Teorema de refinamiento de Schreier

En matemáticas , el teorema de refinamiento de Schreier de la teoría de grupos establece que dos series subnormales cualesquiera de subgrupos de un grupo dado tienen refinamientos equivalentes, donde dos series son equivalentes si hay una biyección entre sus grupos de factores que envía cada grupo de factores a uno isomorfo .

El teorema lleva el nombre del matemático austriaco Otto Schreier , quien lo demostró en 1928. Proporciona una elegante demostración del teorema de Jordan-Hölder . A menudo se demuestra utilizando el lema de Zassenhaus . Baumslag (2006) ofrece una breve prueba al cruzar los términos de una serie subnormal con los de la otra serie.

Ejemplo

Considere dónde está el grupo simétrico de grado 3 . El grupo alterno es un subgrupo normal de , por lo que tenemos las dos series subnormales ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},}$

con los respectivos grupos de factores y . Las dos series subnormales no son equivalentes, pero tienen refinamientos equivalentes: ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},S_{3})}$ ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

con grupos de factores isomorfos a y ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},A_{3},\mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

con grupos de factores isomorfos a . ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{2})}$

Referencias

• Baumslag, Benjamin (2006), "Una forma sencilla de demostrar el teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi :10.2307/27642092, JSTOR  27642092