Transformadas de seno y coseno

Transformadas de Fourier variantes

Las transformadas de seno y coseno convierten una función en una representación del dominio de frecuencia como una suma de ondas de seno y coseno . La transformada inversa convierte nuevamente a un dominio temporal o espacial .

En matemáticas , las transformadas de Fourier de seno y coseno son ecuaciones integrales que descomponen funciones arbitrarias en una suma de ondas de seno que representan el componente impar de la función más ondas de coseno que representan el componente par de la función. La transformada de Fourier moderna contiene de manera concisa tanto las transformadas de seno como las de coseno. Dado que las transformadas de seno y coseno utilizan ondas de seno y coseno en lugar de exponenciales complejas y no requieren números complejos ni frecuencia negativa , se corresponden más estrechamente con las ecuaciones de transformada originales de Joseph Fourier y aún se prefieren en algunas aplicaciones de procesamiento de señales y estadísticas y pueden ser más adecuadas como una introducción al análisis de Fourier .

Definición

Las transformadas de Fourier relacionan una función en el dominio del tiempo (roja) con una función en el dominio de la frecuencia (azul). Las ondas seno o coseno que componen la función original aparecerán como picos en las funciones del dominio de la frecuencia producidas por la transformada seno o coseno, respectivamente.

La transformada senoidal de Fourier de es: ^{[nota 1]} ${\displaystyle f(t)}$

Transformada senoidal de Fourier

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$

Si significa tiempo , entonces es frecuencia en ciclos por unidad de tiempo, ^{[nota 2]} pero en abstracto, pueden ser cualquier par dual de variables (por ejemplo, posición y frecuencia espacial ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$

La transformada senoidal es necesariamente una función impar de la frecuencia, es decir, para todos : ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).}$$

La transformada del coseno de una función rectangular simple (de altura y ancho ) es el sinc normalizado graficado arriba. ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a\xi )}$

La transformada de Fourier del coseno de es: ^{[nota 3]} ${\displaystyle f(t)}$

Transformada del coseno de Fourier

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$

La transformada del coseno es necesariamente una función par de la frecuencia, es decir para todos : ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\hat {f}}^{c}(-\xi ).}$$

Simplificación de pares e impares

Como todas las funciones pares, la mitad izquierda de una función gaussiana es una imagen especular de su mitad derecha y su transformada seno es completamente cero. Las gaussianas tienen la forma y su transformada coseno: también es una gaussiana. La gaussiana graficada utiliza α = π y es su propia transformada coseno. ${\displaystyle e^{-\alpha t^{2}}}$
$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\tfrac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}$$

Las reglas de multiplicación para funciones pares e impares que se muestran entre corchetes en las siguientes ecuaciones simplifican drásticamente los integrandos al transformar funciones pares e impares . Algunos autores ^[1] incluso solo definen la transformada del coseno para funciones pares . Dado que el coseno es una función par y debido a que la integral de una función par de a es el doble de su integral de a , la transformada del coseno de cualquier función par se puede simplificar para evitar valores negativos : ${\displaystyle f_{\text{even}}(t)}$ ${\displaystyle {-}\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{even·even=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{even}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

Y como la integral de cualquier función impar es cero , la transformada del coseno de cualquier función impar es simplemente cero: ${\displaystyle {-}\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·even=odd}}\,dt=0.}$$

Las funciones impares no cambian si se rotan 180 grados sobre el origen . Su transformada de coseno es completamente cero. La función impar anterior contiene dos funciones delta de Dirac desplazadas en el tiempo de tamaño medio . Su transformada seno es simplemente Asimismo, la transformada seno de es el gráfico anterior. Por lo tanto, la función de onda seno y la función delta de Dirac desplazada en el tiempo forman un par de transformadas . ${\displaystyle \sin(a\xi ).}$ ${\displaystyle \sin(a\xi )}$

De manera similar, debido a que el seno es impar, la transformada del seno de cualquier función impar también se simplifica para evitar valores negativos : ${\displaystyle f_{\text{odd}}(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·odd=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{odd}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}$$

y la transformada seno de cualquier función par es simplemente cero:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{even·odd=odd}}\,dt=0.}$$

La transformada del seno representa la parte impar de una función , mientras que la transformada del coseno representa la parte par de una función.

Otras convenciones

Al igual que la transformada de Fourier toma la forma de diferentes ecuaciones con diferentes factores constantes (ver Transformada de Fourier § Unitaridad y definición para funciones integrables al cuadrado para discusión), otros autores también definen la transformada del coseno como ^[2] y la transformada del seno como Otra convención define la transformada del coseno como ^[3] y la transformada del seno como usando como variable de transformación. Y mientras que normalmente se usa para representar el dominio del tiempo, a menudo se usa en cambio para representar un dominio espacial cuando se transforma a frecuencias espaciales. $${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$ $${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$ $${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

Inversión de Fourier

La función original se puede recuperar a partir de sus transformadas de seno y coseno bajo las hipótesis habituales ^{[nota 4]} utilizando la fórmula de inversión: ^[4] ${\displaystyle f}$

Inversión de Fourier (a partir de las transformadas del seno y del coseno)

${\displaystyle f(t)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{odd component of }}f(t)}\,+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{even component of }}f(t)}\,.}$

Simplificaciones

Nótese que como ambos integrandos son funciones pares de , el concepto de frecuencia negativa se puede evitar duplicando el resultado de la integración sobre frecuencias no negativas: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}$$

Además, si es una función impar , entonces la transformada del coseno es cero, por lo que su inversión se simplifica a: ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}$$

Del mismo modo, si la función original es una función par , entonces la transformada seno es cero, por lo que su inversión también se simplifica a: ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}$$

Sorprendentemente, estas dos últimas fórmulas de inversión simplificadas parecen idénticas a las transformadas de seno y coseno originales, respectivamente, aunque con intercambiadas con (y con intercambiadas con o ). Una consecuencia de esta simetría es que sus procesos de inversión y transformación siguen funcionando cuando las dos funciones están intercambiadas. Dos de estas funciones se denominan pares de transformadas . ^{[nota 5]} ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$

Descripción general de la prueba de inversión

Usando la fórmula de adición para el coseno , la fórmula de inversión completa también puede reescribirse como la fórmula integral de Fourier : ^{[5] [6]} Este teorema a menudo se enuncia bajo diferentes hipótesis, que es integrable y es de variación acotada en un intervalo abierto que contiene el punto , en cuyo caso $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$

Esta última forma es un paso intermedio útil para demostrar las fórmulas inversas para las transformadas de y coseno. Un método para derivarla, debido a Cauchy , es insertar a en la integral, donde es fijo. Entonces Ahora bien, cuando , el integrando tiende a cero excepto en , de modo que formalmente lo anterior es ${\displaystyle e^{-\delta \xi }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.}$$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle x=t}$ $${\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}$$

Relación con exponenciales complejas

La forma exponencial compleja de la transformada de Fourier que se utiliza con más frecuencia en la actualidad es ^[7] donde es la raíz cuadrada de menos uno . Aplicando la fórmula de Euler se puede demostrar (para funciones de valor real) que el componente real de la transformada de Fourier es la transformada del coseno (que representa el componente par de la función original) y el componente imaginario de la transformada de Fourier es el negativo de la transformada del seno (que representa el componente impar de la función original): ^[8] Debido a esta relación, la transformada del coseno de las funciones cuya transformada de Fourier se conoce (por ejemplo, en la transformada de Fourier § Tablas de transformadas de Fourier importantes ) se puede encontrar simplemente tomando la parte real de la transformada de Fourier: mientras que la transformada del seno es simplemente el negativo de la parte imaginaria de la transformada de Fourier: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\\end{aligned}}\,}$$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle (e^{ix}=\cos x+i\sin x),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i\,{\hat {f}}^{s}(\xi )\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\mathrm {Re} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=-\mathrm {Im} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}\,.}$$

Pros y contras

Al sumar una onda sinusoidal (roja) y una onda coseno (azul) de la misma frecuencia, se obtiene una onda sinusoidal desfasada (verde) de la misma frecuencia, pero cuya amplitud y fase dependen de las amplitudes de las ondas sinusoidal y coseno originales . Por lo tanto, a una frecuencia particular, la transformada sinusoidal y la transformada coseno juntas representan esencialmente solo una onda sinusoidal que podría tener cualquier desfase.

Una ventaja de la transformada de Fourier moderna es que, si bien se requieren las transformadas de seno y coseno juntas para extraer la información de fase de una frecuencia, la transformada de Fourier moderna, en cambio, empaqueta de manera compacta tanto la información de fase como la de amplitud dentro de su resultado de valor complejo. Pero una desventaja es que requiere comprender números complejos, exponenciales complejos y frecuencia negativa.

Las transformadas de seno y coseno tienen la ventaja de que todas las cantidades son reales. Puesto que las frecuencias positivas pueden expresarlas completamente, se puede evitar el concepto no trivial de frecuencia negativa que se necesita en la transformada de Fourier regular. También pueden ser convenientes cuando la función original ya es par o impar o se puede hacer par o impar, en cuyo caso solo se necesita la transformada de coseno o seno respectivamente. Por ejemplo, aunque una entrada puede no ser par o impar, una transformada de coseno discreta puede comenzar asumiendo una extensión par de su entrada, mientras que una transformada de seno discreta puede comenzar asumiendo una extensión impar de su entrada, para evitar tener que calcular toda la transformada de Fourier discreta .

Evaluación numérica

El uso de métodos estándar de evaluación numérica para las integrales de Fourier, como la cuadratura gaussiana o tanh-sinh, probablemente conduzca a resultados completamente incorrectos, ya que la suma de la cuadratura está (para la mayoría de los integrandos de interés) altamente mal condicionada. Se requieren métodos numéricos especiales que exploten la estructura de la oscilación, un ejemplo de lo cual es el método de Ooura para las integrales de Fourier ^[9]. Este método intenta evaluar el integrando en posiciones que se aproximan asintóticamente a los ceros de la oscilación (ya sea el seno o el coseno), reduciendo rápidamente la magnitud de los términos positivos y negativos que se suman.

Véase también

• Transformada de coseno discreta
• Transformada senoidal discreta
• Lista de transformadas relacionadas con Fourier

Notas

1. La transformada senoidal a veces se denota con en lugar de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$
2. Si bien este artículo utiliza la frecuencia ordinaria en ciclos por unidad de tiempo, que normalmente utilizan el hercio y el segundo como unidades, estas transformaciones a veces se expresan utilizando la frecuencia angular en unidades angulares (por ejemplo, radianes ) por unidad de tiempo, donde radianes por segundo equivalen a . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$  ${\displaystyle 2\pi \xi }$
3. La transformada del coseno a veces se denota con en lugar de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$
4. Las hipótesis habituales son que y ambas transformadas deberían ser absolutamente integrables. Para más detalles sobre las diferentes hipótesis, véase el teorema de inversión de Fourier . ${\displaystyle f}$
5. La transformada de Fourier moderna más general tiene esta simetría incluso cuando las funciones originales no son pares o impares. Una notación para denotar pares de transformadas de Fourier es ${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).}$

Referencias

• Whittaker, Edmund y James Watson, Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge Univ. Press, 1927, págs. 189, 211

1. Mary L. Boas , Métodos matemáticos en las ciencias físicas , 2.ª edición, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN  0-471-04409-1
2. Nyack, Cuthbert (1996). "Transformada de Fourier, transformadas de seno y coseno". cnyack.homestead.com . Archivado desde el original el 2023-06-07 . Consultado el 2018-10-08 .
3. Coleman, Matthew P. (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con MATLAB (segunda edición). Boca Raton. pág. 221. ISBN 978-1-4398-9846-8.OCLC 822959644  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Poincaré, Henri (1895). Teoría analítica de la propagación del calor. París: G. Carré. págs. 108 y siguientes.
5. Edwin Titchmarsh (1948), Introducción a la teoría de la integral de Fourier , Oxford en Clarendon Press, pág. 1
6. Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (2 de enero de 1927). Un curso de análisis moderno: Introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas; con una descripción de las principales funciones trascendentales (4.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. 189. ISBN 0-521-06794-4. ISBN 978-0-521-06794-2 . 
7. Valentinuzzi, Max E. (25 de enero de 2016). «Aspectos destacados en la historia de la transformada de Fourier». IEEE Pulse . Archivado desde el original el 15 de mayo de 2024. Consultado el 9 de septiembre de 2024 .
8. Williams, Lance R. (6 de septiembre de 2011). "Funciones pares e impares" (PDF) . www.cs.unm.edu/~williams/ . Archivado (PDF) desde el original el 2 de mayo de 2024 . Consultado el 11 de septiembre de 2024 .
9. Takuya Ooura, Masatake Mori, Una fórmula exponencial doble robusta para integrales de tipo Fourier , Journal of computational and applied mathematics 112.1-2 (1999): 229-241.