Transformación de Hankel

Operación matemática

En matemáticas , la transformada de Hankel expresa cualquier función dada f ( r ) como la suma ponderada de un número infinito de funciones de Bessel de primera especie J _ν ( kr ) . Las funciones de Bessel en la suma son todas del mismo orden ν, pero difieren en un factor de escala k a lo largo del eje r . El coeficiente necesario F _ν de cada función de Bessel en la suma, como una función del factor de escala k constituye la función transformada. La transformada de Hankel es una transformada integral y fue desarrollada por primera vez por el matemático Hermann Hankel . También se conoce como transformada de Fourier-Bessel. Así como la transformada de Fourier para un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier sobre un intervalo finito, la transformada de Hankel sobre un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier-Bessel sobre un intervalo finito.

Definición

La transformada de Hankel del orden de una función f ( r ) está dada por ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

donde es la función de Bessel de primer orden con . La transformada inversa de Hankel de F _ν ( k ) se define como ${\displaystyle J_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu \geq -1/2}$

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

lo cual puede verificarse fácilmente utilizando la relación de ortogonalidad que se describe a continuación.

Dominio de definición

La inversión de una transformada de Hankel de una función f ( r ) es válida en cada punto en el que f ( r ) sea continua, siempre que la función esté definida en (0, ∞), sea continua por partes y de variación acotada en cada subintervalo finito en (0, ∞), y

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .}$

Sin embargo, al igual que la transformada de Fourier, el dominio puede extenderse mediante un argumento de densidad para incluir algunas funciones cuya integral anterior no es finita, por ejemplo . ${\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}$

Definición alternativa

Una definición alternativa dice que la transformada de Hankel de g ( r ) es ^[1]

${\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.}$

Las dos definiciones están relacionadas:

Si , entonces ${\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.}$

Esto significa que, al igual que en la definición anterior, la transformada de Hankel definida de esta manera es también su propia inversa:

${\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.}$

El dominio obvio ahora tiene la condición

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,}$

pero esto se puede extender. De acuerdo con la referencia dada anteriormente, podemos tomar la integral como el límite ya que el límite superior tiende a infinito (una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue ), y de esta manera la transformada de Hankel y su trabajo inverso para todas las funciones en L 2 (0, ∞).

Transformando la ecuación de Laplace

La transformada de Hankel se puede utilizar para transformar y resolver la ecuación de Laplace expresada en coordenadas cilíndricas. Bajo la transformada de Hankel, el operador de Bessel se convierte en una multiplicación por . ^[2] En el caso axisimétrico, la ecuación diferencial parcial se transforma como ${\displaystyle -k^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

donde . Por lo tanto, el laplaciano en coordenadas cilíndricas se convierte en una ecuación diferencial ordinaria en la función transformada . ${\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u}$ ${\displaystyle U}$

Ortogonalidad

Las funciones de Bessel forman una base ortogonal con respecto al factor de ponderación r : ^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}$

El teorema de Plancherel y el teorema de Parseval

Si f ( r ) y g ( r ) son tales que sus transformadas de Hankel F _ν ( k ) y G _ν ( k ) están bien definidas, entonces el teorema de Plancherel establece

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

El teorema de Parseval , que establece

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

es un caso especial del teorema de Plancherel. Estos teoremas se pueden demostrar utilizando la propiedad de ortogonalidad.

Relación con la transformada de Fourier multidimensional

La transformada de Hankel aparece cuando se escribe la transformada de Fourier multidimensional en coordenadas hiperesféricas , razón por la cual la transformada de Hankel aparece a menudo en problemas físicos con simetría cilíndrica o esférica.

Consideremos una función de un vector -dimensional r . Su transformada de Fourier -dimensional se define como Para reescribirla en coordenadas hiperesféricas, podemos usar la descomposición de una onda plana en armónicos hiperesféricos -dimensionales : ^[4] donde y son los conjuntos de todos los ángulos hiperesféricos en el -espacio y el -espacio. Esto da la siguiente expresión para la transformada de Fourier -dimensional en coordenadas hiperesféricas: Si expandimos y en armónicos hiperesféricos: la transformada de Fourier en coordenadas hiperesféricas se simplifica a Esto significa que las funciones con dependencia angular en forma de un armónico hiperesférico la retienen en la transformada de Fourier multidimensional, mientras que la parte radial sufre la transformada de Hankel (hasta algunos factores adicionales como ). ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle d}$ $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$ ${\textstyle d}$ ${\displaystyle Y_{l,m}}$ $${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$$ ${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$ ${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle d}$ $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$$ $${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\textstyle r^{d/2-1}}$

Casos especiales

Transformada de Fourier en dos dimensiones

Si una función bidimensional f ( r ) se desarrolla en una serie multipolar ,

${\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},}$

entonces su transformada de Fourier bidimensional está dada por donde es la transformada de Hankel de orden -ésimo de (en este caso juega el papel del momento angular, que fue denotado por en la sección anterior). $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),}$$ $${\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$$ ${\textstyle m}$ ${\displaystyle f_{m}(r)}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle l}$

Transformada de Fourier en tres dimensiones

Si una función tridimensional f ( r ) se expande en una serie multipolar sobre armónicos esféricos ,

${\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),}$

entonces su transformada de Fourier tridimensional está dada por donde es la transformada de Hankel de orden . $${\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),}$$ $${\displaystyle {\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}f_{l,m}(r)}$ ${\textstyle (l+1/2)}$

Este tipo de transformada de Hankel de orden semientero también se conoce como transformada esférica de Bessel.

Transformada de Fourier endDimensiones (caso radialmente simétrico)

Si una función d -dimensional f ( r ) no depende de coordenadas angulares, entonces su transformada de Fourier d -dimensional F ( k ) tampoco depende de coordenadas angulares y está dada por ^[5] que es la transformada de Hankel de orden hasta un factor de . $${\displaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\displaystyle r^{d/2-1}f(r)}$ ${\textstyle (d/2-1)}$ ${\displaystyle (2\pi )^{d/2}}$

Funciones 2D dentro de un radio limitado

Si una función bidimensional f ( r ) se expande en una serie multipolar y los coeficientes de expansión f _m son suficientemente suaves cerca del origen y cero fuera de un radio R , la parte radial f ( r )/ r ^m puede expandirse en una serie de potencias de 1 − ( r / R )^2 :

${\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,}$

de modo que la transformada de Fourier bidimensional de f ( r ) se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}}$

donde la última igualdad se sigue de §6.567.1 de. ^[6] Los coeficientes de expansión f _m,t son accesibles con técnicas de transformada de Fourier discreta : ^[7] si la distancia radial se escala con

${\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,}$

Los coeficientes de la serie de Fourier-Chebyshev g surgen como

${\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).}$

Usando la reexpansión

${\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots }$

los rendimientos f _m,t se expresan como sumas de g _m,j .

Éste es un ejemplo de las técnicas de transformación rápida de Hankel.

Relación con las transformadas de Fourier y Abel

La transformada de Hankel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. En dos dimensiones, si definimos A como el operador de la transformada de Abel , F como el operador de la transformada de Fourier y H como el operador de la transformada de Hankel de orden cero, entonces el caso especial del teorema de proyección-segmentación para funciones circularmente simétricas establece que

${\displaystyle FA=H.}$

En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función unidimensional y luego aplicar la transformada de Fourier a ese resultado es lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto se puede extender a dimensiones superiores.

Evaluación numérica

Un enfoque simple y eficiente para la evaluación numérica de la transformada de Hankel se basa en la observación de que se puede expresar en forma de convolución mediante un cambio logarítmico de variables ^[8]. En estas nuevas variables, la transformada de Hankel se lee donde $${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.}$$ $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,}$$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),}$$ $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),}$$ $${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$$

Ahora la integral se puede calcular numéricamente con complejidad utilizando la transformada rápida de Fourier . El algoritmo se puede simplificar aún más utilizando una expresión analítica conocida para la transformada de Fourier de : ^[9] La elección óptima de parámetros depende de las propiedades de en particular su comportamiento asintótico en y ${\textstyle O(N\log N)}$ ${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$ ${\displaystyle r_{0},k_{0},n}$ ${\displaystyle f(r),}$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle r\to \infty .}$

Este algoritmo se conoce como "transformada de Hankel cuasi-rápida" o simplemente "transformada de Hankel rápida".

Dado que se basa en la transformada rápida de Fourier en variables logarítmicas, debe definirse en una cuadrícula logarítmica. Para las funciones definidas en una cuadrícula uniforme, existen otros algoritmos, entre ellos la cuadratura simple , los métodos basados ​​en el teorema de proyección-segmento y los métodos que utilizan la expansión asintótica de las funciones de Bessel. ^[10] ${\displaystyle f(r)}$

Algunos pares de transformadas de Hankel

^[11]

K _n ( z ) es una función de Bessel modificada de segundo tipo . K ( z ) es la integral elíptica completa de primer tipo .

La expresión

${\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

coincide con la expresión para el operador de Laplace en coordenadas polares ( k , θ ) aplicado a una función esféricamente simétrica F ₀ ( k ) .

Las transformadas de Hankel de los polinomios de Zernike son esencialmente funciones de Bessel (Noll 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

para n − m ≥ 0 .

Véase también

• Transformada de Fourier
• Transformada integral
• Transformación de Abel
• Serie de Fourier-Bessel
• Polinomio de Neumann
• Transformadas Y y H

Referencias

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