medida de pelo

Medida invariante a la izquierda (o invariante a la derecha) en un grupo topológico localmente compacto

En análisis matemático , la medida de Haar asigna un "volumen invariante" a subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos , definiendo en consecuencia una integral para funciones en esos grupos.

Esta medida fue introducida por Alfréd Haar en 1933, aunque Adolf Hurwitz había introducido su caso especial para grupos de Lie en 1897 con el nombre de "integral invariante". ^{[1] [2]} Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis , la teoría de números , la teoría de grupos , la teoría de la representación , la estadística , la teoría de la probabilidad y la teoría ergódica .

Preliminares

Sea un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto . El álgebra generada por todos los subconjuntos abiertos de se llama álgebra de Borel . Un elemento del álgebra de Borel se llama conjunto de Borel . Si es un elemento de y es un subconjunto de , entonces definimos las traducciones izquierda y derecha de por g de la siguiente manera: ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

• Traducir a la izquierda:
  $${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• Traducir a la derecha:
  $${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

La izquierda y la derecha traducen los conjuntos de Borel del mapa en conjuntos de Borel.

Una medida en los subconjuntos de Borel se llama invariante de traducción a la izquierda si para todos los subconjuntos de Borel y todos uno tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

Una medida en los subconjuntos de Borel se llama invariante de traducción a la derecha si para todos los subconjuntos de Borel y todos uno tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

teorema de haar

Existe, hasta una constante multiplicativa positiva, una medida única, aditiva y contable , no trivial , en los subconjuntos de Borel para satisfacer las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$

• La medida es invariante de traducción a la izquierda: para todos y cada uno de los conjuntos de Borel . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
• La medida es finita en todo conjunto compacto: para todo compacto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ ${\displaystyle K\subseteq G}$
• La medida es exterior regular en conjuntos de Borel : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
  $${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$$
• La medida es regular interna en conjuntos abiertos : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\subseteq G}$
  $${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$$

Esta medida se llama medida de Haar izquierda. Como consecuencia de las propiedades anteriores, se puede demostrar que para cada subconjunto abierto no vacío . En particular, si es compacto, entonces es finito y positivo, por lo que podemos especificar de forma única una medida de Haar izquierda agregando la condición de normalización . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (U)>0}$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)=1}$

En completa analogía también se puede demostrar la existencia y unicidad de una medida de Haar correcta en . Las dos medidas no tienen por qué coincidir. ${\displaystyle G}$

Algunos autores definen una medida de Haar en conjuntos de Baire en lugar de conjuntos de Borel. Esto hace que las condiciones de regularidad sean innecesarias ya que las medidas de Baire son automáticamente regulares. Halmos ^[3] utiliza de manera bastante confusa el término "conjunto de Borel" para elementos del anillo generados por conjuntos compactos y define medidas de Haar en estos conjuntos. ${\displaystyle \sigma }$

La medida de Haar izquierda satisface la condición de regularidad interna para todos los conjuntos finitos de Borel, pero puede no ser regular interna para todos los conjuntos de Borel. Por ejemplo, el producto del círculo unitario (con su topología habitual) y la recta real con la topología discreta es un grupo localmente compacto con la topología del producto y una medida de Haar en este grupo no es regular interna para el subconjunto cerrado . (Los subconjuntos compactos de este segmento vertical son conjuntos finitos y los puntos tienen medida , por lo que la medida de cualquier subconjunto compacto de este segmento vertical es . Pero, usando la regularidad externa, se puede demostrar que el segmento tiene medida infinita). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

La existencia y unicidad (hasta la escala) de una medida de Haar izquierda fue demostrada por primera vez con total generalidad por André Weil . ^[4] La prueba de Weil utilizó el axioma de elección y Henri Cartan proporcionó una prueba que evitó su uso. ^[5] La prueba de Cartan también establece la existencia y la unicidad simultáneamente. Alfsen dio una explicación simplificada y completa del argumento de Cartan en 1963. ^[6] Haar había demostrado el caso especial de medida invariante para segundos grupos localmente compactos contables en 1933. ^[1]

Ejemplos

• Si es un grupo discreto , entonces los subconjuntos compactos coinciden con los subconjuntos finitos, y una medida de Haar (invariante izquierda y derecha) es la medida de conteo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• La medida de Haar sobre el grupo topológico que toma el valor en el intervalo es igual a la restricción de la medida de Lebesgue a los subconjuntos de Borel de . Esto se puede generalizar a ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Para definir una medida de Haar en el grupo de círculos , considere la función desde hacia definida por . Entonces se puede definir por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$
  ¿Dónde está la medida de Lebesgue ? El factor se elige de modo que . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ ${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Si es el grupo de números reales positivos bajo multiplicación, entonces una medida de Haar viene dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$
  para cualquier subconjunto Borel de números reales positivos. Por ejemplo, si se toma como un intervalo , entonces encontramos . Ahora dejamos que el grupo multiplicativo actúe sobre este intervalo mediante una multiplicación de todos sus elementos por un número , dando como resultado el intervalo. Midiendo este nuevo intervalo, encontramos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gS}$ ${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Si es el grupo de números reales distintos de cero con la multiplicación como operación, entonces una medida de Haar viene dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$
  para cualquier subconjunto Borel de reales distintos de cero. ${\displaystyle S}$
• Para el grupo lineal general , cualquier medida de Haar izquierda es una medida de Haar derecha y una de esas medidas viene dada por ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$
  donde denota la medida de Lebesgue identificada con el conjunto de todas las matrices. Esto se desprende de la fórmula de cambio de variables . ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Generalizando los tres ejemplos anteriores, si el grupo se representa como una subvariedad abierta de con operaciones de grupo suaves , entonces una medida de Haar izquierda está dada por , donde es el elemento de identidad del grupo de , es el determinante jacobiano de la multiplicación izquierda por en , y es la medida de Lebesgue en . Esto se desprende de la fórmula de cambio de variables . Una medida de Haar correcta se da de la misma manera, excepto que es el jacobiano de la multiplicación correcta por . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle d^{n}x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$
• Para el grupo ortogonal , su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera (como la distribución de una variable aleatoria). Primera muestra , es decir, una matriz en la que todas las entradas son muestras IID de la distribución normal con media cero y varianza uno. A continuación, utilice el proceso de Gram-Schmidt en la matriz; la variable aleatoria resultante toma valores y se distribuye según la medida de probabilidad de Haar en ese grupo. ^[7] Dado que el grupo ortogonal especial es un subgrupo abierto de la restricción de la medida de Haar de to da una medida de Haar on (en términos de variables aleatorias esto significa condicionar el determinante para que sea 1, un evento de probabilidad 1/2). ${\displaystyle G=O(n)}$ ${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$
• Se puede utilizar el mismo método que para construir la medida de Haar en el grupo unitario . Para el grupo unitario especial (que tiene medida 0 en ), su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera. Primero tome una muestra de la medida de Haar (normalizada a uno, de modo que sea una distribución de probabilidad) en , y sea , donde puede estar cualquiera de los ángulos, luego tome una muestra independientemente de la distribución uniforme en . Luego se distribuye como medida de Haar en . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ ${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• Sea el conjunto de todas las transformaciones lineales afines de la forma para algunos fijos con Asociados con la operación de composición de funciones , que se convierte en un grupo no abeliano. se puede identificar con el semiplano derecho bajo el cual la operación de grupo se convierte en Una medida de Haar invariante a la izquierda (respectivamente, una medida de Haar invariante a la derecha ) está dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto xr+y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x>0.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$ ${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$
      y    
  $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$
  para cualquier subconjunto de Borel. Esto se debe a que si es un subconjunto abierto, entonces para fijo, la integración por sustitución da ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (s,t)\in G}$
  $${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$
  mientras que para fijo, ${\displaystyle (u,v)\in G}$
  $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• En cualquier grupo de dimensiones de Lie , una medida de Haar izquierda se puede asociar con cualquier forma invariante a la izquierda distinta de cero , como la medida de Lebesgue ; y lo mismo ocurre con las medidas Haar correctas. Esto significa también que la función modular se puede calcular como el valor absoluto del determinante de la representación adjunta . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$
• La hipérbola unitaria se puede tomar como un grupo bajo la multiplicación definido como con números complejos divididos. La medida de área habitual en la media luna sirve para definir el ángulo hiperbólico como el área de su sector hiperbólico . La medida de Haar de la hipérbola unitaria se genera por el ángulo hiperbólico de los segmentos de la hipérbola. Por ejemplo, una medida de una unidad viene dada por el segmento que va de (1,1) a (e,1/e), donde e es el número de Euler . El ángulo hiperbólico se ha explotado en la física matemática y la rapidez sustituye a la velocidad clásica . ${\displaystyle \{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}}$ ${\displaystyle z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.}$ ${\displaystyle C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}}$
• Si es el grupo de cuaterniones distintos de cero , entonces puede verse como un subconjunto abierto de . Una medida de Haar está dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$
  donde denota la medida de Lebesgue en y es un subconjunto de Borel de . ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$
• Si es el grupo aditivo de números -ádicos para un primo , entonces se da una medida de Haar dejando tener medida , donde está el anillo de los enteros -ádicos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a+p^{n}O}$ ${\displaystyle p^{-n}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle p}$

Construcción de la medida Haar

Una construcción que utiliza subconjuntos compactos.

El siguiente método para construir la medida de Haar es esencialmente el método utilizado por Haar y Weil.

Para cualquier subconjunto con no vacío, defina como el número más pequeño de traducciones izquierdas de esa cobertura (por lo que es un entero no negativo o infinito). Esto no es aditivo en conjuntos compactos , aunque tiene la propiedad de que para conjuntos compactos disjuntos siempre que sea una vecindad abierta suficientemente pequeña de la identidad (dependiendo de y ). La idea de la medida de Haar es tomar una especie de límite de a medida que se vuelve más pequeño para hacerlo aditivo en todos los pares de conjuntos compactos disjuntos, aunque primero debe normalizarse para que el límite no sea simplemente infinito. Así que arregle un conjunto compacto con un interior no vacío (que existe ya que el grupo es localmente compacto) y para un conjunto compacto defina ${\displaystyle S,T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [T:S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K\subseteq G}$ ${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$ ${\displaystyle K,L\subseteq G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

donde el límite se toma sobre un conjunto dirigido adecuado de vecindades abiertas de la identidad eventualmente contenida en cualquier vecindad dada; la existencia de un conjunto dirigido tal que exista el límite se sigue utilizando el teorema de Tychonoff .

La función es aditiva en subconjuntos compactos disjuntos de , lo que implica que es un contenido regular . A partir de un contenido regular se puede construir una medida extendiéndola primero a conjuntos abiertos por regularidad interna, luego a todos los conjuntos por regularidad externa y luego restringiéndola a los conjuntos de Borel. (Incluso para conjuntos abiertos , la medida correspondiente no necesita estar dada por la fórmula lim sup anterior. El problema es que la función dada por la fórmula lim sup no es subaditiva contable en general y en particular es infinita en cualquier conjunto sin cierre compacto, por lo que no es una medida exterior.) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Una construcción que utiliza funciones soportadas de forma compacta.

Cartan introdujo otra forma de construir la medida de Haar como una medida de radón (una funcional lineal positiva en funciones continuas con soporte compacto), que es similar a la construcción anterior excepto que , y son funciones continuas positivas de soporte compacto en lugar de subconjuntos de . En este caso definimos como el mínimo de números tales que es menor que la combinación lineal de las traducciones izquierdas de para algunos . Como antes definimos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$ ${\displaystyle K(g)}$ ${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

El hecho de que exista el límite requiere algo de esfuerzo para demostrarlo, aunque la ventaja de hacerlo es que la prueba evita el uso del axioma de elección y también proporciona la unicidad de la medida de Haar como subproducto. El funcional se extiende a un funcional lineal positivo en funciones continuas soportadas de forma compacta y, por lo tanto, da una medida de Haar. (Tenga en cuenta que aunque el límite es lineal en , los términos individuales no suelen ser lineales en .) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle K}$

Una construcción que utiliza valores medios de funciones.

Von Neumann dio un método para construir la medida de Haar utilizando valores medios de funciones, aunque sólo funciona para grupos compactos. La idea es que dada una función en un grupo compacto, se puede encontrar una combinación convexa (donde ) de su traslación izquierda que difiere de una función constante como máximo en algún número pequeño . Luego se muestra que a medida que tiende a cero los valores de estas funciones constantes tienden a un límite, que se llama valor medio (o integral) de la función . ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ ${\textstyle \sum a_{i}=1}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

Para grupos que son localmente compactos pero no compactos, esta construcción no proporciona la medida de Haar ya que el valor medio de las funciones soportadas de forma compacta es cero. Sin embargo, algo como esto funciona para funciones casi periódicas en el grupo que tienen un valor medio, aunque este no se da con respecto a la medida de Haar.

Una construcción sobre grupos de Lie.

En un grupo de Lie n -dimensional, la medida de Haar se puede construir fácilmente como la medida inducida por una n -forma invariante a la izquierda. Esto se sabía antes del teorema de Haar.

La medida Haar adecuada

También se puede demostrar que existe una medida de Borel única (hasta la multiplicación por una constante positiva) invariante en traslación a la derecha que satisface las condiciones de regularidad anteriores y es finita en conjuntos compactos, pero no es necesario que coincida con la invariante en traslación a la izquierda. medida . Las medidas de Haar izquierda y derecha son las mismas sólo para los llamados grupos unimodulares (ver más abajo). Sin embargo, es bastante sencillo encontrar una relación entre y . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

De hecho, para un conjunto de Borel , lo denotaremos por el conjunto de inversos de elementos de . si definimos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

entonces esta es una medida correcta de Haar. Para mostrar la invariancia correcta, aplique la definición:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Como la medida correcta es única, se deduce que es múltiplo de y así ${\displaystyle \mu _{-1}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

para todos los conjuntos de Borel , donde hay una constante positiva. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

La función modular

La traducción izquierda de una medida de Haar derecha es una medida de Haar derecha. Más precisamente, si es una medida de Haar correcta, entonces para cualquier elección fija de un elemento de grupo g , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

también es invariante a la derecha. Así, por unicidad hasta un factor de escala constante de la medida de Haar, existe una función del grupo a los reales positivos, llamada módulo de Haar , función modular o carácter modular , tal que para cada conjunto de Borel ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Dado que la medida de Haar derecha está bien definida hasta un factor de escala positivo, esta ecuación muestra que la función modular es independiente de la elección de la medida de Haar derecha en la ecuación anterior.

La función modular es un homomorfismo de grupo continuo de G al grupo multiplicativo de números reales positivos . Un grupo se llama unimodular si la función modular es idéntica o, de manera equivalente, si la medida de Haar es invariante tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Ejemplos de grupos unimodulares son grupos abelianos , grupos compactos , grupos discretos (p. ej., grupos finitos ), grupos de Lie semisimples y grupos de Lie nilpotentes conectados . ^{[ cita necesaria ]} Un ejemplo de un grupo no unimodular es el grupo de transformaciones afines ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

en la línea real. Este ejemplo muestra que un grupo de Lie con solución no tiene por qué ser unimodular. En este grupo, una medida de Haar izquierda está dada por y una medida de Haar derecha por . ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Medidas sobre espacios homogéneos

Si el grupo localmente compacto actúa transitivamente sobre un espacio homogéneo , uno puede preguntarse si este espacio tiene una medida invariante, o más generalmente una medida semiinvariante con la propiedad de que para algún carácter de . Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal medida es que la restricción sea igual a , donde y son las funciones modulares de y respectivamente. ^[8] En particular, existe una medida invariante en si y solo si la función modular de restringida a es la función modular de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi |_{H}}$ ${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle H}$

Ejemplo

Si es el grupo y es el subgrupo de matrices triangulares superiores, entonces la función modular de no es trivial pero la función modular de es trivial. El cociente de estos no se puede extender a ningún carácter de , por lo que el espacio cociente (que puede considerarse como un espacio proyectivo real unidimensional ) no tiene ni siquiera una medida semiinvariante. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

integral de cabello

Utilizando la teoría general de la integración de Lebesgue , se puede definir una integral para todas las funciones medibles de Borel en . Esta integral se llama integral de Haar y se denota como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

¿Dónde está la medida de Haar? ${\displaystyle \mu }$

Una propiedad de una medida de Haar izquierda es que, siendo un elemento de , es válido lo siguiente: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

para cualquier función integrable de Haar en . Esto es inmediato para las funciones de indicador : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

que es esencialmente la definición de invariancia de izquierda.

Usos

En el mismo número de Annals of Mathematics e inmediatamente después del artículo de Haar, John von Neumann utilizó el teorema de Haar para resolver el quinto problema de Hilbert restringido a grupos compactos . ^[9]

A menos que sea un grupo discreto, es imposible definir una medida regular invariante por la izquierda contablemente aditiva en todos los subconjuntos de , asumiendo el axioma de elección , según la teoría de conjuntos no mensurables . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Análisis armónico abstracto

Las medidas de Haar se utilizan en el análisis armónico de grupos localmente compactos, particularmente en la teoría de la dualidad de Pontryagin . ^{[10] [11] [12]} Para demostrar la existencia de una medida de Haar en un grupo localmente compacto, basta con exhibir una medida de radón invariante a la izquierda en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Estadistica matematica

En estadística matemática, las medidas de Haar se utilizan para medidas previas, que son probabilidades previas para grupos compactos de transformaciones. Estas medidas previas se utilizan para construir procedimientos admisibles , apelando a la caracterización de procedimientos admisibles como procedimientos bayesianos (o límites de los procedimientos bayesianos) por parte de Wald . Por ejemplo, una medida de Haar correcta para una familia de distribuciones con un parámetro de ubicación da como resultado el estimador de Pitman , que es el mejor equivariante . Cuando las medidas de Haar izquierda y derecha difieren, generalmente se prefiere la medida derecha como distribución previa. Para el grupo de transformaciones afines en el espacio de parámetros de la distribución normal, la medida de Haar derecha es la medida previa de Jeffreys . ^[13] Desafortunadamente, incluso las medidas correctas de Haar a veces resultan en antecedentes inútiles, que no pueden recomendarse para uso práctico, como otros métodos de construcción de medidas previas que evitan la información subjetiva. ^[14]

Otro uso de la medida de Haar en estadística es la inferencia condicional , en la que la distribución muestral de una estadística está condicionada a otra estadística de los datos. En la inferencia condicional teórica invariante, la distribución muestral está condicionada a un invariante del grupo de transformaciones (con respecto al cual se define la medida de Haar). El resultado del condicionamiento a veces depende del orden en que se utilizan los invariantes y de la elección de un invariante máximo, de modo que por sí solo un principio estadístico de invariancia no logra seleccionar ningún mejor estadístico condicional único (si existe alguno); Se necesita al menos otro principio.

Para los grupos no compactos, los estadísticos han ampliado los resultados de la medida de Haar utilizando grupos adaptables . ^[15]

Teorema inverso de Weil

En 1936, André Weil demostró algo inverso (más o menos) al teorema de Haar, al mostrar que si un grupo tiene una medida invariante por la izquierda con una cierta propiedad de separación , ^[3] entonces se puede definir una topología en el grupo, y la finalización de el grupo es localmente compacto y la medida dada es esencialmente la misma que la medida de Haar en esta finalización.

Ver también

• Medida invariante
• Dualidad de Pontryagin
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

Notas

1. Haar, A. (1933), "Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, vol. 34, núm. 1, págs. 147–169, doi :10.2307/1968346, JSTOR  1968346
2. IM James, Historia de la topología, p.186
3. Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . Nueva York: Springer Science+Business Media. pag. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6.
4. Weil, André (1940), L'intégration dans les groupes topologiques et ses apps , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, París: Hermann
5. Cartan, Henri (1940), "Sur la mesure de Haar", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762
6. Alfsen, EM (1963), "Una prueba constructiva simplificada de la existencia y unicidad de la medida de Haar", Math. Escanear. , 12 : 106-116
7. Diaconis, Persi (12 de febrero de 2003). "Patrones en valores propios: la 70ª conferencia de Josiah Willard Gibbs". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 40 (2): 155-178. doi : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN  0273-0979.
8. Bourbaki, Nicolas (2004), Integración II Cap. 7 § 6 Teorema 3 , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer
9. von Neumann, J. (1933), "Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, vol. 34, núm. 1, págs. 170–179, doi :10.2307/1968347, JSTOR  1968347
10. Banaszczyk, Wojciech (1991). Subgrupos aditivos de espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1466. Berlín: Springer-Verlag. págs. viii+178. ISBN 3-540-53917-4. SEÑOR  1119302.
11. Yuri I. Lyubich. Introducción a la Teoría de las Representaciones de Grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Kharkov (Kharkov), Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
12. Charles F. Dunkl y Donald E. Ramirez: Temas de análisis armónico . Appleton-Century-Crofts. 1971.ISBN​ 039027819X.
13. Berger, James O. (1985), "6 Invariance", Teoría de la decisión estadística y análisis bayesiano (segunda ed.), Springer Verlag, págs.
14. Robert, Christian P (2001). La elección bayesiana: una motivación teórica para la decisión (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-94296-3.
15. Bondar, James V.; Milnes, Paul (1981). "Amenabilidad: una encuesta para aplicaciones estadísticas de Hunt-Stein y condiciones relacionadas en grupos". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 57 : 103-128. doi : 10.1007/BF00533716 .

Otras lecturas

• Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), Las alegrías de la medida Haar , Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-1-4704-0935-7, señor  3186070
• Loomis, Lynn (1953), Introducción al análisis armónico abstracto , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Análisis armónico abstracto. vol. I: Estructura de grupos topológicos. Teoría de la integración, representaciones grupales. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 115, Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR  0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral , Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand
• André Weil , Teoría básica de números , Academic Press, 1971.

enlaces externos

• La existencia y unicidad de la integral de Haar en un grupo topológico localmente compacto - por Gert K. Pedersen
• Sobre la existencia y singularidad de medidas invariantes en grupos localmente compactos - por Simon Rubinstein-Salzedo