Lema de Goursat

El lema de Goursat , llamado así en honor al matemático francés Édouard Goursat , es un teorema algebraico sobre subgrupos del producto directo de dos grupos .

Puede enunciarse de manera más general en una variedad Goursat (y en consecuencia también es válido en cualquier variedad Maltsev ), de la cual se recupera una versión más general del lema de la mariposa de Zassenhaus . De esta forma, el lema de Goursat también implica el lema de la serpiente .

Grupos

El lema de Goursat para grupos se puede enunciar de la siguiente manera.

Sean , grupos y un subgrupo de tal que las dos proyecciones y sean sobreyectivas (es decir, sean un producto subdirecto de y ). Sea el núcleo de y el núcleo de . Se puede identificar como un subgrupo normal de y como un subgrupo normal de . Entonces la imagen de in es la gráfica de un isomorfismo . Entonces se obtiene una biyección entre: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle p_{1}:H\to G}$ ${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/N\times G'/N'}$ ${\displaystyle G/N\cong G'/N'}$

1. Subgrupos de los cuales se proyectan sobre ambos factores, ${\displaystyle G\times G'}$
2. Se triplica con normal in , normal in e isomorfismo de onto . ${\displaystyle (N,N',f)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G'/N'}$

Una consecuencia inmediata de esto es que el producto subdirecto de dos grupos puede describirse como un producto de fibra y viceversa.

Observe que si hay algún subgrupo de (las proyecciones y no necesitan ser sobreyectivas), entonces las proyecciones de sobre y son sobreyectivas. Entonces se puede aplicar el lema de Goursat a . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle p_{1}:H\to G}$ ${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p_{1}(H)}$ ${\displaystyle p_{2}(H)}$ ${\displaystyle H\leq p_{1}(H)\times p_{2}(H)}$

Para motivar la prueba, considere el corte en , para cualquier arbitrario . Por la sobreyectividad del mapa de proyección , este tiene una intersección no trivial con . Entonces, esencialmente, esta intersección representa exactamente una clase lateral particular de . De hecho, si tenemos elementos con y , siendo un grupo, obtenemos que , y por tanto ,. Se deduce que y se encuentran en la misma clase lateral de . Por lo tanto, la intersección de con cada segmento "horizontal" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de in . Mediante un argumento idéntico, la intersección de con cada segmento "vertical" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de in . ${\displaystyle S=\{g\}\times G'}$ ${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle (g,a),(g,b)\in S\cap H}$ ${\displaystyle a\in pN'\subset G'}$ ${\displaystyle b\in qN'\subset G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in H}$ ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}$ ${\displaystyle (g,a)}$ ${\displaystyle (g,b)}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G'\in G\times G'}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\in G\times G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Todas las clases laterales de están presentes en el grupo y, según el argumento anterior, existe una correspondencia exacta 1:1 entre ellas. La siguiente prueba muestra además que el mapa es un isomorfismo. ${\displaystyle N,N'}$ ${\displaystyle H}$

Prueba

Antes de continuar con la prueba , y se muestran normales en y , respectivamente. Es en este sentido que y puede identificarse como normal en G y G' , respectivamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ ${\displaystyle \{e\}\times G'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N'}$

Como es un homomorfismo , su núcleo N es normal en H. Además, dado , existe , ya que es sobreyectivo. Por lo tanto, es normal en G , a saber: ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle h=(g,g')\in H}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}(N)}$

${\displaystyle gp_{1}(N)=p_{1}(h)p_{1}(N)=p_{1}(hN)=p_{1}(Nh)=p_{1}(N)g}$.

De ello se deduce que es normal ya que ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$

${\displaystyle (g,e')N=(g,e')(p_{1}(N)\times \{e'\})=gp_{1}(N)\times \{e'\}=p_{1}(N)g\times \{e'\}=(p_{1}(N)\times \{e'\})(g,e')=N(g,e')}$.

La prueba normal procede de manera similar. ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle \{e\}\times G'}$

Dada la identificación de con , podemos escribir y en lugar de y ,. De manera similar, podemos escribir y , . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (G\times \{e'\})/N}$ ${\displaystyle (g,e')N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G'/N'}$ ${\displaystyle g'N'}$ ${\displaystyle g'\in G'}$

A la prueba. Considere el mapa definido por . La imagen de debajo de este mapa es . Dado que es sobreyectiva, esta relación es la gráfica de una función bien definida proporcionada para cada , esencialmente una aplicación de la prueba de la línea vertical . ${\displaystyle H\to G/N\times G'/N'}$ ${\displaystyle (g,g')\mapsto (gN,g'N')}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{(gN,g'N')\mid (g,g')\in H\}}$ ${\displaystyle H\to G/N}$ ${\displaystyle G/N\to G'/N'}$ ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N\implies g_{1}'N'=g_{2}'N'}$ ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$

Dado que (más propiamente ), tenemos . Así , de donde , es decir ,. ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N}$ ${\displaystyle (g_{1},e')N=(g_{2},e')N}$ ${\displaystyle (g_{2}^{-1}g_{1},e')\in N\subset H}$ ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')=(g_{2},g_{2}')^{-1}(g_{1},g_{1}')(g_{2}^{-1}g_{1},e')^{-1}\in H}$ ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')\in N'}$ ${\displaystyle g_{1}'N'=g_{2}'N'}$

Además, por cada uno tenemos . De ello se deduce que esta función es un homomorfismo de grupo. ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$ ${\displaystyle (g_{1}g_{2},g_{1}'g_{2}')\in H}$

Por simetría, es la gráfica de un homomorfismo bien definido . Estos dos homomorfismos son claramente inversos entre sí y, por tanto, son isomorfismos. ${\displaystyle \{(g'N',gN)\mid (g,g')\in H\}}$ ${\displaystyle G'/N'\to G/N}$

Variedades gourmet

Como consecuencia del teorema de Goursat, se puede derivar una versión muy general del teorema de Jordan-Hölder - Schreier en las variedades Goursat.

Referencias

• Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), volumen: 6, páginas 9-102
• J. Lambek (1996). "La mariposa y la serpiente". En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y Álgebra . Prensa CRC. págs. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Kenneth A. Ribet (otoño de 1976), " Acción de Galois sobre puntos de división de variedades abelianas con multiplicaciones reales", American Journal of Mathematics , vol. 98, núm. 3, 751–804.
• A. Carboni, GM Kelly y MC Pedicchio (1993), Algunas observaciones sobre las categorías de Mal'tsev y Goursat, Estructuras categóricas aplicadas, vol. 4, 385–421.