puede derivar una versión muy general del teorema de Jordan-Hölder - Schreier en las variedades de Goursat.

Referencias

• Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), volumen: 6, páginas 9-102
• J. Lambek (1996). "La mariposa y la serpiente". En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y álgebra . CRC Press. págs. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Kenneth A. Ribet (otoño de 1976), " Acción de Galois en puntos de división de variedades abelianas con multiplicaciones reales", American Journal of Mathematics , vol. 98, núm. 3, 751–804.
• A. Carboni, GM Kelly y MC Pedicchio (1993), Algunas observaciones sobre las categorías de Mal'tsev y Goursat, Applied Categorical Structures, Vol. 4, 385–421.